力扣刷题day38|完全背包问题总结、518零钱兑换 II、377组合总和 Ⅳ

完全背包问题

思路

01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以本文就不去做动规五部曲了，我们直接针对遍历顺序经行分析！

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.length(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}
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就知道了，01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。

01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序同样无所谓！

因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

518. 零钱兑换 II

力扣题目链接

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
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示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。
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示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10] 
输出：1
1
2

思路

一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。

纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数

动态规划五步曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

2. 确定递推公式

除开当前加入的货币i，剩下的总金额j - coins[i]所有可能的组合数相加，就是当前凑成总金额j的货币组合数

所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]]

求装满背包有几种方法，一般公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];

3. dp数组如何初始化

按实际情况理解：总金额0的货币组合数为1（不放货币这种情况）

按公式推理：dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。

下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]

4. 确定遍历顺序

因为本题要求的是组合数，组合就涉及到重复的问题，哪种遍历方式能让我们的的组合不重复，需要分情况来看

• 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）

for (int i = 0; i < coins.length(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}
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5

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5，amount = 6

在这种情况下，先把1加入计算，当再把5加入计算时，前面的dp数组里只有加入1所得到的组合，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

• 内层for循环遍历物品（钱币），外层for遍历背包（金钱总额）

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.length(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}
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5

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5，amount = 6

在这种情况下，先把1加入计算，计算出了还能加入5的情况，当再把5加入计算时，又计算了一遍还能加入1的情况。即背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

5. 举例推导dp数组

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：

完整代码

public int change(int amount, int[] coins) {
    int[] dp = new int[amount + 1];

    // 初始化
    dp[0] = 1;
    for (int i = 0; i < coins.length; i++) { // 先遍历物品
        for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
            dp[j] += dp[j - coins[i]];
        }
    }

    return dp[amount];
}
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377. 组合总和 Ⅳ

力扣题目链接

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
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示例 2：

输入：nums = [9], target = 3
输出：0
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思路

本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来。

如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜。

动态规划五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[j]

2. 确定递推公式

除开最后加入组合的数i，剩下的目标和为j - nums[i]，能得到j - nums[i]的排列有dp[j - nums[i]]，所有的dp[j - nums[i]]的排列总和就是当前目标和j的排列个数

递推公式：dp[j] += dp[j - nums[ij]]

3. dp数组如何初始化

dp[0] = 1所表示的现实意义就是和为0的排列就只有一种，那就是无排列

根据递推公式：dp[j] += dp[j - nums[ij]]，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础

至于非0下标的dp[i]应该初始化为0，这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[j - nums[i]]。

4. 确定遍历顺序

个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。

得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。

在动态规划题目：518.零钱兑换II中经过举例说明可以知道：

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

5. 举例来推导dp数组

用示例1来举例：输入：nums = [1,2,3]，target = 4

完整代码

public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
    int[] dp = new int[target + 1];
    // 初始化
    dp[0] = 1;

    for (int j = 0; j <= target; j++) { // 遍历背包
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) { // 遍历物品
            if (j - nums[i] >= 0) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
    }

    return dp[target];
}
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