第十三届蓝桥杯JavaB组国赛H题——修路 （AC）

1.修路

1.问题描述

这天, 小明在修路。
他需要修理两条平行的道路 $A,B$, 两条路上面分别有 $n$ 个和 $m$ 个点需要 维脩, 它们相对于道路起点的距离分别为 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 和 $b_1,b_2,b,\dots ,b_m=$ 如图, 两条路之间的距离为 $d$ 且它们起点 (最左端) 的连线和两条路都垂直。小明的起 点为道路 $A$ 的起点, 他需要尽可能快地逆历这些需要维修的 $n+m$ 个点, 他既 可以沿着道路 向右行走, 也可以在两条道路之间的空地上随意行走。

小明想知道遍历这些点的最短路程是多少。

2.输入格式

输入共三行，第一行为三个正整数 $n,m,d$ 。

第二行为 $n$ 个由空格㤱开的正整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$。

第三行为 $m$ 个由空格隔开的正整数 $b_1,b_2,\dots ,b_m$。

3.输出格式

一行, 一个浮点数, 表示答案, 保留两位小数。

4.样例输入

2 2 2
2 1
1 2

5.样例输出

5.24
图中红线指出了样例的最短路线, $1+1+\sqrt{5}+1=5.24$ 。

6.数据范围

保证 $n,m\le 2000,d\le 4\times 10^6,a_i,b_i\le 10^6。$

7.原题链接

修路

2.解题思路

考虑使用 $dp$ 解决问题，设 $f[i][j][k]$ 为道路 $A$ 走过前 $i$ 个点，道路 $B$ 走过前 $j$ 个点，当 $k$ 为0时最终停在道路 $A$ ，$k$ 为1时最终停在道路 $B$ 的 最短距离。

考虑 $dp$ 的初始化，因为起点是 $A$ 道路的端点，所以对于所有的 $f[i][0][0]$的值就为 $A[i]$ ，$f[i][0][1]$ 是一类非法状态，因为走过 $B$ 道路的点数为 $0$ 时 $k$ 的状态不可能为1，所以我们需要初始化为无穷大。对于 $f[0][i][0]$ 和 $f[0][i][1]$ 的初始化同理，$f[0][i][0]$为非法状态，初始化为正无穷，$f[0][i][1]$ 和上面有点不同，它的值应该是$B[i]-B[1]$再加上起点到 $B[1]$ 的距离，所以我们先预处理得到起点到 $B[1]$ 的距离，我们称之为sb。
这里需要注意的，$B[1]$指的是道路$B$最左边的点，题目给定的点并不是有序的，所以我们需要先对 $A$ 和 $B$ 道路的点进行排序。

然后考虑状态转移:
对于 $f[i][j][0]$ ，说明此时我们停留在点 $A[i]$ 上，它可以从道路 $A$ 的上一个点转移过来，也可能是从对面的点 $B[j]$ 走过来，对于两种状态我们应该去一个min作为答案，转移方程为：
$$f[i][j][0]=min(f[i-1][j][0]+A[i]-A[i-1],f[i-1][j][1]+dis(A[i],B[j],d))$$
$f[i][j][1]$，说明我们此时停留在 $B[j]$ 上，同样分析它可以从对面 $A[i]$ 走过来，也可能从道路 $B$ 的上一个点走过来，两种状态取一个min作为答案，转移方程：
$$f[i][j][1]=min(f[i][j-1][1]+B[j]-B[j-1],f[i][j-1][0]+dis(A[i],B[j],d));$$

最终的答案应该为$f[n][m]$，代表我们走完所有的点，但是并不确定结束时我们是站在道路$A$还是道路$B$上，所以答案在$f[i][j][0]$和$f[i][j][1]$取更小值。

dis函数用于求斜线距离，基于三角形的勾股定理。

时间复杂度:$O(nm)$。

3.Ac_code

import java.io.*;
import java.util.Arrays;

public class Main {
    static int N = 2010;
    static int n, m;
    static int d;
    static int[] A = new int[N], B = new int[N];
    static double[][][] f = new double[N][N][2];
    static int inf = 0x3f3f3f3f;
    static BufferedReader br=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    static PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        String[] s=br.readLine().split(" ");
        n = Integer.parseInt(s[0]);
        m = Integer.parseInt(s[1]);
        d = Integer.parseInt(s[2]);
        s=br.readLine().split(" ");
        for (int i = 1; i <= n; ++i) A[i] = Integer.parseInt(s[i-1]);
        s=br.readLine().split(" ");
        for (int i = 1; i <= m; ++i) B[i] = Integer.parseInt(s[i-1]);
        Arrays.sort(A, 1, n + 1);
        Arrays.sort(B, 1, m + 1);
        double sb = dis(B[1], 0, d);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            f[i][0][0] = A[i];
            f[i][0][1] = inf;
        }
        //遍历下面
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            f[0][i][1] = sb + B[i] - B[1];
            f[0][i][0] = inf;
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                f[i][j][0] = Math.min(f[i - 1][j][0] + A[i] - A[i - 1], f[i - 1][j][1] + dis(A[i], B[j], d));
                f[i][j][1] = Math.min(f[i][j - 1][1] + B[j] - B[j - 1], f[i][j - 1][0] + dis(A[i], B[j], d));
            }
        }
        double ans = Math.min(f[n][m][0], f[n][m][1]);
        out.printf("%.2f", ans);
        out.flush();
    }

    static double dis(long x, long y, double w) {
        return Math.sqrt((x - y) * (x - y) + w * w);
    }
}
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