设 F ( x , y ) = s i n y + e x − x y 2 ，则 F x = e x − y 2 ， F y = c o s y − 2 x y ，当 F y ≠ 0 时， 有 d y d x = − F x F y = − e x − y 2 c o s y − 2 x y = y 2 − e x c o s y − 2 x y 设F(x, y)=sin y+ex−xy2，则Fx=ex−y2，Fy=cos y−2xy，当Fy≠0时， 有dydx=−FxFy=−ex−y2cos y−2xy=y2−excos y−2xy 设F(x, y)=sin y+ex−xy2，则Fx=ex−y2，Fy=cos y−2xy，当Fy=0时， 有dxdy=−FyFx=−cos y−2xyex−y2=cos y−2xyy2−ex
设 F ( x , y ) = l n x 2 + y 2 − a r c t a n y x ，则一阶偏导数分别为 F x = 1 x 2 + y 2 ⋅ 2 x 2 x 2 + y 2 − 1 1 + ( y x ) 2 ⋅ ( − y x 2 ) = x + y x 2 + y 2 ， F y = 1 x 2 + y 2 ⋅ 2 y 2 x 2 + y 2 − 1 1 + ( y x ) 2 ⋅ 1 x = y − x x 2 + y 2 ， 当 F y ≠ 0 时，有 d y d x = − F x F y = − x + y x 2 + y 2 y − x x 2 + y 2 = x + y x − y . 设F(x, y)=ln√x2+y2−arctanyx，则一阶偏导数分别为 Fx=1√x2+y2⋅2x2√x2+y2−11+(yx)2⋅(−yx2)=x+yx2+y2， Fy=1√x2+y2⋅2y2√x2+y2−11+(yx)2⋅1x=y−xx2+y2， 当Fy≠0时，有dydx=−FxFy=−x+yx2+y2y−xx2+y2=x+yx−y. 设F(x, y)=lnx2+y2−arctanxy，则一阶偏导数分别为 Fx=x2+y21⋅2x2+y22x−1+(xy)21⋅(−x2y)=x2+y2x+y， Fy=x2+y21⋅2x2+y22y−1+(xy)21⋅x1=x2+y2y−x， 当Fy=0时，有dxdy=−FyFx=−x2+y2y−xx2+y2x+y=x−yx+y.
设 F ( x , y , z ) = x + 2 y + z − 2 x y z ，则 F x = 1 − y z x y z ， F y = 2 − x z x y z ， F z = 1 − x y x y z ， 当 F z ≠ 0 时，有 ∂ z ∂ x = − F x F z = y z − x y z x y z − x y ， ∂ z ∂ y = − F y F z = x z − 2 x y z x y z − x y . 设F(x, y, z)=x+2y+z−2√xyz，则Fx=1−yz√xyz，Fy=2−xz√xyz，Fz=1−xy√xyz， 当Fz≠0时，有∂z∂x=−FxFz=yz−√xyz√xyz−xy，∂z∂y=−FyFz=xz−2√xyz√xyz−xy. 设F(x, y, z)=x+2y+z−2xyz，则Fx=1−xyzyz，Fy=2−xyzxz，Fz=1−xyzxy， 当Fz=0时，有∂x∂z=−FzFx=xyz−xyyz−xyz，∂y∂z=−FzFy=xyz−xyxz−2xyz.
设 F ( x , y , z ) = x z − l n z y ，则 F x = 1 z ， F y = − 1 z y ⋅ ( − z y 2 ) = 1 y ， F z = − x z 2 − 1 z y ⋅ 1 y = − x + z z 2 ， 当 F z ≠ 0 时，有 ∂ z ∂ x = − F x F z = − 1 z − x + z z 2 = z x + z ， ∂ z ∂ y = − F y F z = − 1 y − x + z z 2 = z 2 y ( x + z ) . 设F(x, y, z)=xz−lnzy，则Fx=1z，Fy=−1zy⋅(−zy2)=1y，Fz=−xz2−1zy⋅1y=−x+zz2， 当Fz≠0时，有∂z∂x=−FxFz=−1z−x+zz2=zx+z，∂z∂y=−FyFz=−1y−x+zz2=z2y(x+z). 设F(x, y, z)=zx−lnyz，则Fx=z1，Fy=−yz1⋅(−y2z)=y1，Fz=−z2x−yz1⋅y1=−z2x+z， 当Fz=0时，有∂x∂z=−FzFx=−z2x+z−z1=x+zz，∂y∂z=−FzFy=−z2x+z−y1=y(x+z)z2.
设 F ( x , y , z ) = 2 s i n ( x + 2 y − 3 z ) − x − 2 y + 3 z ，则 F x = 2 c o s ( x + 2 y − 3 z ) − 1 ， F y = 2 c o s ( x + 2 y − 3 z ) ⋅ 2 − 2 = 2 F x ， F z = 2 c o s ( x + 2 y − 3 z ) ⋅ ( − 3 ) + 3 = − 3 F x ， 当 F z ≠ 0 时，有 ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = − F x F z − F y F z = 1 3 + 2 3 = 1. 设F(x, y, z)=2sin(x+2y−3z)−x−2y+3z，则Fx=2cos(x+2y−3z)−1， Fy=2cos(x+2y−3z)⋅2−2=2Fx，Fz=2cos(x+2y−3z)⋅(−3)+3=−3Fx， 当Fz≠0时，有∂z∂x+∂z∂y=−FxFz−FyFz=13+23=1. 设F(x, y, z)=2sin(x+2y−3z)−x−2y+3z，则Fx=2cos(x+2y−3z)−1， Fy=2cos(x+2y−3z)⋅2−2=2Fx，Fz=2cos(x+2y−3z)⋅(−3)+3=−3Fx， 当Fz=0时，有∂x∂z+∂y∂z=−FzFx−FzFy=31+32=1.
因为 ∂ x ∂ y = − F y F x ， ∂ y ∂ z = − F z F y ， ∂ z ∂ x = − F x F z ，所以 ∂ x ∂ y ⋅ ∂ y ∂ z ⋅ ∂ z ∂ x = ( − F y F x ) ⋅ ( − F z F y ) ⋅ ( − F x F z ) = − 1 因为∂x∂y=−FyFx，∂y∂z=−FzFy，∂z∂x=−FxFz，所以∂x∂y⋅∂y∂z⋅∂z∂x=(−FyFx)⋅(−FzFy)⋅(−FxFz)=−1 因为∂y∂x=−FxFy，∂z∂y=−FyFz，∂x∂z=−FzFx，所以∂y∂x⋅∂z∂y⋅∂x∂z=(−FxFy)⋅(−FyFz)⋅(−FzFx)=−1
令 u = c x − a z ， v = c y − b z ，则 Φ x = Φ u ⋅ ∂ u ∂ x = c Φ u ， Φ y = Φ v ⋅ ∂ v ∂ y = c Φ v ， Φ z = Φ u ⋅ ∂ u ∂ z + Φ v ⋅ ∂ v ∂ z = − a Φ u − b Φ v ， 当 Φ z ≠ 0 时，有 ∂ z ∂ x = − Φ x Φ z = c Φ u a Φ u + b Φ v ， ∂ z ∂ y = − Φ y Φ z = c Φ v a Φ u + b Φ v ， 得 a ∂ z ∂ x + b ∂ z ∂ y = a ⋅ c Φ u a Φ u + b Φ v + b ⋅ c Φ v a Φ u + b Φ v = c . 令u=cx−az，v=cy−bz，则Φx=Φu⋅∂u∂x=cΦu，Φy=Φv⋅∂v∂y=cΦv， Φz=Φu⋅∂u∂z+Φv⋅∂v∂z=−aΦu−bΦv， 当Φz≠0时，有∂z∂x=−ΦxΦz=cΦuaΦu+bΦv，∂z∂y=−ΦyΦz=cΦvaΦu+bΦv， 得a∂z∂x+b∂z∂y=a⋅cΦuaΦu+bΦv+b⋅cΦvaΦu+bΦv=c. 令u=cx−az，v=cy−bz，则Φx=Φu⋅∂x∂u=cΦu，Φy=Φv⋅∂y∂v=cΦv， Φz=Φu⋅∂z∂u+Φv⋅∂z∂v=−aΦu−bΦv， 当Φz=0时，有∂x∂z=−ΦzΦx=aΦu+bΦvcΦu，∂y∂z=−ΦzΦy=aΦu+bΦvcΦv， 得a∂x∂z+b∂y∂z=a⋅aΦu+bΦvcΦu+b⋅aΦu+bΦvcΦv=c.
设 F ( x , y , z ) = e z − x y z ，则 F x = − y z ， F z = e z − x y ，当 F z ≠ 0 时，有 ∂ z ∂ x = − F x F z = y z e z − x y ， ∂ 2 z ∂ x 2 = ∂ ∂ x ( ∂ z ∂ x ) = y ∂ z ∂ x ( e z − x y ) − y z ( e z ∂ z ∂ x − y ) ( e z − x y ) 2 = y 2 z − y z ( e z ⋅ y z e z − x y − y ) ( e z − x y ) 2 = 2 y 2 z e z − 2 x y 3 z − y 2 z 2 e z ( e z − x y ) 3 . 设F(x, y, z)=ez−xyz，则Fx=−yz，Fz=ez−xy，当Fz≠0时，有∂z∂x=−FxFz=yzez−xy， ∂2z∂x2=∂∂x(∂z∂x)=y∂z∂x(ez−xy)−yz(ez∂z∂x−y)(ez−xy)2=y2z−yz(ez⋅yzez−xy−y)(ez−xy)2=2y2zez−2xy3z−y2z2ez(ez−xy)3. 设F(x, y, z)=ez−xyz，则Fx=−yz，Fz=ez−xy，当Fz=0时，有∂x∂z=−FzFx=ez−xyyz， ∂x2∂2z=∂x∂(∂x∂z)=(ez−xy)2y∂x∂z(ez−xy)−yz(ez∂x∂z−y)=(ez−xy)2y2z−yz(ez⋅ez−xyyz−y)=(ez−xy)32y2zez−2xy3z−y2z2ez.
设 F ( x , y , z ) = z 3 − 3 x y z − a 3 ，则 F x = − 3 y z ， F y = − 3 x z ， F z = 3 z 2 − 3 x y ，当 F z ≠ 0 时， 有 ∂ z ∂ x = − F x F z = y z z 2 − x y ， ∂ z ∂ y = − F y F z = x z z 2 − x y ， ∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ ∂ y ( ∂ z ∂ x ) = ∂ ∂ y ( y z z 2 − x y ) = ( z + y ∂ z ∂ y ) ( z 2 − x y ) − y z ( 2 z ∂ z ∂ y − x ) ( z 2 − x y ) 2 = ( z + x y z z 2 − x y ) ⋅ ( z 2 − x y ) − y z ( 2 x z 2 z 2 − x y − x ) ( z 2 − x y ) 2 = z ( z 4 − 2 x y z 2 − x 2 y 2 ) ( z 2 − x y ) 3 设F(x, y, z)=z3−3xyz−a3，则Fx=−3yz，Fy=−3xz，Fz=3z2−3xy，当Fz≠0时， 有∂z∂x=−FxFz=yzz2−xy，∂z∂y=−FyFz=xzz2−xy， ∂2z∂x∂y=∂∂y(∂z∂x)=∂∂y(yzz2−xy)=(z+y∂z∂y)(z2−xy)−yz(2z∂z∂y−x)(z2−xy)2= (z+xyzz2−xy)⋅(z2−xy)−yz(2xz2z2−xy−x)(z2−xy)2=z(z4−2xyz2−x2y2)(z2−xy)3 设F(x, y, z)=z3−3xyz−a3，则Fx=−3yz，Fy=−3xz，Fz=3z2−3xy，当Fz=0时， 有∂x∂z=−FzFx=z2−xyyz，∂y∂z=−FzFy=z2−xyxz， ∂x∂y∂2z=∂y∂(∂x∂z)=∂y∂(z2−xyyz)=(z2−xy)2(z+y∂y∂z)(z2−xy)−yz(2z∂y∂z−x)= (z2−xy)2(z+z2−xyxyz)⋅(z2−xy)−yz(z2−xy2xz2−x)=(z2−xy)3z(z4−2xyz2−x2y2)
( 1 ) 设 { z = x 2 + y 2 ， x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 20 ， 求 d y d x ， d z d x ； ( 2 ) 设 { x + y + z = 0 ， x 2 + y 2 + z 2 = 1 ， 求 d x d z ， d y d z ； ( 3 ) 设 { u = f ( u x , v + y ) ， v = g ( u − x , v 2 y ) ， 其中 f ， g 具有一阶连续偏导数，求 ∂ u ∂ x ， ∂ v ∂ x ； ( 4 ) 设 { x = e u + u s i n v ， y = e u − u c o s v ， 求 ∂ u ∂ x ， ∂ u ∂ y ， ∂ v ∂ x ， ∂ v ∂ y . (1) 设{z=x2+y2，x2+2y2+3z2=20，求dydx，dzdx； (2) 设{x+y+z=0，x2+y2+z2=1，求dxdz，dydz； (3) 设{u=f(ux, v+y)，v=g(u−x, v2y)，其中f，g具有一阶连续偏导数，求∂u∂x，∂v∂x； (4) 设{x=eu+usin v，y=eu−ucos v，求∂u∂x，∂u∂y，∂v∂x，∂v∂y. (1) 设⎩ ⎨ ⎧z=x2+y2，x2+2y2+3z2=20，求dxdy，dxdz； (2) 设⎩ ⎨ ⎧x+y+z=0，x2+y2+z2=1，求dzdx，dzdy； (3) 设⎩ ⎨ ⎧u=f(ux, v+y)，v=g(u−x, v2y)，其中f，g具有一阶连续偏导数，求∂x∂u，∂x∂v； (4) 设⎩ ⎨ ⎧x=eu+usin v，y=eu−ucos v，求∂x∂u，∂y∂u，∂x∂v，∂y∂v.
( 1 ) 对两方程两端对 x 求导，得 { d z d x = 2 x + 2 y d y d x ， 2 x + 4 y d y d x + 6 z d z d x = 0. ，整理得 { 2 y d y d x − d z d x = − 2 x ， 2 y d y d x + 3 z d z d x = − x . ， 当 D = ∣ 2 y − 1 2 y 3 z ∣ = 6 y z + 2 y ≠ 0 时，解方程组得 d y d x = ∣ − 2 x − 1 − x 3 z ∣ D = − 6 x z − x 6 y z + 2 y = − x ( 6 z + 1 ) 2 y ( 3 z + 1 ) ， d z d x = ∣ 2 y − 2 x 2 y − x ∣ D = 2 x y 6 y z + 2 y = x 3 z + 1 . ( 2 ) 方程组确定两个一元隐函数： x = x ( z ) 和 y = y ( z ) ，对方程两端对 z 求导，整理得 { d x d z + d y d z = − 1 ， 2 x d x d z + 2 y d y d z = − 2 z . ， 当 D = ∣ 1 1 2 x 2 y ∣ = 2 ( y − x ) ≠ 0 时，解方程组得 d x d z = ∣ − 1 1 − 2 z 2 y ∣ D = − 2 y + 2 z 2 ( y − x ) = y − z x − y ， d y d z = ∣ 1 − 1 2 x − 2 z ∣ D = − 2 z + 2 x 2 ( y − x ) = z − x x − y . ( 3 ) 方程组确定两个二元隐函数： u = u ( x , y ) ， v = v ( x , y ) ，分别对方程两端对 x 求偏导数， 得 { ∂ u ∂ x = f 1 ′ ⋅ ( u + x ∂ u ∂ x ) + f 2 ′ ⋅ ∂ v ∂ x ， ∂ v ∂ x = g 1 ′ ⋅ ( ∂ u ∂ x − 1 ) + 2 g 2 ′ y v ⋅ ∂ v ∂ x . ，整理得 { ( x f 1 ′ − 1 ) ∂ u ∂ x + f 2 ′ ∂ v ∂ x = − u f 1 ′ ， g 1 ′ ∂ u ∂ x + ( 2 y v g 2 ′ − 1 ) ∂ v ∂ x = g 1 ′ . ， 当 D = ∣ x f 1 ′ − 1 f 2 ′ g 1 ′ 2 y v g 2 ′ − 1 ∣ = ( x f 1 ′ − 1 ) ( 2 y v g 2 ′ − 1 ) − f 2 ′ g 1 ′ ≠ 0 时，解方程组得 ∂ u ∂ x = ∣ − u f 1 ′ f 2 ′ g 1 ′ 2 y v g 2 ′ − 1 ∣ D = − u f 1 ′ ( 2 y v g 2 ′ − 1 ) − f 2 ′ g 1 ′ ( x f 1 ′ − 1 ) ( 2 y v g 2 ′ − 1 ) − f 2 ′ g 1 ′ ， ∂ v ∂ x = ∣ x f 1 ′ − 1 − u f 1 ′ g 1 ′ g 1 ′ ∣ D = g 1 ′ ( x f 1 ′ + u f 1 ′ − 1 ) ( x f 1 ′ − 1 ) ( 2 y v g 2 ′ − 1 ) − f 2 ′ g 1 ′ . ( 4 ) 方程组确定的两个二元隐函数 u = u ( x , y ) ， v = v ( x , y ) 是已知函数的反函数， 令 F ( x , y , u , v ) = x − e u − u s i n v ， G ( x , y , u , v ) = y − e u + u c o s v ， 则 F x = 1 ， F y = 0 ， F u = − e u − s i n v ， F v = − u c o s v ， G x = 0 ， G y = 1 ， G u = − e u + c o s v ， G v = − u s i n v ， 当 J = ∂ ( F , G ) ∂ ( u , v ) = ∣ − e u − s i n v − u c o s v − e u + c o s v − u s i n v ∣ = u e u ( s i n v − c o s v ) + u ≠ 0 时，由隐函数求导公式得 ∂ u ∂ x = − ∂ ( F , G ) ∂ ( x , v ) J = − ∣ 1 − u c o s v 0 − u s i n v ∣ J = s i n v e u ( s i n v − c o s v ) + 1 ， ∂ u ∂ y = − ∂ ( F , G ) ∂ ( y , v ) J = − ∣ 0 − u c o s v 1 − u s i n v ∣ J = − c o s v e u ( s i n v − c o s v ) + 1 ， ∂ v ∂ x = − ∂ ( F , G ) ∂ ( u , x ) J = − ∣ − e u − s i n v 1 − e u + c o s v 0 ∣ J = c o s v − e u u [ e u ( s i n v − c o s v ) + 1 ] ， ∂ v ∂ y = − ∂ ( F , G ) ∂ ( u , y ) J = − ∣ − e u − s i n v 0 − e u + c o s v 1 ∣ J = s i n v + e u u [ e u ( s i n v − c o s v ) + 1 ] . (1) 对两方程两端对x求导，得{dzdx=2x+2ydydx，2x+4ydydx+6zdzdx=0.，整理得{2ydydx−dzdx=−2x，2ydydx+3zdzdx=−x.， 当D=|2y−12y3z|=6yz+2y≠0时，解方程组得dydx=|−2x−1−x3z|D=−6xz−x6yz+2y=−x(6z+1)2y(3z+1)， dzdx=|2y−2x2y−x|D=2xy6yz+2y=x3z+1. (2) 方程组确定两个一元隐函数：x=x(z)和y=y(z)，对方程两端对z求导，整理得{dxdz+dydz=−1，2xdxdz+2ydydz=−2z.， 当D=|112x2y|=2(y−x)≠0时，解方程组得dxdz=|−11−2z2y|D=−2y+2z2(y−x)=y−zx−y， dydz=|1−12x−2z|D=−2z+2x2(y−x)=z−xx−y. (3) 方程组确定两个二元隐函数：u=u(x, y)，v=v(x, y)，分别对方程两端对x求偏导数， 得{∂u∂x=f′1⋅(u+x∂u∂x)+f′2⋅∂v∂x，∂v∂x=g′1⋅(∂u∂x−1)+2g′2yv⋅∂v∂x.，整理得{(xf′1−1)∂u∂x+f′2∂v∂x=−uf′1，g′1∂u∂x+(2yvg′2−1)∂v∂x=g′1.， 当D=|xf′1−1f′2g′12yvg′2−1|=(xf′1−1)(2yvg′2−1)−f′2g′1≠0时，解方程组得 ∂u∂x=|−uf′1f′2g′12yvg′2−1|D=−uf′1(2yvg′2−1)−f′2g′1(xf′1−1)(2yvg′2−1)−f′2g′1， ∂v∂x=|xf′1−1−uf′1g′1g′1|D=g′1(xf′1+uf′1−1)(xf′1−1)(2yvg′2−1)−f′2g′1. (4) 方程组确定的两个二元隐函数u=u(x, y)，v=v(x, y)是已知函数的反函数， 令F(x, y, u, v)=x−eu−usin v，G(x, y, u, v)=y−eu+ucos v， 则Fx=1，Fy=0，Fu=−eu−sin v，Fv=−ucos v，Gx=0，Gy=1，Gu=−eu+cos v，Gv=−usin v， 当J=∂(F, G)∂(u, v)=|−eu−sin v−ucos v−eu+cos v−usin v|=ueu(sin v−cos v)+u≠0时，由隐函数求导公式得 ∂u∂x=−∂(F, G)∂(x, v)J=−|1−ucos v0−usin v|J=sin veu(sin v−cos v)+1， ∂u∂y=−∂(F, G)∂(y, v)J=−|0−ucos v1−usin v|J=−cos veu(sin v−cos v)+1， ∂v∂x=−∂(F, G)∂(u, x)J=−|−eu−sin v1−eu+cos v0|J=cos v−euu[eu(sin v−cos v)+1]， ∂v∂y=−∂(F, G)∂(u, y)J=−|−eu−sin v0−eu+cos v1|J=sin v+euu[eu(sin v−cos v)+1]. (1) 对两方程两端对x求导，得⎩ ⎨ ⎧dxdz=2x+2ydxdy，2x+4ydxdy+6zdxdz=0.，整理得⎩ ⎨ ⎧2ydxdy−dxdz=−2x，2ydxdy+3zdxdz=−x.， 当D=∣ ∣2y2y−13z∣ ∣=6yz+2y=0时，解方程组得dxdy=D∣ ∣−2x−x−13z∣ ∣=6yz+2y−6xz−x=2y(3z+1)−x(6z+1)， dxdz=D∣ ∣2y2y−2x−x∣ ∣=6yz+2y2xy=3z+1x. (2) 方程组确定两个一元隐函数：x=x(z)和y=y(z)，对方程两端对z求导，整理得⎩ ⎨ ⎧dzdx+dzdy=−1，2xdzdx+2ydzdy=−2z.， 当D=∣ ∣12x12y∣ ∣=2(y−x)=0时，解方程组得dzdx=D∣ ∣−1−2z12y∣ ∣=2(y−x)−2y+2z=x−yy−z， dzdy=D∣ ∣12x−1−2z∣ ∣=2(y−x)−2z+2x=x−yz−x. (3) 方程组确定两个二元隐函数：u=u(x, y)，v=v(x, y)，分别对方程两端对x求偏导数， 得⎩ ⎨ ⎧∂x∂u=f1′⋅(u+x∂x∂u)+f2′⋅∂x∂v，∂x∂v=g1′⋅(∂x∂u−1)+2g2′yv⋅∂x∂v.，整理得⎩ ⎨ ⎧(xf1′−1)∂x∂u+f2′∂x∂v=−uf1′，g1′∂x∂u+(2yvg2′−1)∂x∂v=g1′.， 当D=∣ ∣xf1′−1g1′f2′2yvg2′−1∣ ∣=(xf1′−1)(2yvg2′−1)−f2′g1′=0时，解方程组得 ∂x∂u=D∣ ∣−uf1′g1′f2′2yvg2′−1∣ ∣=(xf1′−1)(2yvg2′−1)−f2′g1′−uf1′(2yvg2′−1)−f2′g1′， ∂x∂v=D∣ ∣xf1′−1g1′−uf1′g1′∣ ∣=(xf1′−1)(2yvg2′−1)−f2′g1′g1′(xf1′+uf1′−1). (4) 方程组确定的两个二元隐函数u=u(x, y)，v=v(x, y)是已知函数的反函数， 令F(x, y, u, v)=x−eu−usin v，G(x, y, u, v)=y−eu+ucos v， 则Fx=1，Fy=0，Fu=−eu−sin v，Fv=−ucos v，Gx=0，Gy=1，Gu=−eu+cos v，Gv=−usin v， 当J=∂(u, v)∂(F, G)=∣ ∣−eu−sin v−eu+cos v−ucos v−usin v∣ ∣=ueu(sin v−cos v)+u=0时，由隐函数求导公式得 ∂x∂u=−J∂(x, v)∂(F, G)=−J∣ ∣10−ucos v−usin v∣ ∣=eu(sin v−cos v)+1sin v， ∂y∂u=−J∂(y, v)∂(F, G)=−J∣ ∣01−ucos v−usin v∣ ∣=eu(sin v−cos v)+1−cos v， ∂x∂v=−J∂(u, x)∂(F, G)=−J∣ ∣−eu−sin v−eu+cos v10∣ ∣=u[eu(sin v−cos v)+1]cos v−eu， ∂y∂v=−J∂(u, y)∂(F, G)=−J∣ ∣−eu−sin v−eu+cos v01∣ ∣=u[eu(sin v−cos v)+1]sin v+eu.
由方程组 { y = f ( x , t ) ， F ( x , y , t ) = 0 可确定两个一元隐函数 y = y ( x ) ， t = t ( x ) ，分别对两个方程两端对 x 求导， 得 { d y d x = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ t ⋅ d t d x ， ∂ F ∂ x + ∂ F ∂ y ⋅ d y d x + ∂ F ∂ t ⋅ d t d x = 0. ，整理得 { d y d x − ∂ f ∂ t ⋅ d t d x = ∂ f ∂ x ， ∂ F ∂ y ⋅ d y d x + ∂ F ∂ t ⋅ d t d x = − ∂ F ∂ x . ， 当 D = ∣ 1 − ∂ f ∂ t ∂ F ∂ y ∂ F ∂ t ∣ = ∂ F ∂ t + ∂ f ∂ t ⋅ ∂ F ∂ y ≠ 0 时，解方程组得 d y d x = ∣ ∂ f ∂ x − ∂ f ∂ t − ∂ F ∂ x ∂ F ∂ t ∣ D = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ F ∂ t − ∂ f ∂ t ⋅ ∂ F ∂ x ∂ F ∂ t + ∂ f ∂ t ⋅ ∂ F ∂ y 由方程组{y=f(x, t)，F(x, y, t)=0可确定两个一元隐函数y=y(x)，t=t(x)，分别对两个方程两端对x求导， 得{dydx=∂f∂x+∂f∂t⋅dtdx，∂F∂x+∂F∂y⋅dydx+∂F∂t⋅dtdx=0.，整理得{dydx−∂f∂t⋅dtdx=∂f∂x，∂F∂y⋅dydx+∂F∂t⋅dtdx=−∂F∂x.， 当D=|1−∂f∂t∂F∂y∂F∂t|=∂F∂t+∂f∂t⋅∂F∂y≠0时，解方程组得 dydx=|∂f∂x−∂f∂t−∂F∂x∂F∂t|D=∂f∂x⋅∂F∂t−∂f∂t⋅∂F∂x∂F∂t+∂f∂t⋅∂F∂y 由方程组⎩ ⎨ ⎧y=f(x, t)，F(x, y, t)=0可确定两个一元隐函数y=y(x)，t=t(x)，分别对两个方程两端对x求导， 得⎩ ⎨ ⎧dxdy=∂x∂f+∂t∂f⋅dxdt，∂x∂F+∂y∂F⋅dxdy+∂t∂F⋅dxdt=0.，整理得⎩ ⎨ ⎧dxdy−∂t∂f⋅dxdt=∂x∂f，∂y∂F⋅dxdy+∂t∂F⋅dxdt=−∂x∂F.， 当D=∣ ∣1∂y∂F−∂t∂f∂t∂F∣ ∣=∂t∂F+∂t∂f⋅∂y∂F=0时，解方程组得 dxdy=D∣ ∣∂x∂f−∂x∂F−∂t∂f∂t∂F∣ ∣=∂t∂F+∂t∂f⋅∂y∂F∂x∂f⋅∂t∂F−∂t∂f⋅∂x∂F