2022全国大学生数学建模A题的思路与解法

题目回顾与写在前面

• 首先，我们队在历经了千辛万苦之后，光荣得获得了  省三......
• 队伍构成 物理*2 + 计算机*1
• 队伍分工  计算机-->受力分析  物理-->数值计算
• 总评：图一乐，狠乐！物理系，计算机系嘛，不怎么看建模的啦！
  • 如果只是考虑力学问题的话，我们分析得肯定还不太到位，但是这个题肯定很好分析
  • 所以，这个题主要在数值计算上

 思路

基本假设

1.海水是无粘及无旋的。

2.浮子在线性周期微幅波作用下会受到波浪激励力（矩）、附加惯性力（矩）、兴波阻尼力（矩）和静水恢复力（矩）。

3.忽略中轴、底座、隔层及 PTO的质量和各种摩擦。

4.初始浮子和振子平衡于静水中。

问题一的求解

数值求解

4级显式Runge-Kutta方法

求解过程的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation
import matplotlib
 
matplotlib.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
matplotlib.rcParams["axes.unicode_minus"] = False
 
def runge_kutta4(df, a, b, h, y0):
    num = len(y0)
    x = np.arange(a, b+h, h)
    w = np.zeros( (x.size, num) )
    w[0, :] = y0
    for i in range(x.size - 1):
        s0 = df(x[i], w[i, :],i*h)
        s1 = df(x[i] + h/2., w[i, :] + h * s0 / 2.,i*h)
        s2 = df(x[i] + h/2., w[i, :] + h * s1 / 2.,i*h)
        s3 = df(x[i+1], w[i, :] + h * s2,i*h)
        w[i+1,:] = w[i,:] + h * (s0 + 2*(s1+s2) + s3) / 6.
    return x, w
 
def df(x, variables,i):
    th1, th2, om1, om2 = variables
    
    A = np.zeros((2, 2))
    b = np.zeros(2)
    
    A[0, 0] = 2433+6201.535
    A[0, 1] = 2433
    A[1, 0] = 2433
    A[1, 1] = 2433
    
    b[0] = 6250*np.cos(1.4005*i)-10045*4*np.arctan(1)*th1*(th1<=0.999989731)-10045*4*np.arctan(1)*0.999989731*(th1>0.999989731)-656.3616*om1
    b[1] = -80000*th2-10000*om2
    dom1, dom2 = np.linalg.solve(A,b)
    return np.array([om1,om2,dom1,dom2])
 
a, b = 0.0,180.0
h = 0.01
 
th10 = 0.1
th20 = 0.1
om10 = 0.1
om20 = 0.1
 
y0 = np.array([th10, th20, om10, om20])
 
# 计算求解
t, w = runge_kutta4(df, a, b, h, y0)
 
th1 = w[:, 0]
th2 = w[:, 1]
om1 = w[:, 2]
om2 = w[:, 3]
 
plt.plot([h*i for i in range(len(th1))],th1,label="x1")
plt.plot([h*i for i in range(len(th2))],th2,label="x2")
#plt.plot([i*h for i in range(len(om1))],om1,label="x1'")
#plt.plot([i*h for i in range(len(om2))],om2,label="x2'")
plt.xlabel("时间/s")
plt.ylabel("位移/m",rotation=True)
#plt.ylabel("速度/m*s^-1",rotation=True)
plt.legend()
 
plt.title("x1 x2 随时间的变化量；求解步长 -m1"+str(h))
plt.savefig("x1 x2 随时间的变化量 求解步长 -m1"+str(h)+".jpg")
plt.show()
 
 
#plt.title("x1' x2' 随时间的变化量；求解步长 "+str(h))
#plt.savefig("x1' x2' 随时间的变化量 求解步长 "+str(h)+".jpg")
#plt.show()
 
import xlsxwriter as xls
#th1 = np.array(th1[::20])
#th2 = np.array(th2[::20])
#om1 = np.array(om1[::20])
#om2 = np.array(om2[::20])
 
th1 = np.array(th1)
th2 = np.array(th2)
om1 = np.array(om1)
om2 = np.array(om2)
 
 
workbook = xls.Workbook("1-1-000-m1.xlsx")
worksheet = workbook.add_worksheet("Sheet1")
headings = ["x1","x2","v1","v2"]
worksheet.write_row("A1",headings)
worksheet.write_column("A2",th1)
worksheet.write_column("B2",om1)
 
worksheet.write_column("C2",th1+th2)
worksheet.write_column("D2",om1+om2)
workbook.close()

问题二

变步长搜索法

矩形法数值积分

问题二解法

 

 

问题三

 

数值解（类似一，二的解法）

 

 问题四

 我们的优化模型：

小结

• 这道题受力分析的成分要更大一点哈
• 分析完了就数值计算
• 受力分析不完整，我们就不放出来了，以后再完善吧。