• 数据结构：AVL树——C++实现（待补充）

    前言

    AVL树特点：在BST树的基础上，引入了节点“平衡”的概念，任意一个节点的左右子树高度差不超过1。

    为什么要引入平衡这个概念？
    在BST树中，由于插入后就是排序好的，那就会存在这样一种情况：如果插入的元素依次增大，就会导致理想中的二叉树，形成了一个链表，如下图，这种情况会导致增删查的时间复杂度并不是O(logn)，而是O(n)。为了解决这样情况，引入了平衡的概念。

    在这里插入图片描述

    文章目录

    AVL树节点的定义

    template<typename T>
class AVLTree
{
private:
	// 定义AVL树节点类型
	struct Node
	{
		Node(T data = T())
			: val_(data)
			, left_(nullptr)
			, right(nullptr)
			, height_(1)
		{}

		T val_;
		Node* left_;
		Node* right_;
		int height_;	// 记录节点高度值
	};

	Node* root_;	// 指向根节点
};

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    AVL树维护节点平衡的四种旋转操作

    1. 右旋转-左孩子的左子树太高

    在这里插入图片描述

    操作步骤：right rotate

    1. child指针指向node节点的左孩子；
    2. child如果有右子树，那就让node的左子树指向child的右子树；
    3. child的右子树指向node；
    4. 更新node和child节点的高度值。

    代码：

    // 返回节点的高度值
int height(Node* node)
{
	return node == nullptr ? 0 : node->height_;
}

// 右旋转操作,以参数node为轴做右旋转操作，并把新的根节点返回
Node* rightRotate(Node* node)
{
	Node* child = node->left_;
	node->left_ = child->right_;
	child->right_ = node;
	// 高度更新
	node->height_ = std::max(height(node->left_), height(node->right_)) + 1;
	child->height_ = std::max(height(child->left_), height(child->right_)) + 1;
	// 返回旋转后的子树新的根节点
	return child;
}

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    2. 左旋转-右孩子的右子树太高

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    操作步骤：left rotate

    1. child指针指向node的右孩子；
    2. 让node的右子树指向child的左子树；
    3. child的左子树指向node；
    4. 更新node和child节点的高度值。

    代码：

    // 左旋转操作
Node* leftRotate(Node* node)
{
	Node* child = node->right_;
	node->right_ = child->left_;
	child->left_ = node;
	// 高度更新
	node->height_ = std::max(height(node->left_), height(node->right_)) + 1;
	child->height_ = std::max(height(child->left_), height(child->right_)) + 1;
	// 返回旋转后的子树新的根节点
	return child;
}

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    3. 左平衡-左孩子的右子树太高

    左平衡，即左-右旋转
    可直接调用前两个接口

    在这里插入图片描述

    代码：

    // 左平衡操作
Node* leftBalance(Node* node)
{
	// 先对左孩子进行左旋转
	node->left_ = leftRotate(node->left_);
	// 右旋转
	return rightRotate(node);
}

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    4. 右平衡-右孩子的左子树太高

    右-左旋转
    可直接调用前两个接口
    在这里插入图片描述

    代码：

    // 右平衡操作
Node* rightBalance(Node* node)
{
	// 先对右孩子进行右旋转
	node->right_ = rightRotate(node->right_);
	// 左旋转
	return leftRotate(node);
}

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    AVL树的增加-insert()

    BST树的递归插入操作

    先来看看BST树的递归插入操作

    如果node为nullptr，表示找到插入的位置了；
    如果当前节点的值等于data，直接返回；
    如果当前节点的值小于data，则递归往左子树走；
    如果当前节点的值大于data，则递归往右子树走。

    // 递归插入操作
Node* insert(Node* node, const T& data)
{
	if (node == nullptr)
	{
		// 递归结束，找到插入data的位置，生成新节点返回
		return new Node(data);
	}
	if (node->val_ == data)
	{
		return node;
	}
	else if (node->val_ < data))
	{
		node->right_ = insert(node->right_, data);
	}
	else
	{
		node->left_ = insert(node->left_, data);
	}
	return node;
}

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    AVL树的插入操作增加了哪些内容？

    AVL树的插入操作：相对于BST树增加了哪些内容？
    如果node为nullptr，表示找到插入的位置了，递归结束，申请新节点返回；

    1. 如果当前节点值大于data，则递归往左子树插入；在回溯时判断节点是否失衡，因为是在左子树插入，所以判断左子树失衡问题。若失衡，则有两种情况，一是左孩子的左子树太高，则对node进行右旋转；二是左孩子的右子树太高，则对node做左平衡（左-右旋转）。
    2. 如果当前节点值小于data，则递归往右子树插入；在回溯时判断节点是否失衡，因为是在右子树插入，所有判断右子树失衡问题。若失衡，则又有两种情况，一是右孩子的右子树太高，则对node进行左旋转；二是右孩子的左子树太高，则对node做右平衡（右-左旋转）。
    3. 如果当前节点值等于data，表示遇到相同的值，什么也不做；
    4. 退出这三个判断后，在回溯过程中修正节点的高度，将其修正为左子树和右子树当中最高的高度再加1。
    5. 最后返回当前节点。
    // 插入操作实现
Node* insert(Node* node, const T& data)
{
	if (node == nullptr) // 递归结束
	{
		return new Node(data);
	}

	if (node->val_ > data)
	{
		node->left_ = insert(node->left_, data);
		// 添加1 在递归回溯时判断节点是否失衡
		// node的左子树太高，左子树失衡
		if (height(node->left_) - height(node->right_) > 1)
		{
			// 两种情况：左孩子左子树太高,节点失衡
			if (height(node->left_->left_) >= height(node->left_->right_))
			{
				node = rightRotate(node);
			}
			else // 左孩子的右子树太高，做左平衡
			{
				node = leftBalance(node);
			}
		}
	}
	else if (node->val_ < data)
	{
		node->right_ = insert(node->right_, data);
		// 添加2 在递归回溯时判断节点是否失衡
		// node的右子树太高，右子树失衡
		if (height(node->right_) - height(node->left_) > 1)
		{
			// 两种情况：右孩子右子树太高,节点失衡
			if (height(node->right_->right_) >= height(node->right_->left_))
			{
				node = leftRotate(node);
			}
			else // 右孩子的左子树太高，做右平衡
			{
				node = rightBalance(node);
			}
		}
	}
	else
	{
		; // 找到相同节点了，直接返回
	}

	// 添加3 添加节点后，回溯过程中检测更新节点高度
	node->height_ = max(height(node->left_), height(node->right_)) + 1;

	return node;
}

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    AVL树的删除（待补充）

    BST树的递归删除操作

    1. 如果node为nullptr，返回nullptr;
    2. 如果当前节点值大于待删除元素，则递归往左子树走；
    3. 如果当前节点值小于待删除元素，则递归往右子树走；
    4. 找到待删除节点后，先判断是哪种情况，这里有三种情况：（1）待删除节点有一个子树（左或右）；（2）待删除节点没有子树；（3）待删除节点左右子树都在
    5. 先处理第三种情况，如果左右子树都在，就找待删除节点的前驱节点，什么是前驱？就是按照搜索树性质的前驱，就是左孩子的最右子树节点。找到后，让前驱节点的元素覆盖当前node节点的元素，然后把问题转换为递归删除前驱节点。
    6. 经过第5步操作后，就把第3种情况转换为了1、2种情况。如果是第1种情况，那么判断看是哪个子树不为nullptr，保存其子树信息，删除当前节点后，将子树信息返回给回溯过程中的父节点；如果是第2种情况，直接删除节点，将nullptr返回给回溯过程中的父节点。
    7. 经过这些语句还没有完成，就返回当前节点node。
    // 递归删除
Node* remove(Node* node, const T& data)
{
	if (node == nullptr)
		return nullptr;
		
	if (node->val_ > data)
	{
		node->left_ = remove(node->left_, data);
	}
	else if (node->val_ < data)
	{
		node->right_ = remove(node->right_, data);
	}
	else // 找到待删除节点
	{
		// 情况3
		if (node->left_ != nullptr && node->right_ != nullptr)
		{
			// 找前驱节点
			Node* pre = node->left_;
			while (pre->right_ != nullptr)
			{
				pre = pre->right_;
			}
			// 拿前驱节点值覆盖当前节点
			node->val_ = pre->val_;

			// 通过递归直接删除前驱节点
			node->left_ = remove(node->left_, pre->val_);
		}
		else // 情况1和2
		{
			if (node->left_ != nullptr)	
			{			
				Node* left = node->left_;
				delete node;
				return left;
			}
			else if (node->right_ != nullptr)
			{
				// 删除节点以后，把非空的右孩子返回，回溯时更新其父节点地址域
				Node* right = node->right_;
				delete node;
				return right;
			}
			else // 删除的是没有孩子的节点，叶子节点
			{
				delete node;
				return nullptr;	// 回溯时更新其父节点地址为nullptr
			}
		}
	}
	
	return node;	// 把当前节点返回给父节点
}

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    AVL树的删除操作增加了哪些内容？

    因为要保证节点的度的平衡，所以增加了判断左右子树的高度以及旋转操作。

    1. 如果node为nullptr，直接返回；
    2. 如果当前节点值大于待删除元素，除了递归删除左子树，增加了在回溯过程中的判断（因为是删除左子树，所以可能会导致右子树太高，判断右子树高度减左子树的高度是否大于1），如果是，那么有两种情况：（1）右孩子的右子树太高，那么调用左旋转操作；（2）右孩子的左子树太高，那么调用右平衡操作（右-左旋转）。
    3. 如果当前节点值小于待删除元素，除了递归删除右子树，增加了在回溯过程中的判断（因为是删除右子树，所以可能会导致左子树太高，判断左子树高度减右子树高度是否大于1），如果是，那么有两种情况：（1）左孩子的左子树太高，那么调用右旋转操作；（2）左孩子的右子树太高，那么调用左平衡（左-右旋转）。
    4. 找到待删除节点后，情况肯定和BST树一样有三种。如果待删除节点有左右两个孩子，这里就不是和BST树一样删前驱了，而是判断，看哪边的子树高，如果左子树高，就和BST树一样，去递归删前驱；如果是右子树高，那么就去递归删后继。
    5. 经过第4步后，那么剩下的情况就是最多有一个孩子。这里和BST树操作一样。
    6. 在回溯过程中，更新节点高度，再把当前节点返回给父节点。
    // 删除操作实现
Node* remove(Node* node, const T& data)
{
	if (node == nullptr)
	{
		return nullptr;
	}

	if (node->val_ > data)
	{
		node->left_ = remove(node->left_, data);
		// 左子树删除节点可能导致右子树太高
		if (height(node->right_) - height(node->left_) > 1)
		{
			if (height(node->right_->right_) >= height(node->right_->left_))
			{
				// 右孩子的右子树太高
				node = leftRotate(node);
			}
			else
			{
				// 右孩子的左子树太高
				node = rightBalance(node);
			}
		}
	}
	else if (node->val_ < data)
	{
		node->right_ = remove(node->right_, data);
		// 右子树删除节点，可能导致左子树太高
		if (height(node->left_) - height(node->right_) > 1)
		{
			if (height(node->left_->left_) >= height(node->left_->right_))
			{
				// 左孩子的左子树太高
				node = rightRotate(node);
			}
			else
			{
				// 左孩子的右子树太高
				node = leftBalance(node);
			}
		}
	}
	else
	{
		// 找到了 先处理有两个孩子的节点的情况
		if (node->left_ != nullptr && node->right_ != nullptr)
		{
			// 为了避免删除前驱或者后继节点造成失衡，谁高删谁
			if (height(node->left_) >= height(node->right_))
			{
				// 删前驱
				Node* pre = node->left_;
				while (pre->right_ != nullptr)
				{
					pre = pre->right_;
				}
				node->val_ = pre->val_;
				node->left_ = remove(node->left_, pre->val_);	// 删前驱节点
			}
			else
			{
				// 删后继
				Node* post = node->right_;
				while (post->left_ != nullptr)
				{
					post = post->left_;
				}
				node->val_ = post->val_;
				node->right_ = remove(node->right_, post->val_);	// 删后继节点
			}
		}
		else // 删除节点，最多有一个孩子
		{
			if (node->left_ != nullptr)
			{
				Node* left = node->left_;
				delete node;
				return left;
			}
			else if (node->right_ != nullptr)
			{
				Node* right = node->right_;
				delete node;
				return right;
			}
			else
			{
				return nullptr;
			}
		}
	}

	// 更新节点高度
	node->height_ = max(height(node->left_), height(node->right_)) + 1;
	return node;	// 回溯过程中，把当前节点给父节点返回
}

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    测试用例

    在这里插入图片描述

    AVL树构造完成后：

    在这里插入图片描述

    删除元素6后的结果：这里体现的是删除的第三三种情况，待删除节点有两个孩子

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    再删除元素8后：这里体现的还是第三种情况，由于左右子树高度一样，所有删前驱节点去了。。

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    再删除元素7之后：也是第三种情况，有两个孩子，这时候右子树高，所以递归删除右子树。

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    end

    AVL树较难，写这篇文章时却没有画太多的图，所以如果有看不懂得地方可以多想几遍，然后画图，在心里面记住几个旋转情况。

    完整代码：

    #include 
#include 
using namespace std;

// AVL树
template<typename T>
class AVLTree
{
public:
	AVLTree() : root_(nullptr) {}

	// AVL树的插入操作
	void insert(const T& data)
	{
		root_ = insert(root_, data);
	}

	// AVL树的删除操作
	void remove(const T& data)
	{
		root_ = remove(root_, data);
	}

private:
	// 定义AVL树节点类型
	struct Node
	{
		Node(T data = T())
			: val_(data)
			, left_(nullptr)
			, right_(nullptr)
			, height_(1)
		{}

		T val_;
		Node* left_;
		Node* right_;
		int height_;	// 记录节点高度值
	};

	// 返回节点的高度值
	int height(Node* node)
	{
		return node == nullptr ? 0 : node->height_;
	}

	// 右旋转操作,以参数node为轴做右旋转操作，并把新的根节点返回
	Node* rightRotate(Node* node)
	{
		Node* child = node->left_;
		node->left_ = child->right_;
		child->right_ = node;
		// 高度更新
		node->height_ = std::max(height(node->left_), height(node->right_)) + 1;
		child->height_ = std::max(height(child->left_), height(child->right_)) + 1;
		// 返回旋转后的子树新的根节点
		return child;
	}

	// 左旋转操作
	Node* leftRotate(Node* node)
	{
		Node* child = node->right_;
		node->right_ = child->left_;
		child->left_ = node;
		// 高度更新
		node->height_ = std::max(height(node->left_), height(node->right_)) + 1;
		child->height_ = std::max(height(child->left_), height(child->right_)) + 1;
		// 返回旋转后的子树新的根节点
		return child;
	}

	// 左平衡操作
	Node* leftBalance(Node* node)
	{
		// 先对左孩子进行左旋转
		node->left_ = leftRotate(node->left_);

		// 右旋转
		return rightRotate(node);
	}

	// 右平衡操作
	Node* rightBalance(Node* node)
	{
		// 先对右孩子进行右旋转
		node->right_ = rightRotate(node->right_);

		// 左旋转
		return leftRotate(node);
	}

	// 插入操作实现
	Node* insert(Node* node, const T& data)
	{
		if (node == nullptr) // 递归结束
		{
			return new Node(data);
		}

		if (node->val_ > data)
		{
			node->left_ = insert(node->left_, data);
			// 添加1 在递归回溯时判断节点是否失衡
			// node的左子树太高，左子树失衡
			if (height(node->left_) - height(node->right_) > 1)
			{
				// 两种情况：左孩子左子树太高,节点失衡
				if (height(node->left_->left_) >= height(node->left_->right_))
				{
					node = rightRotate(node);
				}
				else // 左孩子的右子树太高，做左平衡
				{
					node = leftBalance(node);
				}
			}
		}
		else if (node->val_ < data)
		{
			node->right_ = insert(node->right_, data);
			// 添加2 在递归回溯时判断节点是否失衡
			// node的右子树太高，右子树失衡
			if (height(node->right_) - height(node->left_) > 1)
			{
				// 两种情况：右孩子右子树太高,节点失衡
				if (height(node->right_->right_) >= height(node->right_->left_))
				{
					node = leftRotate(node);
				}
				else // 右孩子的左子树太高，做右平衡
				{
					node = rightBalance(node);
				}
			}
		}
		else
		{
			; // 找到相同节点了，直接返回
		}

		// 添加3 添加节点后，回溯过程中检测更新节点高度
		node->height_ = max(height(node->left_), height(node->right_)) + 1;

		return node;
	}

	// 删除操作实现
	Node* remove(Node* node, const T& data)
	{
		if (node == nullptr)
		{
			return nullptr;
		}

		if (node->val_ > data)
		{
			node->left_ = remove(node->left_, data);
			// 左子树删除节点可能导致右子树太高
			if (height(node->right_) - height(node->left_) > 1)
			{
				if (height(node->right_->right_) >= height(node->right_->left_))
				{
					// 右孩子的右子树太高
					node = leftRotate(node);
				}
				else
				{
					// 右孩子的左子树太高
					node = rightBalance(node);
				}
			}
		}
		else if (node->val_ < data)
		{
			node->right_ = remove(node->right_, data);
			// 右子树删除节点，可能导致左子树太高
			if (height(node->left_) - height(node->right_) > 1)
			{
				if (height(node->left_->left_) >= height(node->left_->right_))
				{
					// 左孩子的左子树太高
					node = rightRotate(node);
				}
				else
				{
					// 左孩子的右子树太高
					node = leftBalance(node);
				}
			}
		}
		else
		{
			// 找到了 先处理有两个孩子的节点的情况
			if (node->left_ != nullptr && node->right_ != nullptr)
			{
				// 为了避免删除前驱或者后继节点造成失衡，谁高删谁
				if (height(node->left_) >= height(node->right_))
				{
					// 删前驱
					Node* pre = node->left_;
					while (pre->right_ != nullptr)
					{
						pre = pre->right_;
					}
					node->val_ = pre->val_;
					node->left_ = remove(node->left_, pre->val_);	// 删前驱节点
				}
				else
				{
					// 删后继
					Node* post = node->right_;
					while (post->left_ != nullptr)
					{
						post = post->left_;
					}
					node->val_ = post->val_;
					node->right_ = remove(node->right_, post->val_);	// 删后继节点
				}
			}
			else // 删除节点，最多有一个孩子
			{
				if (node->left_ != nullptr)
				{
					Node* left = node->left_;
					delete node;
					return left;
				}
				else if (node->right_ != nullptr)
				{
					Node* right = node->right_;
					delete node;
					return right;
				}
				else
				{
					return nullptr;
				}
			}
		}

		// 更新节点高度
		node->height_ = max(height(node->left_), height(node->right_)) + 1;
		return node;	// 回溯过程中，把当前节点给父节点返回
	}

	Node* root_;	// 指向根节点
};

int main(void)
{
	AVLTree<int> avl;
	for (int i = 1; i <= 10; ++i)
	{
		avl.insert(i);
	}

	avl.remove(6);
	avl.remove(8);
	avl.remove(7);
	return 0;
}

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