【高等数学】五、微分方程

微分方程

需补齐：微分方程解性质和结构

概念

微分方程的两个组成概念：
1.方程
2.含有未知数的导数（微分）

通解

如果微分方程的解中含有独立常数个数等于微分方程的阶数，则该解称为微分方程的通解，独立常数是不会因为恒等变形而消去的常数

初始条件和特解

能够确定通解中常数的条件就是初始条件，比如y(x₀)=a₀，y’(x₀)=a₁，y(x₀)^(n-1)=a_n-1，确定了通解的常数后，解就成了特解

一、一阶微分方程

1.可分离变量型

可分离变量型

情况一
能写成$y^{\prime }=f(x)\cdot g(y)$的，分离变量写成$$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$$然后两边积分

情况二
能写成$y^{\prime }=f(ax+by+c)$的

• 换元：令$u=ax+by+c\Rightarrow u^{\prime }=a+b{y}^{\prime }(x)$
• 分离变量写成：$\frac{du}{a+bf(u)}=dx$
• 两边积分得出$$\int \frac{du}{a+bf(u)}=\int dx$$

齐次型

情况一
能写成$y^{\prime }=f(\frac{y}{x})$的

• 令$\frac{y}{x}=u$换元
• 分离变量，也就是$y=ux\Rightarrow \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$
• 由此可得出原方程为$x\frac{du}{dx}+u=f(u)\Rightarrow \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dy}{y}$
• 两边同时积分得

情况二
能写成$\frac{1}{y^{\prime }}=f(\frac{x}{y})$的

• 令$\frac{x}{y}=u$换元
• 分离变量，也就是$x=uy\Rightarrow \frac{dx}{du}=u+y\frac{du}{dy}$
• 由此可得出原方程为$y\frac{du}{dy}+u=f(u)\Rightarrow \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dy}{y}$
• 两边同时积分得

一阶线性型

能写成$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$的情形：

• 直接使用公式法：$$y=e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C]$$
  TIPS：部分微分方程可以通过换元得到一阶线性型

二、二阶可降阶微分方程

$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$情形（缺y）

1. 缺少y则令$y^{\prime }=p$，$y^{\prime \prime }=p^{\prime }$，并且将原方程变换为$\frac{dp}{dx}=f(x,p)$
2. 求得通解$y^{\prime }=p=g(x,C_1)$，则$y=\int g(x,C_1)dx+C_2$

$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$情形（缺少x）

1. 缺少x，令$y^{\prime }=p$，$y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot p$，这样就将原方程变为一阶方程$p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$
2. 按照一阶方程求解并且还原

三、高阶常系数微分方程

1.能写成$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$形式的

2.能写成$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f_1(x)+f_2(x)$形式的

3.通解和特解的求解

通解：

上述是$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$的通解，但是题目需要求解的是$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$，因此还需要针对自由项f(x)求其特解
特解：

我们可以看到，对于$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$的通解一共有两个部分组成：一个是其次微分方程$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$的通解，另外一个是针对自由项f(x)的特解。

另外，对于通解应该要有更深的理解：符合通解形式的任一特解，都是可以代入原方程的，是原方程的解。比如$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=0$的通解是$(C_1+C_{2}x)e^x$，那么xe^x和e^x都符合通解形式，都是$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=0$的解

另外，我们也可以知道，对于$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$的特解$y_1$和$y_2$，则通过$y_1-y_2$可以求出

四、n阶导数微分方程

五、换元法求解微分方程

1.求导公式逆用换元

$(siny{)}_x^{\prime }=cosy\frac{dy}{dx}$，令sin y=z，则$\frac{dz}{dx}=cosy\frac{dy}{dx}$

六、应用