初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。
左乘初等矩阵 = 行变换
右乘初等矩阵 = 列变换
初等矩阵所对应的行列式一定不为0。
定义：已知方阵 A A A，求一个方阵 B B B ，使得矩阵 B B B 满足： A B = B A = E AB = BA = E AB=BA=E，称 B B B 为 A A A 的逆矩阵。
奇异矩阵：不可逆矩阵
非奇异矩阵：可逆矩阵
方法1：直接求逆矩阵（行变换法）
逆矩阵求法：初等行变换：
(
A
∣
E
)
→
(
E
∣
A
−
1
)
(A|E) \to (E|A^{-1})
(A∣E)→(E∣A−1)
直接在原矩阵右边增加一个单位矩阵，经过初等行变换将原矩阵变化为单位矩阵，右侧矩阵即原矩阵的逆。
方法2：凑逆矩阵
根据题干提示信息，经过变换，可得到逆矩阵。
∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ = ∣ A ∣ − 1 |A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|} = |A|^{-1} ∣A−1∣=∣A∣1=∣A∣−1
( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1} = A (A−1)−1=A
( λ A ) − 1 = 1 λ A − 1 (\lambda A)^{-1} = \dfrac{1}{\lambda}A^{-1} (λA)−1=λ1A−1
( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1
( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} (A−1)T=(AT)−1