高等数学（第七版）同济大学习题8-2 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题8-2

$1. 设 a = 3 i - j - 2 k ， b = i + 2 j - k ，求 (1) a \cdot b 及 a \times b ； (2) (- 2 a) \cdot 3 b 及 a \times 2 b ； (3) a 、 b 的夹角的余弦 .$

解：

$1) a⋅b=(3, −1, −2)⋅(1, 2, −1)=3×1+(−1)×2+(−2)×(−1)=3 a×b=|ijk3−1−212−1|=(5, 1, 7). (2) (−2a)⋅3b=−6(a⋅b)=−6×=−18， a×2b=2(a×b)=2(5, 1, 7)=(10, 2, 14). (3) cos (^a, b)=a⋅b|a| |b|=3√32+(−1)2+(−2)2√12+22+(−1)2=32√21.$

$2. 设 a 、 b 、 c 为单位向量，且满足 a + b + c = 0 ，求 a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a .$

解：

$已知 ∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1 ， a + b + c = 0 ，所以 (a + b + c) \cdot (a + b + c) = 0 ，即 ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} + 2 a \cdot b + 2 b \cdot c + 2 c \cdot a = 0 ，所以 a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = - \frac{1}{2} (∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2}) = - \frac{3}{2} .$

$3. 已知 M_{1} (1, - 1, 2) ， M_{2} (3, 3, 1) 和 M_{3} (3, 1, 3) ，求与 M_{1} M_{2} 、 M_{2} M_{3} 同时垂直的单位向量 .$

解：

$M_{1} M_{2} = (3 - 1, 3 - (- 1), 1 - 2) = (2, 4, - 1) ， M_{2} M_{3} = (3 - 3, 1 - 3, 3 - 1) = (0, - 2, 2) ，因为 M_{1} M_{2} \times M_{2} M_{3} 与 M_{1} M_{2} ， M_{2} M_{3} 同时垂直，所以所求向量可取为 a = \frac{\pm ( M _{1} M _{2} \times M _{2} M _{3} )}{∣ M _{1} M _{2} \times M _{2} M _{3} ∣} ，由于 M_{1} M_{2} \times M_{2} M_{3} = ∣ ∣ i 20 j 4 - 2 k - 1 2 ∣ ∣ = (6, - 4, - 4) ， ∣ M_{1} M_{2} \times M_{2} M_{3} ∣ = 6^{2} + (- 4)^{2} + (- 4)^{2} = 217 ，则 a = \frac{\pm 1}{2 17} (6, - 4, - 4) = \pm (\frac{3}{17}, - \frac{2}{17}, - \frac{2}{17}) .$

$4. 设质量为 100 k g 的物体从点 M_{1} (3, 1, 8) 沿直线移动到点 M_{2} (1, 4, 2) ，计算重力所作的功（坐标系长度单位为 m ，重力方向为 z 轴负方向） .$

解：

$M_{1} M_{2} = (1 - 3, 4 - 1, 2 - 8) = (- 2, 3, - 6) ， F = (0, 0, - 100 \times 9.8) = (0, 0, - 980) ， W = F \cdot M_{1} M_{2} = (0, 0, - 980) \cdot (- 2, 3, - 6) = 5880 (J)$

$5. 在杠杆上支点 O 的一侧与点 O 的距离为 x_{1} 的点 P_{1} 处，有一与 O P_{1} 成角 θ_{1} 的力 F_{1} 作用着；在 O 的另一侧与点 O 的距离为 x_{2} 的点 P_{2} 处，有一与 O P_{2} 成角 θ_{2} 的力 F_{2} 作用着（图 8 - 27 ），问 θ_{1} 、 θ_{2} 、 x_{1} 、 x_{2} 、 ∣ F_{1} ∣ 、 ∣ F_{2} ∣ 符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？$

在这里插入图片描述

解：

$已知固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又因为对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为 ∣ F_{1} ∣ x_{1} s in θ_{1} - ∣ F_{2} ∣ x_{2} s in θ_{2} = 0 ，即 ∣ F_{1} ∣ x_{1} s in θ_{1} = ∣ F_{2} ∣ x_{2} s in θ_{2} .$

$6. 求向量 a = (4, - 3, 4) 在向量 b = (2, 2, 1) 上的投影 .$

解：

$P r j_{b} a = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣} = \frac{( 4 , - 3 , 4 ) \cdot ( 2 , 2 , 1 )}{2 ^{2} + 2 ^{2} + 1 ^{2}} = 2$

$7. 设 a = (3, 5, - 2) ， b = (2, 1, 4) ，问 λ 与 μ 有怎样的关系，能使得 λa + μ b 与 z 轴垂直？$

解：

$λa + μ b = λ (3, 5, - 2) + μ (2, 1, 4) = (3 λ + 2 μ, 5 λ + μ, - 2 λ + 4 μ) ，要使 λa + μ b 与 z 轴垂直，即要 (λa + μ b) ⊥ (0, 0, 1) ，即 (λa + μ b) \cdot (0, 0, 1) = 0 ， (3 λ + 2 μ, 5 λ + μ, - 2 λ + 4 μ) \cdot (0, 0, 1) = 0 ，所以 - 2 λ + 4 μ = 0 ，因此当 λ = 2 μ 时能使 λa + μ b 与 z 轴垂直。$

$8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角 .$

解：

$如图 8 - 7 ，设 A B 是圆 O 的直径， C 点在圆周上，要证 ∠ A CB = \frac{π}{2} ，只要证 A C \cdot BC = 0 即可， A C \cdot BC = (A O + OC) \cdot (BO + OC) = A O \cdot BO + A O \cdot OC + OC \cdot BO + ∣ OC ∣^{2} = - ∣ A O ∣^{2} + A O \cdot OC - A O \cdot OC + ∣ OC ∣^{2} = 0 ，所以 A C ⊥ BC ， ∠ A CB 为直角。$
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$9. 已知向量 a = 2 i - 3 j + k ， b = i - j + 3 k 和 c = i - 2 j ，计算： (1) (a \cdot b) c - (a \cdot c) b ； (2) (a + b) \times (b + c) ； (3) (a \times b) \cdot c .$

解：

$(1) a \cdot b = (2, - 3, 1) \cdot (1, - 1, 3) = 8 ， a \cdot c = (2, - 3, 1) \cdot (1, - 2, 0) = 8 ， (a \cdot b) c - (a \cdot c) b = 8 (1, - 2, 0) - 8 (1, - 1, 3) = (0, - 8, - 24) = - 8 j - 24 k . (2) a + b = (2, - 3, 1) + (1, - 3, 3) = (3, - 4, 4) ， b + c = (1, - 1, 3) + (1, - 2, 0) = (2, - 3, 3) ， (a + b) \times (b + c) = ∣ ∣ i 32 j - 4 - 3 k 43 ∣ ∣ = (0, - 1, - 1) = - j - k . (3) (a \times b) \cdot c = ∣ ∣ 211 - 3 - 1 - 2 130 ∣ ∣ = 2.$

$10. 已知 O A = i + 3 k ， OB = j + 3 k ，求 △ O A B 的面积 .$

解：

$S_{△ O A B} = \frac{1}{2} ∣ O A \times OB ∣ ， O A \times OB = ∣ ∣ i 10 j 01 k 33 ∣ ∣ = (- 3, - 3, 1) ， ∣ O A \times OB ∣ = (- 3)^{2} + (- 3)^{2} + 1 = 19 . 所以， S_{△ O A B} = \frac{19}{2} .$

$11. 已知 a = (a_{x}, a_{y}, a_{z}) ， b = (b_{x}, b_{y}, b_{z}) ， c = (c_{x}, c_{y}, c_{z}) ，试利用行列式的性质证明： (a \times b) \cdot c = (b \times c) \cdot a = (c \times a) \cdot b .$

解：

$因 (a \times b) \cdot c = ∣ ∣ a_{x} b_{x} c_{x} a_{y} b_{y} c_{y} a_{z} b_{z} c_{z} ∣ ∣ ， (b \times c) \cdot a = ∣ ∣ b_{x} c_{x} a_{x} b_{y} c_{y} a_{y} b_{z} c_{z} a_{z} ∣ ∣ ， (c \times a) \cdot b = ∣ ∣ c_{x} a_{x} b_{x} c_{y} a_{y} b_{y} c_{z} a_{z} b_{z} ∣ ∣ ，根据行列式性质可知 ∣ ∣ a_{x} b_{x} c_{x} a_{y} b_{y} c_{y} a_{z} b_{z} c_{z} ∣ ∣ = ∣ ∣ b_{x} c_{x} a_{x} b_{y} c_{y} a_{y} b_{z} c_{z} a_{z} ∣ ∣ = ∣ ∣ c_{x} a_{x} b_{x} c_{y} a_{y} b_{y} c_{z} a_{z} b_{z} ∣ ∣ ，所以， (a \times b) \cdot c = (b \times c) \cdot a = (c \times a) \cdot b$

$12. 试用向量证明不等式： a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} \geq ∣ a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} ∣ ，其中 a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， b_{1} ， b_{2} ， b_{3} 为任意实数，并指出等号成立的条件 .$

解：

$(^a, b)可知，|a⋅b|=|a| |b| |cos (^a, b)|≤|a| |b|，从而|a1b1+a2b2+a3b3|≤√a21+a22+a23√b21+b22+b23，当a1，a2，a3与b1，b2，b3成比例，即a1b1=a2b2=a3b3时，上述等式成立。$

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原文地址：https://blog.csdn.net/navicheung/article/details/127116918

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