高维列联表

目录

一、数据构造 

二、具体分析

三、高维列联表的压缩/降维处理

四、高维列联表的分层

五、局部表与边缘表 

5.1优势比

六、高维列联表的条件独立性检验 

6.1条件独立性检验举例

6.2辛普森悖论产生的主要原因

​6.3具体分析

七、高维列联表的优比

八、不完备高维列联表

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一、数据构造 

二、具体分析

上表为三维2x2x2列联表。其中，“年龄（<40 or 40-59）”为层属性，“呼吸情况（正常 or 不正常）” 为行属性，“吸烟情况（不吸烟 or 吸烟）”为列属性。每一层中，都是一个二维列联表。

三、高维列联表的压缩/降维处理

通过把不同年龄的数据合并，可以将三维列联表压缩成二维列联表。（也可以合并“呼吸情况”的数据，得到“年龄与吸烟情况”的二维表/合并“吸烟情况”的数据，得到“年龄与呼吸情况”的二维表） ，称为边缘表，边缘表即指“忽略”/“边缘化”某个属性后得到的列联表。

四、高维列联表的分层

与压缩降维相反，可以把三维表中的每一层的二维表提取出来加以研究，这时称为局部表。

上述三维2×2×2列联表，可以通过按年龄分层，别离出两张二维列联表，即两个局部表。 局部表中的关联性称为条件关联性，即某个属性给定(被控制)时，另外两个属性之间的关系。

局部表的条件关联性可能和边缘表中的关联性有较大差异，甚至是自相矛盾〔辛普森悖论〕。 正是边缘表与局部表分析的条件发生变化，所以把压缩与分层结合起来分析是完全必要的。

分层与压缩相类似地，都可以按照不同的属性压缩或者分层，一般地，按属性A分层，可以分成r个二维c×t列联表；按属性B分层，可以得到c个二维r×t列联表；按属性C分层，可以得到t个二维r×c列联表。

压缩与分层都是针对高维列联表的分析方法，是从不同角度和途径对不同属性之间的关系进展分析的需要。 基于辛普森悖论的存在，压缩与分层经常结合起来使用。

五、局部表与边缘表 

5.1优势比

优势比：两个发生比相比；

优势比(Odds Ratios)_weixin_34205826的博客-CSDN博客

 从四格表可知，优势比可以用来度量属性之间的关联性；

根据局部表计算的优势比，称为条件优势比； 根据边缘表计算的优势比，称为边缘优势比；

与前面所述的局部表与边缘表的关系相一致，条件优势比与边缘优势比是不同的，有时二者会给出完全相反的结论；

⚠️当局部表中两个属性变量条件独立时，所有的条件优势比都等于1；但根据边缘表计算的边缘优势比可能并不等于1，即条件独立不代表边缘独立。

六、高维列联表的条件独立性检验 

自由度 ：逻辑回归 自由度_回归自由度的官方定义_weixin_26746401的博客-CSDN博客

一般地，按属性A分层，可以分成r个二维c×t列联表；按属性B分层，可以得到c个二维r×t列联表；按属性C分层，可以得到t个二维r×c列联表。

6.1条件独立性检验举例

P值小于0.05则说明有差异存在 ；

6.2辛普森悖论产生的主要原因

（1）在计算总的录取比例时，尽管各个专业的男女生录取比例没有显著差异，但是男生和女生所采用的权重相差较大。

（2）其中，在计算男生录取比例时，录取比例高的专业权重大，录取比例低的专业权重小，导致男生总的录取比例偏高； 在计算女生录取比例时，录取比例高的专业权重小，而录取比例低的专业权重大，从而使总的录取比例偏小。

（3）因此，经过检验，不能说该校有偏爱男生的倾向。

三维列联表除面临前述的条件独立性检验外，还会遇到另外两种独立性检验问题。

以上三种情况下的独立性检验问题之间有以下关系：其中，由左到右是包含和推出的关系，所描述的模型也由简单到复杂。

 为此，可以在处理三维列联表时，按照以上顺序进展检验。如果前面的检验没有被拒绝，就可以不用再进展后面的检验。

6.3具体分析

对于第一种情况下，原假设为：

 

 

七、高维列联表的优比

期望频数除用来描述列联表的独立性、相关性外，还可以描述优势比。 优势比不仅可以用于四格表，还可推广到一般的二维列联表。 可以取二维表的两行两列来构造一个四格表计算优比，三维列联表可以按某一属性分层后形成二维列联表再进行优比分析。

对于属性A,B,C相互独立时，不管按哪个属性分层，各层二维表的优比总等于1；

对于A与(B,C)相互独立时，按属性A分层后第i层二维c×t列联表的优比与i无关，故各层B与C的相合程度一样；无论按B,或C分层，这些二维列联表上的优比总等于1；

对于A给定后B和C条件独立时，按A分层的二维列联表上的优比总等于1；且按B分层各层A与C相合程度一样，按C分层各层A与B相合程度一样。

对于齐次关联模型，各层二维列联表的优比都与在第几层没有关系。

八、不完备高维列联表

对不完备高维列联表独立性的定义与完备列联表的情形类似，不同的仅仅是定义在非空格上；

以上独立性之间的关系也与完备列联表类似；

除独立性外，不完备列联表还有拟相关问题，也与完备列联表类似；与独立性、相关性有关的检验统计量与完备列联表相类似，不同的是自由度，有的需要相应减去空格数m，有的要具体问题具体分析。