概率论与数理统计---全概率、贝叶斯公式、事件独立性

全概率与贝叶斯公式

全概率

之前有说过全概率，某件事A可能会在不同的情况下有不同的概率发生，这些情况相互独立，讲这些概率加和即为全概率。

例如:
高数挂科（10%）的前提下，概率挂科的概率为60%；
高数不挂科（90%）的前提下，概率挂科的概率为5%；
则概率挂科的全概率为：10% * 60% + 90% * 5%

总结：全概率公式为：$P(A)={\sum }_{i=1}^{n}P(B_i)\ast P(A|B_i)$

贝叶斯公式

与全概率公式相反的就是贝叶斯公式
用来求一件事发生之后是属于某种情况的概率，本质上是一个条件概率
$P(B_i|A)=\frac{P(A{B}_i)}{P(A)}=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(B_i)\ast P(A|B_i)}$

例题

解题步骤：

1. 用符号设出概率
2. 求全概率
3. 利用贝叶斯公式求条件概率

基础例题1

基础例题2

事件独立性

定义

某个事件是否收到其他事件的影响称为事件的独立性。
定义式：$P(AB)=P(A)P(B)$

结论

1. 下面这些命题是等价的

   • 如果AB两个事件独立
   • $P(AB)=P(A)P(B)$
   • $P(B)=P(B|A),P(A)>0$
   • $P(B|A)=P(B|\bar{A}),P(A)\ne 0,P(A)\ne 1$
   • $P(A|B)=P(A|\bar{B}),P(B)\ne 0,P(B)\ne 1$

2. 如果A与B相互独立
   那么$A与\bar{B}$，$\bar{A}与B$，$\bar{A}与\bar{B}$都相互独立

3. 如果$P(A)>0,P(B)>0$
   那么A与B相互独立，A与B互不相容不能同时成立

   • 相互独立指两个事件不共用一个样本空间
   • 互不相容指在同一个样本空间中两件事不能同时发生

4. 必然事件、不可能事件与任何事件都相互独立

例题

基础例题