欧拉公式的三种证明方法：导数、幂级数、极坐标

欧拉公式(Euler’s formula)

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

证明

方法1: 使用导数

如果函数$f(x)$的导数满足对任意的$x$，$f^{\prime }(x)=0$，且存在$x^{\prime }$使$f(x^{\prime })=C$，则该函数为常数函数$y=C$，其中$C$为常数。

下面根据这个结论证明欧拉公式：

令 $f(\theta )=\frac{\cos \theta +i\sin \theta }{e^{i\theta }}=e^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$

$\because$ $f^{\prime }(\theta )=e^{-i\theta }\left(i\cos \theta -\sin \theta \right)-i{e}^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=0$

$\therefore$ $f(\theta )$是常数

$\because$ $f(0)=1$

$\therefore$ 对任意$\theta$，都有$f(\theta )=1$是常数

$\therefore$ $e^{ix}=\cos x+i\sin x$
■

方法2: 使用幂级数

本方法使用麦克劳林级数(Maclaurin Series)进行证明。

• 关于虚数$i$的一些事实：
  i 0 = 1 , i 1 = i , i 2 = − 1 , i 3 = − i , i 4 = 1 , i 5 = i , i 6 = − 1 , i 7 = − i ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

  i0=1,i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1,i5=i,i6=−1,i7=−i⋮⋮⋮⋮" role="presentation">i0i4=1,=1,⋮i1i5=i,=i,⋮i2i6=−1,=−1,⋮i3i7=−i,=−i⋮$$\begin{array}{rlrlrlrl}{i}^0& =1,& i^1& =i,& i^2& =-1,& i^3& =-i,\\ i^4& =1,& i^5& =i,& i^6& =-1,& i^7& =-i\\ & ⋮& & ⋮& & ⋮& & ⋮\end{array}$$
  i0i4​=1,=1,⋮​i1i5​=i,=i,⋮​i2i6​=−1,=−1,⋮​i3i7​=−i,=−i⋮​​

• $sin(x)$和$cos(x)$的麦克劳林展开：
  $$sin(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots$$
  $$cos(x)=i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \right)$$

• $e^x$的麦克劳林展开：
  e i x = 1 + i x + ( i x ) 2 2 ! + ( i x ) 3 3 ! + ( i x ) 4 4 ! + ( i x ) 5 5 ! + ( i x ) 6 6 ! + ( i x ) 7 7 ! + ( i x ) 8 8 ! + ⋯ = 1 + i x − x 2 2 ! − i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! − x 6 6 ! − i x 7 7 ! + x 8 8 ! + ⋯ = ( 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + x 8 8 ! − ⋯   ) + i ( x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯   ) = cos ⁡ x + i sin ⁡ x

  eix=1+ix+(ix)22!+(ix)33!+(ix)44!+(ix)55!+(ix)66!+(ix)77!+(ix)88!+⋯=1+ix−x22!−ix33!+x44!+ix55!−x66!−ix77!+x88!+⋯=(1−x22!+x44!−x66!+x88!−⋯)+i(x−x33!+x55!−x77!+⋯)=cos⁡x+isin⁡x" role="presentation">eix=1+ix+(ix)22!+(ix)33!+(ix)44!+(ix)55!+(ix)66!+(ix)77!+(ix)88!+⋯=1+ix−x22!−ix33!+x44!+ix55!−x66!−ix77!+x88!+⋯=(1−x22!+x44!−x66!+x88!−⋯)+i(x−x33!+x55!−x77!+⋯)=cosx+isinx$$\begin{array}{rl}{e}^{ix}& =1+ix+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\frac{(ix{)}^4}{4!}+\frac{(ix{)}^5}{5!}+\frac{(ix{)}^6}{6!}+\frac{(ix{)}^7}{7!}+\frac{(ix{)}^8}{8!}+\cdots \\ & =1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{i{x}^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{i{x}^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\frac{i{x}^7}{7!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots \\ & =\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots \right)+i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \right)\\ & =\cos x+i\sin x\end{array}$$
  eix​=1+ix+2!(ix)2​+3!(ix)3​+4!(ix)4​+5!(ix)5​+6!(ix)6​+7!(ix)7​+8!(ix)8​+⋯=1+ix−2!x2​−3!ix3​+4!x4​+5!ix5​−6!x6​−7!ix7​+8!x8​+⋯=(1−2!x2​+4!x4​−6!x6​+8!x8​−⋯)+i(x−3!x3​+5!x5​−7!x7​+⋯)=cosx+isinx​​

所以欧拉公式得证。■

方法3: 使用 极坐标

虚数转极坐标背景知识

参考：所有复数都可以用极坐标表示
设$r$和$\theta$是对应于非零复数$z=x+iy$的点(x,y)的极坐标， 因为$x=rcos\theta$, $y=rsin\theta$ ，$z$可以被写成极坐标的形式：$z=r(cos\theta +isin\theta )$。
比如$3+4i$的极坐标表示如下（虚数转极坐标网站链接）：

开始证明

设
e i x = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ )

eix=r(cosθ+isinθ)​​如果证明(8)式的$r=1$，则欧拉公式得证。

对(8)式两边同时求导，可得：
i e i x = ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) d r d x + r ( − sin ⁡ θ + i cos ⁡ θ ) d θ d x

ieix=(cosθ+isinθ)dxdr​+r(−sinθ+icosθ)dxdθ​​​
用$r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$代替$e^{ix}$并化简可得：
( c o s θ d r d x − r s i n θ d θ d x + r s i n θ ) + i ( s i n θ d r d x − r c o s θ d θ d x + r c o s θ ) = 0

(cosθdrdx−rsinθdθdx+rsinθ)+i(sinθdrdx−rcosθdθdx+rcosθ)=0" role="presentation">(cosθdrdx−rsinθdθdx+rsinθ)+i(sinθdrdx−rcosθdθdx+rcosθ)=0$$\begin{array}{r}(cos\theta \frac{dr}{dx}-rsin\theta \frac{d\theta }{dx}+rsin\theta )+i(sin\theta \frac{dr}{dx}-rcos\theta \frac{d\theta }{dx}+rcos\theta )=0\end{array}$$

(cosθdxdr​−rsinθdxdθ​+rsinθ)+i(sinθdxdr​−rcosθdxdθ​+rcosθ)=0​​
因此(10)式的实部和虚部均等于0：
c o s θ d r d x − r s i n θ d θ d x + r s i n θ = 0 s i n θ d r d x − r c o s θ d θ d x + r c o s θ = 0

cosθdrdx−rsinθdθdx+rsinθ=0sinθdrdx−rcosθdθdx+rcosθ=0" role="presentation">cosθdrdx−rsinθdθdx+rsinθ=0sinθdrdx−rcosθdθdx+rcosθ=0$$\begin{array}{r}cos\theta \frac{dr}{dx}-rsin\theta \frac{d\theta }{dx}+rsin\theta =0\\ sin\theta \frac{dr}{dx}-rcos\theta \frac{d\theta }{dx}+rcos\theta =0\end{array}$$

cosθdxdr​−rsinθdxdθ​+rsinθ=0sinθdxdr​−rcosθdxdθ​+rcosθ=0​​

(11),(12)两式可解得$\frac{dr}{dx}=0$,$\frac{d\theta }{dx}=1$，因此$r$是一个常数$C1$，$\theta$是$x+C2$。

因为$e^{0i}=1$，虚数的模长为1，可得$r=C1=1$，进而通过$1=cos\theta +isin\theta$得出$\theta (0)=0+C2=0$，所以C1=1，C2=0，即$r=1$，$\theta =x$，因此：
$$e^{ix}=1(\cos x+i\sin x)=\cos x+i\sin x.$$
欧拉公式得证。■

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