【Eigen】Chapter4 几何模块 Geometry

Chapter4 Geometry

（1）空间变换

​ 在本节中，将介绍几何模块提供的许多可能性，以处理2D和3D旋转以及射影或仿射变换。

​ Eigen的Geometry模块提供了两种不同的几何变换：

​ 1 抽象的变换，例如旋转（轴角或四元数表示），平移，缩放。这些转换未表示为矩阵，但是仍然可以将它们与表达式中的矩阵和向量混合，并根据需要将它们转换为矩阵。

​ 2 射影或仿射变换矩阵：请参见Transform类。这些确实是矩阵。注意, 如果要使用OpenGL 4x4矩阵，则需要Affine3f和Affine3d。

​ 可以从抽象转换构造一个Transform：Transform t(AngleAxis(angle,axis));

​ 或像这样：

Transform t;
t = AngleAxis(angle,axis);

​ 但是注意，不幸的是，由于C ++的工作方式，不能这样做：Transform t = AngleAxis(angle,axis);

​ 说明：在C ++语言中，这将要求Transform具有一个来自AngleAxis的非显式转换构造函数，但是我们真的不想在此允许隐式转换。

​ 1）变换的类型

​ 关于旋转的注意事项

​ 要变换多个矢量，首选旋转矩阵，而对于其他用法，四元数是紧凑，快速和稳定的首选表示形式。最后，Rotation2D和AngleAxis主要是创建其他旋转对象的便捷类型。

关于平移和缩放的注意事项

​ 像AngleAxis一样，这些类旨在简化线性（Matrix）和仿射（Transform）变换的创建/初始化。但是，与使用效率低下的AngleAxis不同，编写任何类型的转换作为输入的通用高效算法可能仍然很有趣。

​ 上述任何转换类型都可以转换为相同性质的任何其他类型，或者转换为更通用的类型。以下是一些其他示例：

Rotation2Df r;  r  = Matrix2f(..);       // assumes a pure rotation matrix
AngleAxisf aa;  aa = Quaternionf(..);
AngleAxisf aa;  aa = Matrix3f(..);       // assumes a pure rotation matrix
Matrix2f m;     m  = Rotation2Df(..);
Matrix3f m;     m  = Quaternionf(..);       Matrix3f m;   m = Scaling(..);
Affine3f m;     m  = AngleAxis3f(..);       Affine3f m;   m = Scaling(..);
Affine3f m;     m  = Translation3f(..);     Affine3f m;   m = Matrix3f(..);

​ 2）仿射变换

​ 本部分介绍仿射变换，概念上，仿射变换是一个非奇异线性变换 linear()与一个平移变换t的复合，可能是因为x’ = linear()*x + t ;所以linear()是线性部分

​ 3）欧拉角

Matrix3f m;
m = AngleAxisf(angle1, Vector3f::UnitZ())
    * AngleAxisf(angle2, Vector3f::UnitY())
    * AngleAxisf(angle3, Vector3f::UnitZ());

（2）十四讲中的例子

#include 
#include 
#include 
#include 

int main()
{
    //------------1 声明旋转矩阵与向量并初始化-----------
    Eigen::Matrix3d rotation_matrix = Eigen::Matrix3d::Identity();
    std::cout << "rotation_matrix = \n" << rotation_matrix << std::endl;
    Eigen::AngleAxisd rotation_vector(M_PI / 4, Eigen::Vector3d(0, 0, 1));
    std::cout.precision(3);     //输出三位有效数字
    std::cout << "rotation_vector_matrix = \n" << rotation_vector.matrix() << std::endl;
    rotation_matrix = rotation_vector.toRotationMatrix();

    //-------------2 对v进行操作-------------
    Eigen::Vector3d v(1, 0, 0);
    Eigen::Vector3d v_rotated = rotation_vector * v;
    std::cout << "(1, 0, 0) after rotation (by matrix) = \n" << v_rotated.transpose() << std::endl;
    v_rotated = rotation_matrix * v;
    std::cout << "(1, 0, 0) after rotation (by matrix) = \n" << v_rotated.transpose() << std::endl;

    //-------------3 欧拉角------------------
    Eigen::Vector3d euler_angle = rotation_matrix.eulerAngles(2, 1, 0);
    std::cout << "yaw pitch roll = " << euler_angle.transpose() << std::endl;

    //-------------4 欧氏变换----------------
    Eigen::Isometry3d T = Eigen::Isometry3d::Identity();
    T.rotate(rotation_vector);
    T.pretranslate(Eigen::Vector3d(1, 3, 4));
    std::cout << "Transform matrix = \n" << T.matrix() << std::endl;
    //-------------5 坐标变换----------------
    Eigen::Vector3d v_transformed = T * v;
    std::cout << "v transformed = " << v_transformed.transpose() << std::endl;
    //-------------6 四元数------------------
    Eigen::Quaterniond q = Eigen::Quaterniond(rotation_vector);
    std::cout << "quaterniond from rotation vector = " << q.coeffs().transpose() << std::endl;
    q = Eigen::Quaterniond(rotation_matrix);
    std::cout << "quaterniond from rotation matrix = " << q.coeffs().transpose() << std::endl;

    v_rotated = q * v;
    std::cout << "(1, 0, 0) after rotation  = \n" << v_rotated.transpose() << std::endl;
    std::cout << "should be equal to " << (q * Eigen::Quaterniond(0, 1, 0, 0) * q.inverse()).coeffs().transpose() << std::endl;

}