【数模/评价模型】Topsis优劣解距离法

声明：文章参考数学建模清风的网课编写。

Topsis优劣解距离法

给定如下一张表，要求得出综合能力最强的人

很显然排个序，然后统计排名：

此时很明显，小明的能力最强。方法并没有问题并且得出了正确的结果，但评分的标准是有一定的问题的。

此方法并没有反映真实的成绩信息。例如，小明的成绩改为80或李四的成绩改为0分，排名是仍然不会有任何改变的。

此时，我们定义一种新的评分准则$(x_i-min)/(max-min)$，在这种评分标准下表中的评分应为：

$(x_i-min)/(max-x_i+x_i-min)$
x与最小值之间的距离 / (x与最大值之间的距离 + x与最小值之间的距离)

Topsis步骤

1.指标正向化

表中不同指标的评价标准是不同的。显然，高数成绩越高越好，但违纪次数应该越低越好。
指标通常可以分类为以下几种：
极大型指标：极大型指标又叫效益型指标。像表中的成绩，应当是越大越好。

极小型指标：极小型指标又叫成本型指标。像表中的违纪次数，越少越好。

中间型指标：例如评价湖水水质时，PH值应当越趋近中性越好（PH = 7）这就要求PH值越接近7越好。

区间型指标：评价一个人的健康指标时，体温应当位于36 - 37度最好。

将各种指标统一为极大型指标，有利于统一对表中数据进行评价。

极小型指标标准化：
$$z_i=max-x_i$$极小型指标标准化代码（trans_min.m）：

% 将极小型转化为极大型
function [C] = trans_min(A)
% A列向量，为极小型
    C = max(A) - A;
end
1
2
3
4
5

中间型指标标准化，假设中间值为a：
$$\begin{gathered} M=max(abs(x_i-a)) \\ {z}_i=1-abs(x_i-a)/M \end{gathered}$$中间型指标标准化代码（trans_mid.m）：

% 将中间型转化为极大型
function [C] = trans_mid(A, a)
% A为待转化的中间型列向量
% a为中间值 如：ph = 7
    M = max(abs(A - a));
    C = 1 - abs(A - a) ./ M;
end
1
2
3
4
5
6
7

区间型指标标准化， 假设a:区间左端点，b:区间右端点：
M = m a x ( m a x − b , a − m i n ) z i = { 1 − ( a − x i ) / M       , x i < a 1                  , a < = x i < = b 1 − ( x i − b ) / M       , a < x i M = max(max - b, a - min) \\ z_{i} = \left\{

\right. M=max(max−b,a−min)zi​=⎩ ⎨ ⎧​1−(a−xi​)/M     ,xi​<a1                ,a<=xi​<=b1−(xi​−b)/M     ,a<xi​​区间型指标标准化代码（trans_seg.m）：

% 区间型转化为极大型
function [C] = trans_seg(A, s)
% A为带转化的区间型列向量
% s(1)为区间左端点； s(2)为区间右端点
    a = s(1);
    b = s(2);
    M = max(max(A) - b, a - min(A));
    C = A;
    for i = 1 : size(A)
        if A(i) < a
            C(i) = 1 - (a - A(i))/M;
        elseif A(i) > b
            C(i) = 1 - (A(i) - b)/M;
        else
            C(i) = 1;
        end
    end
end
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

2.指标标准化

得到正向化的数据如何评价三个人的综合能力水平？很明显直接进行相加得到的并不是我们想要的结果。
标准化：因为这里还有一个待解决的问题，那就是各个指标间的量纲是不同的，统一量纲，就是标准化。

标准化公式，元素除以元素所在列的平方和再开根：$x_{ij}/({\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}^2{)}^{\frac{1}{2}}$

3.计算指标得分

假设有n个要评价的对象，m个评价指标已经正向化且标准化的矩阵：
Z = [ z 11 z 12 . . . z 1 n z 21 z 22 . . . z 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z n 1 z n 2 . . . z n n ] Z =

Z=⎣ ⎡​z11​z21​⋮zn1​​z12​z22​⋮zn2​​......⋱...​z1n​z2n​⋮znn​​⎦ ⎤​
定义最大值：
Z + = ( Z 1 + , Z 2 + , … , Z m + ) = ( m a x ( z 11 , z 21 , . . . , z n 1 ) , m a x ( z 12 , z 22 , . . . , z n 2 ) , . . . , m a x ( z 1 m , z 2 m , . . . , z n m ) )

Z+=(Z1+,Z2+,…,Zm+)=(max(z11,z21,...,zn1),max(z12,z22,...,zn2),...,max(z1m,z2m,...,znm))" role="presentation" style="position: relative;">Z+=(Z+1,Z+2,…,Z+m)=(max(z11,z21,...,zn1),max(z12,z22,...,zn2),...,max(z1m,z2m,...,znm))$$\begin{array}{rl}{Z}^{+}& =(Z_1^{+},Z_2^{+},\dots ,Z_m^{+})\\ & =(max(z_{11},z_{21},...,z_{n1}),max(z_{12},z_{22},...,z_{n2}),...,max(z_{1m},z_{2m},...,z_{nm}))\end{array}$$

Z+​=(Z1+​,Z2+​,…,Zm+​)=(max(z11​,z21​,...,zn1​),max(z12​,z22​,...,zn2​),...,max(z1m​,z2m​,...,znm​))​
定义最小值：
Z − = ( Z 1 − , Z 2 − , … , Z m − ) = ( m i n ( z 11 , z 21 , . . . , z n 1 ) , m i n ( z 12 , z 22 , . . . , z n 2 ) , . . . , m i n ( z 1 m , z 2 m , . . . , z n m ) )

Z−=(Z1−,Z2−,…,Zm−)=(min(z11,z21,...,zn1),min(z12,z22,...,zn2),...,min(z1m,z2m,...,znm))" role="presentation" style="position: relative;">Z−=(Z−1,Z−2,…,Z−m)=(min(z11,z21,...,zn1),min(z12,z22,...,zn2),...,min(z1m,z2m,...,znm))$$\begin{array}{rl}{Z}^{-}& =(Z_1^{-},Z_2^{-},\dots ,Z_m^{-})\\ & =(min(z_{11},z_{21},...,z_{n1}),min(z_{12},z_{22},...,z_{n2}),...,min(z_{1m},z_{2m},...,z_{nm}))\end{array}$$

Z−​=(Z1−​,Z2−​,…,Zm−​)=(min(z11​,z21​,...,zn1​),min(z12​,z22​,...,zn2​),...,min(z1m​,z2m​,...,znm​))​
定义第i个评价对象与最大值的距离为：
$$D_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_j^{+}-z_{ij}{)}^2}$$
定义第i个评价对象与最小值的距离为：
$$D_i^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_j^{-}-z_{ij}{)}^2}$$
则第i个对象的未归一化得分为：
$$S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$$topsis完整matlab代码（注意还有指标正向化的函数）：

% clear;clc
% 输入为n行m列的矩阵， 每一行是一个待评价项目， 每一列是一种评价指标
% A = input('请输入待评价的矩阵[]:');

[n, m] = size(A);
% 正向化
% 待正向化的列
col = input('请输入待正向化的列[]:');

for i = 1 : size(col, 2)
    kind = input(['请输入' num2str(col(i)) '列所属类型（1：极小型；2：中间型；3：区间型）：']);
    % 列
    c = col(i);
    if kind == 1
        A(:, c) = trans_min(A(:, c));
    elseif kind == 2
        a = input('请输入中间型的中间值：');
        A(:, c) = trans_mid(A(:, c), a);
    elseif kind == 3
        s = input('请输入区间型的两个端点[a, b]:');
        A(:, c) = trans_seg(A(:, c), s);
    else
        disp('输入类型有误！');
    end
end

disp('正向化后的矩阵：');
disp(A);

% 标准化
stan_A = A ./ repmat(sum(A.^2).^0.5, n, 1);

disp('标准化后的矩阵：');
disp(stan_A);

% 计算得分
z_max = repmat(max(stan_A), n, 1);
z_min = repmat(min(stan_A), n, 1);

% 与最大值的距离
D_max = sum((z_max - stan_A).^2, 2).^0.5;
% 与最小值的距离
D_min = sum((z_min - stan_A).^2, 2).^0.5;

score = D_min ./ (D_max + D_min);
score = score ./ sum(score);
disp('最终得分为：');
disp(score);

% 计算位序
[score, ind] = sort(score, 'descend');
disp('每个项目的位序为：');
disp(ind);
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53