通信原理学习笔记2-2：复信号分析（复信号与负频率、Hilbert变换获得正半频谱、单边带SSB调制原理）

复信号与负频率

首先要明确，复信号实际不存在，一切复信号只存在于理论分析中，实际传输复信号需要两路实信号，利用频谱的特性甚至可以只传输一路带通实信号（IQ调制）

• 复信号携带两路独立正交的实变量（可以是实部/虚部，也可以是幅度/相位）
• 复数应视为复平面上的向量（对于IQ调制，就是信号向两路正交波形基投影所得二维坐标点），复指数时变信号视为复平面上的旋转向量（这里特指傅立叶变换中的复指数信号，对应了某个特定频率的正弦周期信号）；
  实信号视为复信号的实轴投影，正弦信号视为复指数信号的实投影；
• 因此，可以认为复信号是对实信号的“降维打击”
  复指数$e^{j\omega t}$全面反映了二维平面上旋转运动的幅度/相位/角速度/方向（顺/逆时针）；
  而$cos(\omega t)=cos(-\omega t)$丢失了旋转方向的信息（不能确定顺/逆时针）

复指数$e^{j\omega t}$带来了负频率

• $e^{j\omega t}$的总相位$\theta =\omega t$描述了其在单位圆上所处的位置
• 角频率$\omega =\frac{d\theta }{dt}$描述了总相位的变化率，因此频率的正负代表旋转向量$e^{j\omega t}$的旋转方向（顺/逆时针）

实信号频谱的共轭对称性和冗余性

由此可知，实信号的频谱，一定是正负频率共轭对称的（这样不同旋转方向的旋转向量才能抵消虚部分量）
然而，正频率和负频率部分（对于实信号投影而言）承载相同信息，存在冗余，而复信号则有可能只占用正频率（负频率），我们将带通实信号的负半边冗余频谱去掉，即可得到实带通信号的解析信号（是一个复信号），下面介绍如何获得解析信号

如何获得解析信号（只含正频率的频谱）

想要从实信号的对称频谱中，提取出正频率部分，直观上就是用阶跃函数“截取”频谱的正半部分；
「阶跃函数」的频谱 u ⁡ ( x ) = { 1 x > 0 1 2 x = 0 0 x < 0 \operatorname{u}(x)=\left\{

\right. u(x)=⎩⎨⎧​121​0​x>0x=0x<0​，这需要借助Hilbert变换产生

Hilbert变换

Hilbert变换对应一个系统

• 时域上，其冲激响应为$h(t)=\frac{1}{\pi t}$（在零点处可以认为$h(t){|}_{t=0}=0$）
  

• 频域上，Hilbert变换不改变各频率成分的幅值（直流除外），只是将正频率相移$-\frac{\pi }{2}$，将负频率相移$\frac{\pi }{2}$，其频率特性为： H ( ω ) = { − j ω > 0 0 ω = 0 j ω < 0 H(\omega)=\left\{

  −jω>00ω=0jω<0" role="presentation">−j0jω>0ω=0ω<0$$\begin{array}{ll}-\mathrm{j}& \omega >0\\ 0& \omega =0\\ \mathrm{j}& \omega <0\end{array}$$
  \right. H(ω)=⎩⎨⎧​−j0j​ω>0ω=0ω<0​
  在三维频谱（二维复平面+一维频率）上，这相当于原信号$x(t)$与Hilbert变换后的信号$\hat{x}(t)$正交，从而形成两个“基”

需要注意的是， Hilbert变换是一个非因果系统（输出取决于过去和未来的输入），多存在于理论中，难以真正实现
在时域上实现需要缓存一段时间的输入，才能得到输出，在模拟域实现困难；
在频域上实现则需要对于所有不同频率成分都相移90°，也难以实现（如果只有一个频率，则对信号延时1/4个周期即可相移90°；但如果有多个频率，就需要单独对不同频率成分做不同的延时，最后再把不同频率成分叠加）

Hilbert变换的频率响应中有因子“$j$”，故Hilbert变换常常需要与另一个因子“$j$”搭配使用，使正负频率反号，其频谱为「符号函数」 F [ j π t ] = j H ( ω ) = S g n ( ω ) = { 1 ω > 0 0 ω = 0 − 1 ω < 0 \mathscr{F}[\frac{j}{\pi t}]=jH(\omega)=Sgn(\omega)=\left\{

\right. F[πtj​]=jH(ω)=Sgn(ω)=⎩⎨⎧​10−1​ω>0ω=0ω<0​进一步，我们可以产生「阶跃函数」的频谱： F [ δ ( t ) + j π t ] = 1 + j H ( ω ) = 1 + S g n ( ω ) = 2 u ⁡ ( ω ) = { 2 ω > 0 1 ω = 0 0 ω < 0 \mathscr{F}[\delta(t)+\frac{j}{\pi t}]=1+jH(\omega)=1+Sgn(\omega)=2\operatorname{u}(\omega)=\left\{

2ω>01ω=00ω<0" role="presentation">210ω>0ω=0ω<0$$\begin{array}{ll}2& \omega >0\\ 1& \omega =0\\ 0& \omega <0\end{array}$$

\right. F[δ(t)+πtj​]=1+jH(ω)=1+Sgn(ω)=2u(ω)=⎩⎨⎧​210​ω>0ω=0ω<0​

$j\hat{x}(t)$与原信号$x(t)$叠加，从而可以构造只含正频率的复信号

小结：

• Hilbert变换常常需要与因子“$j$”搭配使用，使正负频率反号
  例如直接乘以$j$，或乘以$sin\omega t$从而在频域乘以$j$
• Hilbert变换的用途，与“提取频谱的一半”有关，具体而言就是 提取对称频谱的正频率部分
  例如用于产生解析信号、SSB上下边带信号
• Hilbert变换是非因果系统，多存在于理论中，难以真正实现

解析信号：从实信号的对称频谱中提取出正频率部分

根据上面的原理，可以提取$x(t)$的对称频谱$X(\omega )$的正频率部分$X_{+}(\omega )$
若原来的实信号为$x(t)$，经过Hilbert变换后得到实信号$\hat{x}(t)=x(t)\ast \frac{1}{\pi t}=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x(\tau )}{t-\tau }\mathrm{d}\tau$
那么在频域上看，$$X_{+}(\omega )=2X(\omega )u(\omega )=X(\omega )[1+jH(\omega )]$$
在时域上看， x + ( t ) = F − 1 [ 2 X ( ω ) u ( ω ) ] = x ( t ) ∗ F − 1 [ 2 u ( ω ) ] = x ( t ) ∗ [ δ ( t ) + j π t ] = x ( t ) + j x ^ ( t )

x+(t)=F−1[2X(ω)u(ω)]=x(t)∗F−1[2u(ω)]=x(t)∗[δ(t)+jπt]=x(t)+jx^(t)" role="presentation">x+(t)=F−1[2X(ω)u(ω)]=x(t)∗F−1[2u(ω)]=x(t)∗[δ(t)+jπt]=x(t)+jx^(t)$$\begin{array}{rl}{x}_{+}(t)& ={\mathcal{F}}^{-1}[2X(\omega )u(\omega )]\\ & =x(t)\ast {\mathcal{F}}^{-1}[2u(\omega )]\\ & =x(t)\ast [\delta (t)+\frac{\mathrm{j}}{\pi t}]\\ & =x(t)+j\hat{x}(t)\end{array}$$

x+​(t)​=F−1[2X(ω)u(ω)]=x(t)∗F−1[2u(ω)]=x(t)∗[δ(t)+πtj​]=x(t)+jx^(t)​

综上，从实信号$x(t)$的正负对称频谱$X(\omega )$中，提取出正频率部分的方法如下（其中下标$+$代表频谱只含正频率部分）：$$x_{+}(t)=x(t)+j\hat{x}(t)$$
$x_{+}(t)$是一个复信号，其「频谱$X_{+}(\omega )$只有原频谱正频率部分，且幅值变为2倍」，称为解析信号/预包络

在频域上理解：

• $x_{+}(t)=x(t)+j\hat{x}(t)$是一个系统，它将$x(t)$的频谱截取正半部分（频域响应就是阶跃函数）
• $j\hat{x}(t)$的频谱「正频率不变，复频率反号」，$j\hat{x}(t)$与原信号$x(t)$叠加，即可得到只含正频率的信号

应用：相移法进行单边带调制SSB

上/下边带调制原理：
s U S B ( t ) = A c 2 R e { [ x ( t ) + j x ^ ( t ) ] e j 2 π f c t } = A c 2 [ x ( t ) c o s 2 π f c t − x ^ ( t ) s i n 2 π f c t ] s_{USB}(t)=\frac{A_c}{2}Re\{[x(t)+j\hat x(t)]e^{j2\pi f_ct}\}=\frac{A_c}{2}[x(t)cos2\pi f_ct-\hat x(t)sin2\pi f_ct] sUSB​(t)=2Ac​​Re{[x(t)+jx^(t)]ej2πfc​t}=2Ac​​[x(t)cos2πfc​t−x^(t)sin2πfc​t] s L S B ( t ) = A c 2 R e { [ x ( t ) − j x ^ ( t ) ] e j 2 π f c t } = A c 2 [ x ( t ) c o s 2 π f c t + x ^ ( t ) s i n 2 π f c t ] s_{LSB}(t)=\frac{A_c}{2}Re\{[x(t)-j\hat x(t)]e^{j2\pi f_ct}\}=\frac{A_c}{2}[x(t)cos2\pi f_ct+\hat x(t)sin2\pi f_ct] sLSB​(t)=2Ac​​Re{[x(t)−jx^(t)]ej2πfc​t}=2Ac​​[x(t)cos2πfc​t+x^(t)sin2πfc​t]
对第一个等号的理解（以USB为例）：对信号$x(t)$取正频率部分，搬移至载频，然后用$Re[\cdot ]$使频谱正负对称
对第二个等号的理解：$x(t)$上变频，与[正负频率反号+上变频]的$\hat{x}(t)sin2\pi f_{c}t$部分叠加，在载频处抵消了下边带

解调方法：直接下变频后低通滤波即可，接收信号为$r(t)=s(t)\cos \left({\omega }_{c}t\right)-\hat{s}(t)\sin \left({\omega }_{c}t\right)$，则解调为 L P F [ r ( t ) cos ⁡ ( ω c t ) ] = L P F { s ( t ) 1 + cos ⁡ ( 2 ω c t ) 2 − s ^ ( t ) sin ⁡ ( 2 ω c t ) 2 ] } = 1 2 s ( t ) LPF[r(t) \cos \left(\omega_{c} t\right)]=LPF\{s(t) \frac{1+\cos \left(2 \omega_{c} t\right)}{2}-\hat{s}(t) \frac{\sin \left(2 \omega_{c} t\right)}{2}]\}=\frac{1}{2}s(t) LPF[r(t)cos(ωc​t)]=LPF{s(t)21+cos(2ωc​t)​−s^(t)2sin(2ωc​t)​]}=21​s(t)