第二章 矩阵

一 ，概念 运算

• 乘法

• 列向量在前，行向量在后 为 阵 ($\alpha {\beta }^T,\alpha {\alpha }^T$)

• 行向量在前，列向量在后 为 数 (${\alpha }^T\beta ,{\alpha }^T\alpha$)

  • ${\alpha }^T\beta 是\alpha {\beta }^T矩阵的迹$(迹就是矩阵对角线之和，记作 tr(A))
  • $\alpha {\alpha }^T是对称矩阵$
  • ${\alpha }^T\alpha 是平方和，平方和一定大于等于0$

• $A^n$
  1.r(A)=1
  秒杀解法： $A^n=tr(A{)}^{n-1}A$
  2. [ 0 a b 0 0 c 0 0 0 ] 型

  [0ab00c000]" role="presentation">⎡⎣⎢000a00bc0⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}0& a& b\\ 0& 0& c\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
  型 ⎣ ⎡​000​a00​bc0​⎦ ⎤​型
  • 需要记忆的2个
    • [ 0 a b 0 0 c 0 0 0 ] 2 = [ 0 0 a ∗ c 0 0 0 0 0 0 ]
      [0ab00c000]" role="presentation">⎡⎣⎢000a00bc0⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}0& a& b\\ 0& 0& c\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
      ^2=
      [00a∗c000000]" role="presentation">⎡⎣⎢000000a∗c00⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& a\ast c\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
      ⎣ ⎡​000​a00​bc0​⎦ ⎤​2=⎣ ⎡​000​000​a∗c00​⎦ ⎤​
    • [ 0 1 2 3 0 0 4 5 0 0 0 6 ] 3 = [ 0 0 0 24 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ( 注： 1 ∗ 4 ∗ 6 )
      [012300450006]" role="presentation">⎡⎣⎢000100240356⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 4& 5\\ 0& 0& 0& 6\end{array}\right]$$
      ^3=
      [0002400000000]" role="presentation">⎡⎣⎢0000000002400⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 24\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
      (注：1*4*6) ⎣ ⎡​000​100​240​356​⎦ ⎤​3=⎣ ⎡​000​000​000​2400​⎦ ⎤​(注：1∗4∗6)

  3.一般：A~V（由于对角符打不出来，用V代替） , $A^n=p{V}^n{p}^{-1}$*(P:特征向量 V:特征值)
  [ a 1 a 2 a 3 ] n = [ a 1 n a 2 n a 3 n ]

  [a1a2a3]" role="presentation">⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& & \\ & a_2& \\ & & a_3\end{array}\right]$$
  ^n=
  [a1na2na3n]" role="presentation">⎡⎣⎢an1an2an3⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_1^n& & \\ & a_2^n& \\ & & a_3^n\end{array}\right]$$
  ⎣ ⎡​a1​​a2​​a3​​⎦ ⎤​n=⎣ ⎡​a1n​​a2n​​a3n​​⎦ ⎤​

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二,特殊矩阵

1.伴随矩阵 $A^{\ast }$

• 核心公式 ：$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$
• 求$A^{\ast }$的方法
  • 定义法：别丢正负号， 不要排错队
    • 不要排错队:要竖着写
  • $A^{\ast }=|A|A^{-1}$