计算下方行列式（ D n D_n Dn 为 n n n 阶行列式）： D n = d e t ( a i j ) D_n = det(a_{ij}) Dn=det(aij)，其中 a i j = ∣ i − j ∣ a_{ij} = |i-j| aij=∣i−j∣
D n = ∣ 0 1 2 ⋯ n − 2 n − 1 1 0 1 ⋯ n − 3 n − 2 2 1 0 ⋯ n − 4 n − 3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ n − 3 n − 4 n − 5 ⋯ 1 2 n − 2 n − 3 n − 4 ⋯ 0 1 n − 1 n − 2 n − 3 ⋯ 1 0 ∣ = r 1 − r 2 r 2 − r 3 ⋯ r n − 1 − r n ∣ − 1 1 1 ⋯ 1 1 − 1 − 1 1 ⋯ 1 1 − 1 − 1 − 1 ⋯ 1 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ − 1 − 1 − 1 ⋯ 1 1 − 1 − 1 − 1 ⋯ − 1 1 n − 1 n − 2 n − 3 ⋯ 1 0 ∣ = r 1 − r 2 r 2 − r 3 ⋯ r n − 2 − r n − 1 ∣ 0 2 0 ⋯ 0 0 0 0 2 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 2 0 − 1 − 1 − 1 ⋯ − 1 1 n − 1 n − 2 n − 3 ⋯ 1 0 ∣ = ( − 1 ) 2 n − 1 ∣ 0 2 0 ⋯ 0 0 0 2 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 2 n − 1 n − 2 n − 3 ⋯ 1 ∣ ( 按第 n 列展开 ) = r n − 1 ↔ r n − 2 r n − 2 ↔ r n − 3 ⋯ r 2 ↔ r 1 ( − 1 ) 2 n − 1 + n − 2 ∣ n − 1 n − 2 n − 3 ⋯ 1 0 2 0 ⋯ 0 0 0 2 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 2 ∣ = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) 2 n − 2 \begin{align*} D_{n} & = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\ 1 & 0 & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\ 2 & 1 & 0 & \cdots & n-4 & n-3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ n-3 & n-4 & n-5 & \cdots & 1 & 2 \\ n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & 0 & 1 \\ n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 0 \\ \end{vmatrix} \\ & \xlongequal{\begin{align*} r_1 - r_2 \\ r_2 - r_3 \\ \cdots \\ r_{n-1} - r_n \\\end{align*}} \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & 1 \\ n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 0 \\ \end{vmatrix} \\ & \xlongequal{\begin{align*} r_1 - r_2 \\ r_2 - r_3 \\ \cdots \\ r_{n-2} - r_{n-1} \\\end{align*}} \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & 1 \\ n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 0 \\ \end{vmatrix} \\ & = (-1)^{2n-1} \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 \\ n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 \\ \end{vmatrix} \hspace{4em} (按第 n 列展开) \\ & \xlongequal{\begin{align*} r_{n-1} \leftrightarrow r_{n-2} \\ r_{n-2} \leftrightarrow r_{n-3} \\ \cdots \\ r_2 \leftrightarrow r_1 \\\end{align*}} (-1)^{2n-1+n-2} \begin{vmatrix} n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 \\ 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 \\ \end{vmatrix} \\ & = (-1)^{n-1} (n-1) 2^{n-2} \end{align*} Dn= 012⋮n−3n−2n−1101⋮n−4n−3n−2210⋮n−5n−4n−3⋯⋯⋯⋯⋯⋯n−2n−3n−4⋮101n−1n−2n−3⋮210 r1−r2r2−r3⋯rn−1−rn −1−1−1⋮−1−1n−11−1−1⋮−1−1n−211−1⋮−1−1n−3⋯⋯⋯⋯⋯⋯111⋮1−11111⋮110 r1−r2r2−r3⋯rn−2−rn−1 000⋮0−1n−1200⋮0−1n−2020⋮0−1n−3⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋮2−11000⋮010 =(−1)2n−1 000⋮0n−1200⋮0n−2020⋮0n−3⋯⋯⋯⋯⋯000⋮21 (按第n列展开)rn−1↔rn−2rn−2↔rn−3⋯r2↔r1(−1)2n−1+n−2 n−1000⋮0n−2200⋮0n−3020⋮0⋯⋯⋯⋯⋯1000⋮2 =(−1)n−1(n−1)2n−2