【定义】行阶梯形矩阵、行最简形矩阵和标准形

前置知识：

• 【定义】矩阵
• 【定义】矩阵初等变换和矩阵等价

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定义 1（行阶梯形矩阵）　非零矩阵若满足：

1. 非零行在零行的上面；
2. 非零行的首非零元在列的上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的后面；

则称此矩阵为 行阶梯形矩阵。

例如，下面的矩阵 $\mathbf{A}$ 就是一个行阶梯形矩阵。
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 1& 4\\ 0& 1& -1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
定义 2（行最简形矩阵）　若行阶梯形矩阵满足：

1. 非零行的首非零元为 $1$；
2. 首非零元所在的列的其他元均为 $0$

则称此矩阵为 行最简形矩阵。

例如，下面的矩阵 $\mathbf{B}$ 就是一个行最简形矩阵。
$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -1& 0& 4\\ 0& 1& -1& 0& 3\\ 0& 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
定理 1　对于任何非零矩阵 $\mathbf{m}\times \mathbf{n}$，总可经有限次初等行变换将它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。

证明　首先证明对于任何非零矩阵 $\mathbf{m}\times \mathbf{n}$，总可经有限次初等行变换将它变为行阶梯形矩阵。

不妨设有 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$，不妨设其第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $a_{ij}$。

首先对第 $1$ 列进行如下处理。若第 $1$ 列中的元素全部为 $0$，则没有非零行的首非零元处于第 $1$ 列。若第 $1$ 列中的元素不全为 $0$，则进行如下操作：

1. 通过 “对换两行” 的操作，将第 $1$ 列的元素不为 $0$ 的行对换到第 $1$ 行；
2. 通过 “将第 $1$ 行所有元的 $k$ 倍加到另一行对应的元上去” 的操作，令第 $i$ 行（$i\ne 1$）加上第 $1$ 行所有元的 $\frac{a_{i1}}{a_{11}}$ 倍，从而使除第 $1$ 行外其他行第 $1$ 列的元素均为 $0$。

通过上述处理，可以保证第 $1$ 列最多只有第 $1$ 行一个非零元。接着一次对第 $2,3,\cdots ,n$ 列均进行上述处理。处理后的矩阵 $\mathbf{B}$ 满足：

• 每一行的首非零元一定在上一行（如果存在的话）的首非零元的列的右侧；
• 如果有非零行的话，一定在矩阵的最下面；

因此矩阵 $\mathbf{B}$ 为行阶梯形矩阵。

类似地，可以证明对于任何非零矩阵 $\mathbf{m}\times \mathbf{n}$，总可经有限次初等行变换将它变为行最简形矩阵。

定义 3（标准形）　如果一个行最简形矩阵满足：

1. 左上角是一个单位矩阵；
2. 其他元全为 $0$；

则此矩阵称为 标准形。

例如，下面的矩阵 $\mathbf{F}$ 就是标准形矩阵。
$$\mathbf{F}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
定理 2　对于 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$，总可经过有限次初等变换将它化为标准形
$$\mathbf{F}={\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right)}_{m\times n}$$
此标准形由 $m,n,r$ 三个数完全确定，其中 $r$ 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。

证明　类似定理 1 可以证明。

所有与 $\mathbf{A}$ 等价的矩阵组成一个集合，标准形 $\mathbf{F}$ 是这个集合中形状最简单的矩阵。