克拉默法则

设含有 $n$ 个未知数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的 $n$ 个 $n$ 元线性方程组成的方程组
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
它的解可以用 $n$ 阶行列式表示，即有

克拉默法则　如果线性方程组 $(3)$ 的系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的行列式不等于零，即
$$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\ne 0$$
那么，方程组 $(3)$ 的有唯一解
$$x_1=\frac{|{\mathbf{A}}_1|}{|\mathbf{A}|},x_2=\frac{|{\mathbf{A}}_2|}{|\mathbf{A}|},\cdots ,x_n=\frac{|{\mathbf{A}}_n|}{|\mathbf{A}|}$$
其中 ${\mathbf{A}}_j(j=1,2,\cdots ,n)$ 是把系数矩阵 $\mathbf{A}$ 中第 $j$ 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得的 $n$ 阶矩阵，即
$${\mathbf{A}}_j=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{i,j-1}& b_1& a_{1,j+1}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{n,j-1}& b_n& a_{n,j+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

证明　把方程组 $(3)$ 写成矩阵方程
$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\text{\hspace{1em}(3’)}$$
因为 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 为 $n$ 阶矩阵，且有 $|\mathbf{A}|\ne 0$，所以 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 存在。于是，令式 $(3^{\prime })$ 等式两边同被 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 左乘，有 ${\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{x}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}$，即
$$\mathbf{x}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}\text{\hspace{1em}(4)}$$
根据逆矩阵的唯一性，可知 $\mathbf{x}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}$ 是方程组 $(3)$ 的唯一的解向量。

将 ${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }$ 代入方程组的解向量式 $(4)$，有
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\frac{1}{|\mathbf{A}|}\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)=\frac{1}{|\mathbf{A}|}\left(\begin{array}{c}{b}_1{A}_{11}+b_2{A}_{21}+\cdots b_n{A}_{n1}\\ b_1{A}_{12}+b_2{A}_{22}+\cdots b_n{A}_{n2}\\ ⋮\\ b_1{A}_{1n}+b_2{A}_{2n}+\cdots b_n{A}_{nn}\end{array}\right)$$

即
$$x_j=\frac{1}{\mathbf{A}}(b_1{A}_{1j}+b_2{A}_{2j}+\cdots b_n{A}_{nj})\text{\hspace{1em}(5)}$$
因为 “行列式等于它的仁一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和“，所以上式 $(5)$ 可以写成
$$x_j=\frac{1}{\mathbf{A}}|{\mathbf{A}}_j|(j=1,2,\cdots ,n)$$
得证。

克拉默法则解决的是方程个数与未知数个数相等并且系数行列式不等于零的线性方程组。