微分方程和线性代数（分离变量法开始）

 

 这里其实教授多提了一句，因为这是线性方程，所以解1和解2的线性组合也是这个方程的解。

因为微分方程是线性的，那么就是表是D(y) = f(y)方程中

D(ay1 + by2) = aD(y1) + bD(y2) ,显然上述结论成立。

 

 

 

对于这部分的物理含义，我兴趣倒不大，因为我们不做物理。不过有两点值得我们思考，

微分方程的右边，是一个来自外部的输入，无论是之前存钱的例子还是现在的物理的例子，右边的f(t)或者q(t)，是一个来自外部的输入。

第二个是我们求解微分方程的时候，一般都是求它的一个特解，然后再和零解进行线性组合。

我们可以从线性代数的角度去理解，对于解空间，他应该是有一个维数的，那么我们可以求出它的零空间先，对于零空间中的任意基的组合，都可以算出结果是0，所以我们可以无限制的去增加所有的零空间。那么剩余的，就是特解所在的空间。我们目前碰到的例子中，解空间是二维的，

零空间中是二维的，特解和零空间的线性组合，我们之前线性代数里知道，这叫仿射子空间。

再来补充下全微分的知识：全微分为什么是偏微分之和呢?

看了一些解释，觉得还是几何作图最合理。

考虑一个平面

为什么全微分等于偏微分之和？ - 知乎

 

 这个回答挺好的。

我们考虑一个切平面，如果是完全对称的，那么就是一个菱形，但更多的时候是平行四边形。

首先在这个四边形上，是满足z = x + y的，而他们投影在z轴上，也是复合dz = dx + dy的

而刚刚好，z就是切线，而x，y分别是x和y轴独立的切向量。

 

这个部分感觉和信号和系统相关，后面再看吧，这里先记录下。

 

 

 物理部分看着其实

有点无聊了