背包问题 [动态规划] (01,完全,多重,混合)

0/1背包问题

1.状态函数

$f[i][j]=s$：选完前面i个物品的时候，背包的体积是j，能够得到的最大的价值为s 。

2.答案

$f[N][V]$

3.递推起点和边界

$f[i][0]=0,f[0][j]=0$

4、状态转移方程（递推关系）

for(int i=1;i<=N;i++)//物品的下标
	for(int j=1;j<=V;j++)
		if(j<v[i])
			f[i][j]=f[i-1][j];
		else
			f[i][j]=max(f[i-1][j],w[i]+f[i-1][j-v[i]]);
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法一：二维数组（从前往后推）

#include

using namespace std;

int N,V;

int v[1000000],w[1000000];//v数组表示体积，w数组表示价值 

int f[10000][10000];

int main()
{
	cin>>V>>N;
	
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		cin>>v[i];
		cin>>w[i];
	}
	
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		for(int j=1;j<=V;j++)
		{
			if(j<v[i])
			{
				f[i][j]=f[i-1][j];
			}
			else
			{
				f[i][j]=max(f[i-1][j],w[i]+f[i-1][j-v[i]]);
			}
		}
	}
	
	cout<<f[N][V];
	
	return 0;
}
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法二：一维滚动数组（从前往后推）

#include

using namespace std;

int N,V;

int v[100000],w[100000];

int f[100000];

int main()
{
	cin>>V>>N;
	
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		cin>>v[i];
		cin>>w[i];
	}
	
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		for(int j=V;j>=v[i];j--)
		{
			f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]);
		}
	}
	
	cout<<f[V];
	
	return 0;
}
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完全背包

法一：二维数组（从前往后推）

#include

using namespace std;

int V,N;

int v[100000],w[100000];

int f[10000][10000];

int main() 
{
	cin>>V>>N;
	
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		cin>>v[i];
		cin>>w[i];
	}

	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		for(int j=1;j<=V;j++)
		{
			if(j<v[i])
			{
				f[i][j]=f[i-1][j];
			}
			else
			{
				f[i][j]=max(f[i-1][j],w[i]+f[i][j-v[i]]);
			}
		}
	}
	
	cout<<"max="<<f[N][V];
	
	return 0;
}
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法二：一维滚动数组（从前往后推）

#include

using namespace std;

int N,V;

int v[100000],w[100000];

int f[100000];

int main()
{
	cin>>V>>N;
	
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		cin>>v[i];
		cin>>w[i];
	}
	
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		for(int j=v[i];j<=V;j++)
		{
			f[j]=max(f[j],w[i]+f[j-v[i]]);
		}
	}
	
	cout<<"max="<<f[V];
	
	return 0;
}
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多重背包

法一：视为多次0/1背包（一维滚动数组从后往前推）

#include

using namespace std;

int N,V;

int v[100000],w[100000],s[100000];

int f[100000];

int main()
{
	cin>>V>>N;
	
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		cin>>v[i];
		cin>>w[i];
		cin>>s[i];//拥有该物品的数量 
	}
	
	for(int i=1;i<=N;i++)//物品标号从1...n
	{
		for(int k=1;k<=s[i];k++)//第i个物品的数量,滚动s[i]次
		{
			for(int j=V;j>=v[i];j--)//从前往后推:s[i]次刷新,滚动,0/1背包
			{
				f[j]=max(f[j],w[i]+f[j-v[i]]);
			}
		}
	}
	
	cout<<f[V];
	
	return 0;
}
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法二：多件物品看成一个整体（一维滚动数组从后往前推）

#include

using namespace std;

int N,V;

int v[100000],w[100000],s[100000];

int f[100000];

int main()
{
	cin>>V>>N;
	
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		cin>>v[i];
		cin>>w[i];
		cin>>s[i];//拥有该物品的数量 
	}
	
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		for(int j=V;j>=0;j--)
		{
			for(int k=0;k<=s[i];k++)
			{
				if(k*v[i]>j)
				{
					break;
				}
				else
				{
					f[j]=max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);
				}
			}
		}
	}
	
	cout<<f[V];
	
	return 0;
}
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法三：二进制方法拆分为多件物品的组合（即成为了0/1背包）

拆分出来的每个大物品都是独一无二的（一维滚动数组从后往前推）

#include

using namespace std;

int N,V;

int v[100000],w[100000],s[100000];

int f[100000];

int n;

int main()
{
	cin>>N>>V;
	
	int a,b,s;
	
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		cin>>a>>b>>s;
		
		int k=1;
		
		while(k<s)
		{
			n++;
			
			v[n]=k*a;
			w[n]=k*b;
			
			s=s-k;
			
			k=k*2;	
		}	
		
		n++;
		
		v[n]=s*a;
		w[n]=s*b;
	}	
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=V;j>=v[i];j--)
		{
			f[j]=max(f[j],w[i]+f[j-v[i]]);
		}
	}
	
	cout<<f[V];
	
	return 0; 
} 
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混合背包

一维滚动数组从后往前推

#include

using namespace std;

int N,V;

int v[100000],w[100000],s[100000];

int f[100000];

int main()
{
	cin>>V>>N;
	
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		cin>>v[i];
		cin>>w[i];
		cin>>s[i];
	}
	
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		if(s[i]==0)
		{
			for(int j=v[i];j<=V;j++)//完全背包：从前往后推
			{
				f[j]=max(f[j],w[i]+f[j-v[i]]);//相同
			}
		}
		else
		{
			for(int k=1;k<=s[i];k++)//多重背包就是多个0/1背包的组合
			{
				for(int j=V;j>=v[i];j--)//0/1背包从后往前推
				{
					f[j]=max(f[j],w[i]+f[j-v[i]]);//相同
				}
			}
		}
	}
	
	cout<<f[V];
	
	return 0;
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