逆矩阵的性质

性质 1　若矩阵 $\mathbf{A}$ 是可逆的，那么 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵是唯一的。

证明　若 $\mathbf{B}$、$\mathbf{C}$ 都是 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵，则有
$$\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{E}=\mathbf{B}(\mathbf{A}\mathbf{C})=(\mathbf{B}\mathbf{A})\mathbf{C}=\mathbf{E}\mathbf{C}=\mathbf{C}$$
所以 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵是唯一的。

定理 2　若矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆，则 $|\mathbf{A}|\ne 0$。

证明　$\mathbf{A}$ 可逆，则有 ${\mathbf{A}}^{-1}$，使 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{E}$。故 $|\mathbf{A}|\cdot |{\mathbf{A}}^{-1}|=|\mathbf{E}|=1$，所以 $|\mathbf{A}|\ne 0$。

定理 3　若 $|\mathbf{A}|\ne 0$，则矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆，且
$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }$$
其中 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 为矩阵 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵。

证明　根据伴随矩阵的性质，可知
$$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }={\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$$
因 $|\mathbf{A}|\ne 0$，故有
$$\mathbf{A}\left(\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }\right)=\left(\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }\right)\mathbf{A}=\mathbf{E}$$
所以，按逆矩阵的定义，即知 $\mathbf{A}$可逆，且有
$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }$$

当 $|\mathbf{A}|=0$ 时，$\mathbf{A}$ 称为 奇异矩阵，否则称 非奇异矩阵。

根据定理 2 和定理 3，有如下性质：

性质 4　$\mathbf{A}$ 是可逆矩阵的充分必要条件是 $|\mathbf{A}|\ne 0$，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

根据定理 3，有推论如下：

推论　若 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{E}$（或 $\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$），则 $\mathbf{B}={\mathbf{A}}^{-1}$。

证明　因为 $|\mathbf{A}\mathbf{B}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|=|\mathbf{E}|$，所以 $|\mathbf{A}|\ne 0$，根据定理 3 可知，矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆，即 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 存在。于是
$$\mathbf{B}=\mathbf{E}\mathbf{B}=({\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A})\mathbf{B}={\mathbf{A}}^{-1}(\mathbf{A}\mathbf{B})={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{E}={\mathbf{A}}^{-1}$$

逆矩阵满足下述运算规律：

• 若 $\mathbf{A}$ 可逆，则 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 亦可逆，且 $({\mathbf{A}}^{-1}{)}^{-1}=\mathbf{A}$。
• 若 $\mathbf{A}$ 可逆，数 $\lambda \ne 0$，则 $\lambda \mathbf{A}$ 可逆，且 $(\lambda \mathbf{A}{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }{\mathbf{A}}^{-1}$。
• 若 $\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$ 为同阶矩阵且均可逆，则 $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 亦可逆，且 $(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$。

证明　$(\mathbf{A}\mathbf{B})({\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1})=\mathbf{A}(\mathbf{B}{\mathbf{B}}^{-1}){\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{A}\mathbf{E}{\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{E}$，根据推论可知 $(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$。

• 若 $\mathbf{A}$ 可逆，则 ${\mathbf{A}}^T$ 亦可逆，且 $({\mathbf{A}}^T{)}^{-1}=({\mathbf{A}}^{-1}{)}^T$。

证明　${\mathbf{A}}^T[({\mathbf{A}}^{-1}{)}^T]=({\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A}{)}^T={\mathbf{E}}^T=\mathbf{E}$，根据推论可知 $({\mathbf{A}}^T{)}^{-1}=({\mathbf{A}}^{-1}{)}^T$。

当 $\mathbf{A}$ 可逆时，还可定义
$${\mathbf{A}}^0=\mathbf{E},{\mathbf{A}}^{-k}=({\mathbf{A}}^{-1}{)}^k$$
其中 $k$ 为正整数。这样，当 $\mathbf{A}$ 可逆，$\lambda$、$\mu$ 为整数时，有
$${\mathbf{A}}^{\lambda }{\mathbf{A}}^{\mu }={\mathbf{A}}^{\lambda +\mu },({\mathbf{A}}^{\lambda }{)}^{\mu }={\mathbf{A}}^{\lambda \mu }$$