手把手教你电机FOC控制【一】

手把手教你电机FOC控制【一】

文章作者: 范子琦
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FOC框架引入

三向电机，分别为UVW三向，角度互差120度。若使用BLDC控制方法，如下图每次换向增加60度，转子只能到达六个位置，所以六步换向时会有振动。使用FOC控制方法可以使转子到达任意角度，所以运行起来会更加平滑。

如果想到达40度的位置，只需要在0度方向通电一段时间，在60度方向通电一段时间，再在空矢量的状态下通电一段时间（全桥000或111的位置为空矢量，空矢量的时长用来调节扭矩。后面会讲到），三段时间组成一个周期，以这个周期循环产生PWM，即可锁定至40度。若想到达其他角度，只需改变0度和60度的通电时长比例。

要想使磁场旋转起来，就需要输入正弦电压，但我们输入的是直流电，我们马上想到可以使用PWM波。通过不断改变PWM脉宽就可以模拟正弦电压，体现在电流上则为正弦电流。

下图为一个完整的FOC流程图：

我们先来看正向通路：输入 $I_{d\_ref}$ 和 $I_{q\_ref}$ 与下文反馈通路采样得到的电流 $I_d$ 和 $I_q$ 进行PID控制输出 $U_d$ 和 $U_q$ （输入的 $I_{d\_ref}$ 通常为0， $I_{q\_ref}$ 前通常还需要接入一个速度PID构成速度环），再通过反Park变换转换成 $U_{\alpha }$ 和 $U_{\beta }$ ，通过SVPWM模块控制定时器产生六路互补的PWM信号，最后使用PWM信号控制全桥MOS管的通断，产生三向电压使电机转动。

再来看反馈通路：通过采样电阻采集任意两相电流，根据基尔霍夫电流定律可以算出第三相电流，将三向电流通过Clark变换转化成 $I_{\alpha }$ 和 $I_{\beta }$ ，再通过Park变换转换成 $I_d$ 和 $I_q$ ，作为反馈传入PID控制器构成电流环。

上图中的Park变换和反Park变换需要当前的角度作为输入；速度PID需要速度作为反馈。所以需要获得电机的速度与角度。角度和速度的获取方法分为有感和无感。有感方式使用霍尔元件（Hall Sensor），安装在电机上就可以检测电机磁铁的位置。无感使用观测器（observer）获得角度速度信息，本文将使用扩展卡尔曼滤波观测器（EKF），输入为 $U_{\alpha }$ 、 $U_{\beta }$ 、 $I_{\alpha }$ 、 $I_{\beta }$ 。使用无感方式不需要霍尔传感器，可以减少连接线的数量，也可以减小成本。

坐标变换

为什么要使用坐标变换？电机控制大多是在控制速度/转矩，需要用PID闭环控制正弦交流电压的幅值和角度，不是很容易实现，所以通过坐标变化把正弦交流信息分解成角度信息（Q轴控制转矩）和幅值信息（D轴控制磁场）单独控制。

FOC的变换中要满足等幅值变换，即变换前后幅值不变。

坐标变换都分为正向变换和反向变换，正向变换都是对电流进行操作的，反向变换都是对电压进行操作的。

下面的变换均采用联立和矩阵两种形式表示，以方便使用。

Clark变换

Clark变换实现了三向坐标系 $(a,b,c)$ 与直角坐标系 $(\alpha ,\beta )$ 间的转换。

正向Clark变换

Clark反变换则将两相信号转换为三相信号。已知三相坐标系 $(I_a,I_b,I_c)$ ，这三个基向量不是正交的，所以可以将其正交化为一个直角坐标系，命名为 $\alpha -\beta$ 坐标系，变换公式为：
{ I α = I a − I b cos 60 − I c cos 60 = I a − 1 2 I b − 1 2 I c I β = I b cos 30 − I c cos 30 = 3 2 I b − 3 2 I c \left\{

\right. ⎩ ⎨ ⎧​Iα​​=Ia​−Ib​cos60−Ic​cos60=Ia​−21​Ib​−21​Ic​​Iβ​​=Ib​cos30−Ic​cos30=23 ​​Ib​−23 ​​Ic​​​

表示为矩阵形式：
[ I α I β ] = [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ I a I b I c ] \left[

\right]= \left[\right] \left[\right] [Iα​Iβ​​]=[10​−21​23 ​​​−21​−23 ​​​]⎣ ⎡​Ia​Ib​Ic​​⎦ ⎤​
我们一般在电路中只采集两相电流，第三相电流可以使用基尔霍夫电流定律得出（ $I_a+I_b+I_c=0$ ），故上式也可整理为以下形式：
{ I α = 3 2 I a I β = 3 2 I a + 3 I b \left\{

Iα=32IaIβ=32Ia+3Ib" role="presentation" style="position: relative;">Iα=32IaIβ=3√2Ia+3–√Ib$$\begin{array}{l}{I}_{\alpha }=\frac{3}{2}{I}_a\\ I_{\beta }=\frac{\sqrt{3}}{2}{I}_a+\sqrt{3}{I}_b\end{array}$$

\right. {Iα​=23​Ia​Iβ​=23 ​​Ia​+3 ​Ib​​

矩阵形式：
[ I α I β ] = [ 3 2 0 3 2 3 ] [ I a I b ] \left[

\right]= \left[\right] \left[\right] [Iα​Iβ​​]=[23​23 ​​​03 ​​][Ia​Ib​​]
由于变换前后 $I_a$ 和 $I_{\alpha }$ 幅值要相同，所以要进行等幅值变换，变换系数为 $\frac{2}{3}$ ，即变为
{ I α = I a I β = 1 3 ( I a + 2 I b ) \left\{

Iα=IaIβ=13(Ia+2Ib)" role="presentation" style="position: relative;">Iα=IaIβ=13√(Ia+2Ib)$$\begin{array}{l}{I}_{\alpha }=I_a\\ I_{\beta }=\frac{1}{\sqrt{3}}(I_a+2I_b)\end{array}$$

\right. {Iα​=Ia​Iβ​=3 ​1​(Ia​+2Ib​)​
矩阵形式：
[ I α I β ] = [ 1 0 1 3 2 3 ] [ I a I b ] \left[

IαIβ" role="presentation" style="position: relative;">IαIβ$$\begin{array}{c}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}$$

\right]= \left[

101323" role="presentation" style="position: relative;">113√023√$$\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{2}{\sqrt{3}}\end{array}$$

\right] \left[

IaIb" role="presentation" style="position: relative;">IaIb$$\begin{array}{c}{I}_a\\ I_b\end{array}$$

\right] [Iα​Iβ​​]=[13 ​1​​03 ​2​​][Ia​Ib​​]
（这里的系数在后文SVPWM里相电压的幅值与电压空间矢量之间有一个 $\frac{3}{2}$ 的系数相抵消）

MATLAB实现为：

反向Clark变换

反Clark变换则将三相信号转换为两相信号。根据图可以写出：
{ U a = U α U b = − 1 2 U α + 3 2 U β U c = − 1 2 U α − 3 2 U β \left\{

\right. ⎩ ⎨ ⎧​Ua​=Uα​Ub​=−21​Uα​+23 ​​Uβ​Uc​=−21​Uα​−23 ​​Uβ​​
矩阵形式：
[ U a U b U c ] = [ 1 0 − 1 2 3 2 − 1 2 − 3 2 ] [ U α U β ] \left[

UaUbUc" role="presentation" style="position: relative;">UaUbUc$$\begin{array}{c}{U}_a\\ U_b\\ U_c\end{array}$$

\right]= \left[

10−1232−12−32" role="presentation" style="position: relative;">1−12−1203√2−3√2$$\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

\right] \left[

UαUβ" role="presentation" style="position: relative;">UαUβ$$\begin{array}{c}{U}_{\alpha }\\ U_{\beta }\end{array}$$

\right] ⎣ ⎡​Ua​Ub​Uc​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​1−21​−21​​023 ​​−23 ​​​⎦ ⎤​[Uα​Uβ​​]

MATLAB实现为：

Park变换

Park变换实现了两相坐标系 $(\alpha ,\beta )$ 与转子坐标系 $(d,q)$ 间的转换，此变换可以将正弦变量线性化。其中 $d$ 指向转子中心， $q$ 指向切线方向， $\theta$ 是转子当前的角度，也就是说 $d-q$ 坐标系始终跟着转子同步旋转。

正向Park变换

则根据上图可以写出
{ I d = I α cos ⁡ θ + I β sin ⁡ θ I q = − I α sin ⁡ θ + I β cos ⁡ θ \left\{

\right. {Id​=Iα​cosθ+Iβ​sinθIq​=−Iα​sinθ+Iβ​cosθ​
很明显上述变换可以用旋转矩阵来表示，使用矩阵形式可以很方便地写出：
[ I d I q ] = [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] [ I α I β ] \left[

IdIq" role="presentation" style="position: relative;">IdIq$$\begin{array}{l}{I}_d\\ I_q\end{array}$$

\right]= \left[

cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ" role="presentation" style="position: relative;">cosθ−sinθsinθcosθ$$\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}$$

\right] \left[

IαIβ" role="presentation" style="position: relative;">IαIβ$$\begin{array}{l}{I}_{\alpha }\\ I_{\beta }\end{array}$$

\right] [Id​Iq​​]=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][Iα​Iβ​​]
（如果 $d$ 轴为0，则功率全部输出在 $q$ 轴上。）

MATLAB实现为

反Park变换

根据上面的推导可以求得反Park变换
{ U α = U d cos ⁡ θ − U q sin ⁡ θ U β = U d sin ⁡ θ + U q cos ⁡ θ \left\{

\right. {Uα​=Ud​cosθ−Uq​sinθUβ​=Ud​sinθ+Uq​cosθ​
同理，使用旋转矩阵可以求出反变换的系数矩阵：
[ U α U β ] = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] [ U d U q ] \left[

UαUβ" role="presentation" style="position: relative;">UαUβ$$\begin{array}{l}{U}_{\alpha }\\ U_{\beta }\end{array}$$

\right]= \left[

cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ" role="presentation" style="position: relative;">cosθsinθ−sinθcosθ$$\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}$$

\right] \left[

UdUq" role="presentation" style="position: relative;">UdUq$$\begin{array}{l}{U}_d\\ U_q\end{array}$$

\right] [Uα​Uβ​​]=[cosθsinθ​−sinθcosθ​][Ud​Uq​​]

MATLAB实现为

MATLAB仿真

为了更清楚地仿真，这里不用矩阵形式表示，如需矩阵形式可以看我写的另一篇文章。

请注意，正向变换都是对电流进行操作的，反向变换都是对电压进行操作的。但是在这节的仿真中，把正变换和反变换连在一起，这样做没有实际意义，只是为了验证变化算法。

输入Vd为0，Vq为1，角度为由0到2pi的连续值。

再来看子模块内部，输入经过两个逆变换，再经过两个正变换。

运行查看波形（新版本MATLAB常值输入为一个圆圈）