【视觉SLAM十四讲】学习笔记-第三讲

其他章节：
    第二讲：初识SLAM

三维空间刚体运动

        本讲介绍视觉SLAM的基本问题之一：一个刚体在三维空间中的运动是如何描述的。

旋转矩阵

        为了用数学语言描述物体的坐标，引入点和向量：在一个确定的坐标系下，也就是一个线性空间的基为$(e_1,e_2,e_3)$，那么向量$a$的坐标为：
a = [ e 1 , e 2 , e 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 a=[e_1,e_2,e_3]

= a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3 a=[e1​,e2​,e3​]⎣ ⎡​a1​a2​a3​​⎦ ⎤​=a1​e1​+a2​e2​+a3​e3​
        描述两个坐标系之间的旋转后平移的关系，统称为坐标系之间的变换关系。而欧式变换指的是：同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化。
        设某个单位正交基$(e_1,e_2,e_3)$经过一次选择变成了$(e_1^{\prime },e_2^{\prime },e_3^{\prime })$
，对于同一个向量$a$在两个坐标系下的坐标为$[a_1,a_2,a_3{]}^T$和$[a_1^{\prime },a_2^{\prime },a_3^{\prime }{]}^T$。根据坐标的定义：

        同时左乘$e^T$，得到了矩阵$R$，也就是旋转矩阵。

        根据旋转矩阵的性质，可定义旋转矩阵的集合，也就是特殊正交群：
S O ( n ) = { R ∈ R n ∗ n ∣ R R T = I , d e t ( R ) = 1 } SO(n)=\{R \in \Reals^{n\ast n} | RR^T = I, det(R) = 1\} SO(n)={R∈Rn∗n∣RRT=I,det(R)=1}

关于旋转矩阵是正交矩阵的证明，可以看：证明：旋转矩阵是正交矩阵

        在欧氏变换中，除了旋转之外还有平移。那么世界坐标系中的向量$a$经过一次旋转($R$)和一次平移($t$)后，得到了$a^{\prime }$，即：$a^{\prime }=RA+t$。其中，$t$称为平移向量。
        由于多次变换会导致形式越来越复杂， 因此，引入齐次坐标和变换矩阵重写式，这样的话就把旋转和平移写在同一个矩阵里了。其中，$T$称为变换矩阵，记$\tilde{a}=\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{1}\right]$。

旋转向量与欧拉角

        虽然已经有旋转矩阵，但是有表达冗余和正交矩阵的约束的缺点，因此，引入轴角来刻画。首先，旋转向量：使用一个向量，其方向与旋转轴一致，而长度等于旋转角。
        转换关系由罗德里格斯公式表明：

        转角$\theta =arccos(\frac{tr(R)-1}{2})$；旋转轴$Rn=n$。

        欧拉角是吧一个旋转分解成三次绕不同轴的旋转，比较常见的使用“偏航-俯仰-滚转(yaw-pitch-roll)”来描述

四元数

        四元数是一种扩展的复数，有三个虚部，可以表达三维空间中的旋转：$q=q_0+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k$，有时候也用一个标量和一个向量来表达：$q=[s,v],s=q_0\in R,v=[q_1,q_2,q_3{]}^T\in R^3$。
        虚部之间的关系：

小结表格来源：高翔视觉slam十四讲书籍习题(第三讲)

实践

Eigen

        编程部分参考书，里面每个部分都有很详细的解释，CMakeLists的写法可以参考官方代码仓库：

cmake_minimum_required( VERSION 2.8 )
project( useEigen )

set( CMAKE_BUILD_TYPE "Release" )
set( CMAKE_CXX_FLAGS "-O3" )

# 添加Eigen头文件
include_directories( "/usr/include/eigen3" )

add_executable( eigenMatrix eigenMatrix.cpp )
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        使用cmake .生成Makefile，再用make编译。

        运行结果如下，为了便于理解，多加了一些解释性的输出：

Eigen几何模块

        运行结果如下：