898. 数字三角形

题目

给定一个如下图所示的数字三角形，从顶部出发，在每一结点可以选择移动至其左下方的结点或移动至其右下方的结点，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数字的和最大。

    7
  3   8
8   1   0
1
2
3

2 7 4 4
4 5 2 6 5
输入格式
第一行包含整数 n，表示数字三角形的层数。

接下来 n 行，每行包含若干整数，其中第 i 行表示数字三角形第 i 层包含的整数。

输出格式
输出一个整数，表示最大的路径数字和。

数据范围
1≤n≤500,
−10000≤三角形中的整数≤10000
输入样例：
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
输出样例：
30

二维dp代码一

由上往下dp，需要对边界进行特判
状态表示：dp[i][j]表示从第1层到第i层第j列的最大路径和
if(j == 1)//dp[i][1]的上一步一定是dp[i-1][1]
dp[i][j] += dp[i-1][j]
else if (j == i)//dp[i][i]的上一步一定是dp[i-1][i-1]
dp[i][j] += dp[i-1][j-1]
else//dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1])
dp[i][j] += max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1])

#include 
#include 

using namespace std;
const int N = 510;
int dp[N][N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= i; j++)
            cin >> dp[i][j];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= i; j++)
            if(j == 1) dp[i][j] += dp[i-1][j];//dp[i][1]的上一步一定是dp[i-1][1]
            else if (j == i) dp[i][j] += dp[i-1][j-1];//dp[i][i]的上一步一定是dp[i-1][i-1]
            else dp[i][j] += max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]);//dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1])
    
    // 走到最后一行，查找路径的最大值
    int ans = -1e9;    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        ans = max(ans, dp[n][i]);
    
    cout << ans << endl;
    
    
    return 0;
}
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二维dp代码二

从下往上dp，则不用处理边界问题
状态表示：dp[i][j]表示从i+1层到第i层第j列的最大路径和
状态计算：dp[i][j] += max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])

#include 

using namespace std;
const int N = 510;
int dp[N][N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= i; j++)
            cin >> dp[i][j];
    
    // dp[i][j] 表示 从i+1层到第i层的最大路径和
    for(int i = n-1; i; i--)//从倒数第二层开始往上dp
        for(int j = 1; j <= i; j++)
            dp[i][j] += max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]);
    
    cout << dp[1][1] << endl;
    
    return 0;
}
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