Chapter7：非线性控制系统分析

基于胡寿松主编的《自动控制原理》(第七版)附录的$\mathrm{MATLAB}$控制系统简单教程，快速了解$\mathrm{MATLAB}$在控制理论的应用，下载链接: MATLAB辅助分析与设计方法基础.

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7.非线性控制系统分析

1. 微分方程高阶数值解法

   命令格式：[t,x]=ode45('fun',t,x0)
   参数说明：
   fun：调用函数；
   t：设定的仿真时间；
   x0：系统的初始状态；
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2. 实例分析：非线性系统的稳定性分析

   $\mathrm{ExampleB}-8$： 设系统如下图所示，分别用描述函数法和相平面法判断系统的稳定性，并画出$c(0)=-3,\dot{c}(0)=0$，的相轨迹和相应的时间响应曲线。

   

   解：

   【描述函数法】

   非线性环节的描述函数为：
   $$N(A)=\frac{2}{\pi }\left[\arcsin \frac{2}{A}+\frac{2}{A}\sqrt{1-{\left(\frac{2}{A}\right)}^2}\right]，A\ge 2$$
   在复平面内分别绘制线性环节的${\Gamma }_G$曲线和负倒描述函数$-1/N(A)$曲线，由于$G(s)$为线性环节：
   $$G(s)=-\frac{1}{N(A)}$$
   利用频域奈氏判据可知，若${\Gamma }_G$曲线不包围$-1/N(A)$曲线，则非线性系统稳定；反之，则非线性系统不稳定；

   % exampleB_8a.m
   G=zpk([],[0 -1],1);     % 建立线性环节模型；
   nyquist(G);hold on      % 绘制线性环节奈奎斯特曲线ΓG，图形保持；
   A=2:0.01:60;            % 设定非线性环节输入信号振幅范围；
   
   % 计算负倒描述函数实部和虚部；
   x=real(-1./((2*(asin(2./A)+(2./A).*sqrt(1-(2./A).^2)))/pi+j*0));
   y=imag(-1./((2*(asin(2./A)+(2./A).*sqrt(1-(2./A).^2)))/pi+j*0));
   
   plot(x,y);              % 绘制非线性环节的负倒描述函数；
   axis([-1.5 0 -1 1]);hold off    % 重新设置图形坐标，取消图形保持；
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   图中${\Gamma }_G$曲线不包围$-1/N(A)$曲线，根据非线性稳定判据，该非线性系统稳定。

   【相平面法】

   描述该系统的微分方程为：
   c ¨ + c ˙ = { 2 , c < − 2 − c , ∣ c ∣ < 2 − 2 , c > 2 \ddot{c}+\dot{c}=

   {2,c<−2−c,|c|<2−2,c>2" role="presentation" style="position: relative;">⎧⎩⎨2,−c,−2,c<−2|c|<2c>2$$\{\begin{array}{ll}2,& c<-2\\ -c,& |c|<2\\ -2,& c>2\end{array}$$
   c¨+c˙=⎩ ⎨ ⎧​2,−c,−2,​c<−2∣c∣<2c>2​
   在相平面上精确绘制$c-\dot{c}$曲线，需要先确定上述系统微分方程在一定初始条件下的解，进而通过分析相轨迹的运动形式，直观地判断非线性系统的稳定性；

   % exampleB_8b.m
   t=0:0.01:30;        % 设定仿真时间30s；
   c0=[-3 0]';         % 给定初始条件；
   [t,c]=ode45('fun',t,c0);    % 求解初始条件下的系统微分方程；
   
   figure(1)
   plot(c(:,1),c(:,2));grid    % 绘制相平面图，c(:,1)为c(t)值，c(:,2)为导数值；
   
   figure(2)
   plot(t,c(:,1));grid;        % 绘制系统时间响应曲线；
   xlabel('t(s)');ylabel('c(t)');  
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   % fun.m
   function dc=fun(t,c)    % 描述系统的微分方程
   dc1=c(2);               % c1表示c(t),c(2)表示c(t)一阶导，d表示一阶导数；
   if(c(1)<-2)
       dc2=2-c(2);
   elseif(abs(c(1))<2)
       dc2=-c(1)-c(2);
   else
       dc2=-2-c(2);
   end
   dc=[dc1 dc2]';
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   由上图可知，系统振荡收敛，系统的奇点为稳定焦点。