CSDN机器学习常用科学公式写法汇总【更新中】

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一、前言

此文章记录一些机器学习的相关知识点、公式及书写方法

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二、参考文献

1. KaTeX库 文档 https://katex.org/docs/supported.html
2. 王木头b站视频 https://space.bilibili.com/504715181
3. 李沐b站视频 https://space.bilibili.com/1567748478
4. 百度百科

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三、知识点及公式

1.线性回归

$$y=wx+b$$

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2.sigmoid函数

$$\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$

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3.逻辑回归

$$\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-(wx+b)}}$$

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4.基尼指数

$$Gini\_index(D,a)=\sum _{v=1}^V\frac{D^v}{D}Gini(D^v)$$

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5.基尼值

$$Gini(D)=1-\sum _{k=1}^{|y|}{P}_k^2$$

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6.联合概率公式

$$P(AB)=P(B|A_i)\ast P(A_i)$$

ps：

1. $P(B|A_i)$：表示$A_i$事件已发生时，$B$事件发生的概率
2. $P(AB)$：表示A、B事件的联合概率【A、B同时发生的概率】

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7.全概率公式

$$P(B)=\sum _{k=1}^{n}P(B|A_k)\ast P(A_k)$$

ps：

1. $P(B)$：表示B事件的发生概率【全概率】

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8.贝叶斯公式

$$P(A_i|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(B|A_i)\ast P(A_i)}{\sum _{k=1}^{n}P(B|A_k)\ast P(A_k)}$$

ps：

1. $P(A_i)$：先验概率【事件还没有发生时，根据以往经验和分析得到的事件发生概率概率】，比如掷骰子结果为3的概率是六分之一
2. $P(A_i|B)$：后验概率【事件已经发生，但事情发生可能有多个原因，判断事件由哪个原因引起的概率】，比如你坐在马桶上分析今天窜稀的原因是吃了那种水果
3. $P(B|A_i)$：似然概率

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9.求向量的模【$L2$范数】

$$设：A=[a_1,a_2,...a_n]$$
$$则：|A|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}=\sqrt{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}$$

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10.向量内积

$$设：A=[a_1,a_2,...a_n]，B=[b_1,b_2...b_n]$$
$$则：A\cdot B=|A||B|\cos \theta =a_1\ast b_1+a_2\ast b_2+...+a_n\ast b_n=\sum _{i=1}^n{a}_i\ast b_i$$

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11.向量的余弦相似度

$$设：A=[a_1,a_2,...a_n]，B=[b_1,b_2...b_n]$$
$$则：similarity=\cos (\theta )=\frac{向量的内积}{向量模的乘积}=\frac{向量的内积}{向量L2范数的乘积}=\frac{A\cdot B}{|A|\cdot |B|}=\frac{A}{|A|}\cdot \frac{B}{|B|}=\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i\ast b_i}{\sqrt{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}\ast \sqrt{\sum _{i=1}^n{b}_i^2}}$$

PS：

1. 一般做相似度检索时，有两种方式：
   <1> 将文本或图像编码获得向量化特征之后入库，使用余弦相似度检索
   <2> 将文本或图像编码获得向量化特征之后，先除以该向量的模(L2范式)得到归一化的向量特征再入库，使用向量内积进行检索，因为L2范式归一化之后的向量内积就等于向量的余弦相似度计算
   优劣：方式一便于理解，方式二速度更快

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12.似然函数

$$P(x_1,x_2,x_3...x_n|\theta )=\prod _{i=1}^{n}P(x_i|\theta )$$

ps：

1. 似然值定义：当假设（概率模型$\theta$）为真时所得到的样本观察结果出现的概率。如果P值很小，说明原假设情况的发生的概率很小，而如果出现了，根据小概率原理，我们就有理由拒绝原假设，P值越小，我们拒绝原假设的理由越充分。
   举例：
   1. 假设抛硬币正、反的概率分别为0.1、0.9，真实观察10次结果为4正6反，那么
      $P_1=0.1^4\ast 0.9^6=5.314410000000001e-05$
   2. 假设抛硬币正、反的概率分别为0.3、0.7，真实观察10次结果为4正6反，那么
      $P_2=0.3^4\ast 0.7^6=9.529568999999997e-04$
   3. $P_2>P_1$，所以我们可以拒绝第一种假设，保留第二种

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13.伯努利分布

如果随机变量X只取0和1两个值，并且相应的概率为：
$$Pr(X=1)=p,Pr(X=0)=1-p,0<p<1$$
则称随机变量X服从参数为p的伯努利分布，X的概率函数可写为：
f ( x ∣ p ) = p x ( 1 − p ) 1 − x = { p x = 0 1 − p x = 1 0 x   / = 0 , 1 \LARGE f(x|p) = p^x(1-p)^{1-x}= {px=01−px=10x\mathrlap/=0,1

f(x∣p)=px(1−p)1−x=⎩ ⎨ ⎧​p1−p0​x=0x=1x/=0,1​
令q=1一p的话，也可以写成下面这样：
$$f(x|p)=\{\begin{array}{ll}{p}^x{q}^{1-x}& x=0,1\\ 0& x/=0,1\end{array}$$

ps：

1. 定义：伯努利分布指的是对于随机变量X有, 参数为p(0

2. 什么样的事件遵循伯努利分布：任何我们只有一次实验和两个可能结果的事件都遵循伯努利分布【例如：抛硬币、猫狗分类】

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14.信息量

某个事件发生的信息量可以定义成如下形式

$$F(p)=-{\log }_{2}p$$

ps：

1. $p$：当前事件发生的概率
2. $F(p)$的单位是比特

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15.熵

对概率系统 $P$ 求熵 $H$ 可定义为对系统 $P$ 求信息量 $f$ 的期望
$$H(P):=E(P_f)=\sum _{i=1}^m{p}_i\ast f(p_i)=\sum _{i=1}^m{p}_i(-lo{g}_2{p}_i)=-\sum _{i=1}^m{p}_i\ast lo{g}_2{p}_i$$
系统熵的求解过程简单来说，就是把系统里面所有 可能发生事件的信息量 $-lo{g}_2{p}_i$ 求出来然后和这个 事件发生的概率 $p_i$ 相乘，最后把这些 结果 $-lo{g}_2{p}_i\ast p_i$ 相加，得到的就是这个系统的熵

ps：

1. 熵的定义：衡量一个系统从原来的不确定到确定，难度有多大【系统趋于稳定的难度有多大】，简单来说就是衡量一个系统的混乱程度，混乱程度越小，系统越稳定，结果置信度越高
   信息量的定义：与熵类似，时衡量一个事件从原来的不确定到确定，难度有多大【系统中某个事件趋于稳定的难度有多大】
   举例：
   1. 一个预测中国乒乓球是否夺冠的系统，熵就很小，因为它输出稳定、置信度高
   2. 一个抛硬币的系统，熵就很高，因为它混乱程度高、输出不稳定

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16.相对熵【KL散度】

相对熵用于计算两个系统之间的熵的差距，公式如下：

$$D_{KL}(P||Q):=\sum _{i=1}^m{p}_i\ast (f_Q(q_i)-f_P(p_i))=\sum _{i=1}^m{p}_i\ast ((-{\log }_2{q}_i)-(-{\log }_2{p}_i))=\sum _{i=1}^m{p}_i\ast (-{\log }_2{q}_i)-\sum _{i=1}^m{p}_i\ast (-{\log }_2{p}_i)=H(P,Q)-H(P)$$

ps：

1. $D_{KL}(P||Q)$：表示以$P$系统为基准，计算$Q$与$P$的熵的差距
2. $f_Q(q_i)-f_P(p_i)$：代表某件事在$Q$系统中的信息量减去此事件在$P$系统中的信息量
3. $q_i$：表示当前事件在$Q$系统发生的概率，$p_i$：表示当前事件在$P$系统发生的概率
4. $H(P)$：就是P系统的熵
5. $H(P,Q)$：就是P系统的交叉熵
6. 交叉熵 $H(P,Q)$ 永远大于 熵 $H(P)$【可根据吉布斯不等式求出】
7. 当以 $P$ 系统为基准求 $P、Q$ 两系统的相对熵 $D_{KL}(P||Q)$ 时，$H(P)$ 是固定的，$H(P,Q)$ 又一定大于 $H(P)$，所以$H(P,Q)$ 越小相对熵越小，因此相对熵的大小取决于交叉熵 $H(P,Q)$， 交叉熵越小，系统 $P$ 越接近于 $Q$，这就是交叉熵可以作为损失函数的原因
8. $\sum _{i=1}^m$ 中的事件数量 $m$ 取两个系统中事件数量较多的那个即可，因为如果某个事件在 $Q$ 系统中存在，在 $P$ 系统中不存在，那么该事件在 $P$ 系统中的概率 $p_m=0$， $P$ 系统中的信息量就是 $0$ ，那么m事件的信息差 $M=f_Q(q_m)-f_P(p_m)=f_Q(q_m)$ ，受该事件影响，最终求出的相对熵也就距 $0$ 越远【因为 $Q$ 系统中多出了一个无关紧要的事件，导致 $P$ 和 $Q$ 的相似度变低，这很河里（旺柴）】

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17.交叉熵

基本公式如下
$$H(P,Q)=\sum _{i=1}^m{x}_i\ast (-{\log }_2{y}_i)$$
考虑正反两面的情况后可以写成如下形式
$$H(P,Q)=-(\sum _{i=1}^n(x_i\ast {\log }_2{y}_i+(1-x_i)\ast {\log }_2(1-y_i)))$$

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18.泰勒公式

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有n阶导数，则有公式：
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+o[(x-x_0{)}^n]$$

ps:

1. 泰勒公式作用是 用一些幂函数相加来拟合原函数 $f(x)$，本质就是近似
2. 泰勒公式展开的项数越高，最终拟合原函数的近似度就越高
3. 等价无穷小就是只展开一次的泰勒公式，是特殊的泰勒公式
4. 泰勒公式的本质是近似，洛必达计算的本质是降阶

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19.麦克劳林公式

当 $x_0=0$ 时的 泰勒公式 就是 麦克劳林公式了，如下
$$f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

参考视频
https://www.bilibili.com/video/BV1WX4y1g7bx

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20.高斯分布（正态分布）

若随机变量 $X$ 服从一个位置参数为 $\mu$、尺度参数为 $\sigma$ 的概率分布，且其概率密度函数为：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$$

则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ ，读作 $X$ 服从 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，或 $X$ 服从正态分布。

当 $\mu =0,\sigma =1$ 时，正态分布就成为标准正态分布
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{x^2}{2{\sigma }^2})$$

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21.什么条件下的数据可以获得较好的训练结果

1. 独立
   数据之间相互独立
   比如，小明和小红来贷款，银行会根据他俩的自身条件对他俩评估后分别放贷，他俩之间就没有任何联系，数据相互独立
   相反的，一个风扇的转速和风力则呈正相关，他俩之间就有联系，数据特征不相互独立
2. 乱序
   模拟自然条件下的数据，也是数据独立的一个间接要求
3. 同分布
   数据尽可能来自于相同的分布
   比如，小明和小红来贷款，他俩必须去的都是同一家银行，符合同一家银行下的放贷规则
   相反的，小明和小红一个去建行贷款一个去农行贷款，他俩的数据特征就不满足同分布的要求了
4. 高斯分布（正态分布）
   释义参考上一条知识点
   比如，大多数人的身高在1.5-1.8米之间，大多数人的体重在100-200斤之间，大多数人的薪资都在2-5k之间，这些都是符合高斯分布的数据

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