向量的内积与外积

Reference:

1. 高翔，张涛 《视觉SLAM十四讲》

点是空间中的最基本元素，没有长度，没有体积。把两个点连接起来，就构成了向量。向量可以看成从某点指向另一个点的一个箭头。请不要把向量与它的坐标这两个概念混淆。

一个向量是空间当中的一样东西，比如 $\mathbf{a}$。这里的 $\mathbf{a}$ 并不需要和若干个实数相关联。只有当我们指定这个三维空间中的某个坐标系时，才可以谈论该向量在此坐标系下的坐标，也就是找到若干个实数对应这个向量。

用线性代数的知识来说，三维空间中的某个点的坐标也可以用 ${\mathbb{R}}^3$ 来描述。假设在这个线性空间内，我们找到了该空间的一组基$({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3)$，那么，任意向量 $\mathbf{a}$ 在这组基下就有一个坐标：
a = [ e 1 , e 2 , e 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 \boldsymbol{a}=\left[\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\right]\left[a1a2a3

\right]=a_1 \boldsymbol{e}_1+a_2 \boldsymbol{e}_2+a_3 \boldsymbol{e}_3 a=[e1​,e2​,e3​]⎣ ⎡​a1​a2​a3​​⎦ ⎤​=a1​e1​+a2​e2​+a3​e3​

这里 $(a_1,a_2,a_3{)}^T$ 称为 $\mathbf{a}$ 在此基下的坐标。坐标的具体取值，一是和向量本身有关，二是和坐标系(基)的选取有关。

坐标系通常由 $3$ 个正交的坐标轴组成(尽管也可以有非正交的，但实际中很少见)。例如，当给定 $x$ 和 $y$ 轴时，$z$ 轴就可以通过右手(或左手)法则由 $x\times y$ 定义出来。根据定义方式的不同，坐标系又分为右手系和左手系。左手系的第 $3$ 个轴与右手系方向相反。大部分 $3D$ 程序库使用右手系(如 OpenGL，3D Max等)，也有部分库使用左手系(如 Unity、Direct3D 等)。

现在给出内外积的运算方式：

• 内积
  对于 $\mathbf{a},\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^3$，通常意义下的内积可以写成：
  $$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}={\mathbf{a}}^T\mathbf{b}=\sum _{i=1}^3{a}_i{b}_i=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos ⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩$$

  其中 $\cos ⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩$ 指向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 的夹角。内积也可以描述向量间的投影关系。

• 外积
  a × b = [ e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ] = [ a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1 ] = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] b = def a ∧ b . \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left[e1e2e3a1a2a3b1b2b3

  \right]=\left[a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1
  \right]=\left[0−a3a2a30−a1−a2a10
  \right] \boldsymbol{b} \overset{\text{def}}{=} \boldsymbol{a}^{\wedge} \boldsymbol{b} . a×b=⎣ ⎡​e1​a1​b1​​e2​a2​b2​​e3​a3​b3​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​a2​b3​−a3​b2​a3​b1​−a1​b3​a1​b2​−a2​b1​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​0a3​−a2​​−a3​0a1​​a2​−a1​0​⎦ ⎤​b=defa∧b.

  外积的结果是一个向量，它的方向垂直于这两个向量，大小为 $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin ⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩$，是两个向量张成的四边形的有向面积。对于外积运算，我们引入了 ^ 符号，把 $\mathbf{a}$ 写成一个矩阵。事实上是一个反对称矩阵(Skew-symmetric Matrix)，可以将 ^ 记成一个反对称符号。这样就把外积 $a\times b$ 写成了矩阵与向量的乘法 $a^{\wedge }b$，把它变成了线性运算。这个符号在 SLAM 内经常会用到，请记住它。并且此符号是一个一一映射，意味着任何向量都对应着唯一的一个反对称矩阵，反之亦然：
  a ∧ = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] . \boldsymbol{a}^{\wedge}=\left[0−a3a2a30−a1−a2a10

  \right]. a∧=⎣ ⎡​0a3​−a2​​−a3​0a1​​a2​−a1​0​⎦ ⎤​.

需要额外提醒的是，向量和加减法、内外积，即使在不谈论它们的坐标时也可以计算。例如，虽然内积在有坐标时，可以用两个向量的分量乘积之和表达，但是即使不知道它们的坐标，也可以通过长度和夹角来计算二者的内积。所以两个向量的内积结果和坐标系的选取是无关的。