【问题思考总结】拉格朗日法的条件极值中的λ可以等于0吗（三种方法）

问题

在做这道题的时候，我在对变量消元的时候，直接放弃了λ=0的情况，原因很简单，这个λ=0不是就是无条件极值了嘛，怎么可能呢？然而经过查阅资料和思考发现，并不是这样。于是在前人的基础上通过比较无条件极值来得出答案，可能更加方便理解。

思考

代数法

我们要想知道是否是变成无条件极值了，不妨将无条件极值和本题化简后做一个对比：

1. 无条件极值： $x=-2z$
2. 本题：$x=-2z$ | $x^2+y^2+z^2-10=0$

可以看到，本题在λ=0之后，得到的公式中还余下一个约束条件，因此这个λ经过计算后等于0和直接将λ设为0，两者不同，前者是条件极值，后者是无条件极值。

几何直观

通过几何方法，我们可以知道，无条件极值是在一条线上都可以取到，而条件极值则是被球体截取了两个点。

分析法

假如没有约束条件，无条件极值不可能是0（随便取值即可得证）。

总结

λ先等于0和后等于0有本质区别，先等于0就剩单个方程了，后等于0好歹里面还剩一个约束条件：

因此，本题解的的λ等于0依旧是条件极值的范畴。

参考资料

【1】https://www.zhihu.com/question/476120317/answer/2038085202
【2】武忠祥高数强化课第十七节