优化算法 - 学习率调度器

学习率调度器

到目前为止，我们主要关注如何更新权重向量的优化算法，而不是它们的更新速率。然而，调整学习率通常与实际算法同样重要，有如下几方面需要考虑：

• 首先，学习率的大小很重要，若它太大，优化就会发散；若它太小，训练就会需要过长实际，或者我们最终只能得到次优的结果。我们之前看到问题的条件数很重要，直观地说，这是最不敏感与最敏感方向的变化量的比率
• 其次，衰减速率同样很重要。若学习率持续过高，我们可能最终会在最小值附近弹跳，从而无法达到最优解。我们在小批量随机梯度下降比较详细地讨论了这一点，在随机梯度下降中分析了性能保证。简而言之，我们希望速率衰减，但要比$O(t^{-\frac{1}{2}})$慢，这样能成为解决凸问题的不错选择
• 另一个同样重要的方面是初始化。这既涉及参数最初的设置方式，又关系到它们最初的演变方式。这被戏称为预热（warmup），即我们最初开始向着解决方案迈进的速度有多块。一开始的大步可能没有好处，特别是因为最初的参数集是随机的，最初的更新方向可能也是毫无意义的
• 最后，还有许多优化变体可以执行周期性学习率调整，例如如何通过对整个路径参数求平均值来获得更好的解

鉴于管理学习率需要很多细节，因此大多数深度学习框架都有自动应对这个问题的工具。在本章中，我们将梳理不同的调度策略对准确性的影响，并展示了如何通过学习率调度器（learning rate scheduler）来有效管理

1 - 一个简单的问题

我们从一个简单的问题开始，这个问题可以轻松计算，但足以说明要以。为此，我们选择了一个稍微现代化的LeNet版本（激活函数使用relu而不是sigmoid，汇聚层使用最大汇聚层而不是平均汇聚层），并应用于Fashion-MNIST数据集。此外，我们混合网络以提高性能，由于大多数代码是标准的，我们只介绍基础知识，而不做进一步的详细讨论

%matplotlib inline
import math
import torch
from torch import nn
from torch.optim import lr_scheduler
from d2l import torch as d2l
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def net_fn():
    model = nn.Sequential(
    nn.Conv2d(1,6,kernel_size=5,padding=2),nn.ReLU(),
    nn.MaxPool2d(kernel_size=2,stride=2),
    nn.Conv2d(6,16,kernel_size=5),nn.ReLU(),
    nn.MaxPool2d(kernel_size=2,stride=2),
    nn.Flatten(),
    nn.Linear(16 * 5 * 5,120),nn.ReLU(),
    nn.Linear(120,84),nn.ReLU(),
    nn.Linear(84,10))
    
    return model

loss = nn.CrossEntropyLoss()
device = d2l.try_gpu()

batch_size = 256
train_iter,test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size)

# 代码几乎于d2l.train_ch6定义在卷积神经网络一章LeNet一节中的相同
def train(net,train_iter,test_iter,num_epochs,loss,trainer,device,scheduler=None):
    net.to(device)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch',xlim=[0,num_epochs],legend=['train loss','train acc','test acc'])
    
    for epoch in range(num_epochs):
        metric = d2l.Accumulator(3) # train_loss,train_acc,num_examples
        for i,(X,y) in enumerate(train_iter):
            net.train()
            trainer.zero_grad()
            X,y = X.to(device),y.to(device)
            y_hat = net(X)
            l = loss(y_hat,y)
            l.backward()
            trainer.step()
            with torch.no_grad():
                metric.add(l * X.shape[0],d2l.accuracy(y_hat,y),X.shape[0])
            train_loss = metric[0] / metric[2]
            train_acc =metric[1] / metric[2]
            if (i + 1) % 50 == 0:
                animator.add(epoch + i / len(train_iter),(train_loss,train_acc,None))
                
        test_acc = d2l.evaluate_accuracy_gpu(net,test_iter)
        animator.add(epoch+1,(None,None,test_acc))
        
        if scheduler:
            if scheduler.__module__ == lr_scheduler.__name__:
                # UsingPyTorchIn-Builtscheduler
                scheduler.step()
            else:
                # Usingcustomdefinedscheduler
                for param_group in trainer.param_groups:
                    param_group['lr'] = scheduler(epoch)
    print(f'train loss {train_loss:.3f}, train acc {train_acc:.3f}, 'f'test acc {test_acc:.3f}')
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让我们来看看如果使用默认设置，调用此算法会发生什么。例如学习率为0.3并训练30次迭代。留意在超过了某点，测试准确度方面的进展停滞时，训练准确度将如何继续提高。两条曲线之间的间隙表示过拟合

lr,num_epochs = 0.3,30
net = net_fn()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(),lr=lr)
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)
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train loss 0.174, train acc 0.933, test acc 0.888
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[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-fCCSS9FE-1663328243406)(https://yingziimage.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/202209161925913.svg)]

2 - 学习率调度器

我们可以在每个迭代轮数（甚至在每个小批量）之后向下调整学习率。例如，以动态的方式来响应优化的进展情况

lr = 0.1
trainer.param_groups[0]["lr"] = lr
print(f'learning rate is now {trainer.param_groups[0]["lr"]:.2f}')
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learning rate is now 0.10
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通常而言，我们应该定义一个调度器。当调用更新次数时，它将返回学习率的适当值。让我们定义一个简单的方法，将学习率设置为$\eta ={\eta }_0(t+1{)}^{-\frac{1}{2}}$

class SquareRootScheduler:
    def __init__(self,lr=0.1):
        self.lr = lr
    
    def __call__(self,num_update):
        return self.lr * pow(num_update + 1.0,-0.5)
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让我们在一系列值上绘制它的行为

scheduler = SquareRootScheduler(lr=0.1)
d2l.plot(torch.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
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[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Kre2Qu5S-1663328243407)(https://yingziimage.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/202209161925914.svg)]
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现在让我们来看看这对在Fashion-MNIST数据集上的训练有何影响。我们只提高调度器作为训练算法的额外参数

net = net_fn()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(),lr)
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,scheduler)
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train loss 0.282, train acc 0.899, test acc 0.879
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[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-oAdCdGBB-1663328243407)(https://yingziimage.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/202209161925915.svg)]

这⽐以前好⼀些：曲线⽐以前更加平滑，并且过拟合更⼩了。遗憾的是，关于为什么在理论上某些策略会导致较轻的过拟合，有⼀些观点认为，较⼩的步⻓将导致参数更接近零，因此更简单。但是，这并不能完全解释这种现象，因为我们并没有真正地提前停⽌，⽽只是轻柔地降低了学习率

3 - 策略

虽然我们不可能涵盖所有类型的学习率调度器，但我们会尝试在下面简要常用的策略：多项式衰减和分段常数表。此外，余弦学习率调度在实践中的一些问题上运行效果很好。在某些问题上，最好在使用较高的学习率之前预热优化器

多因子调度器

class FactorScheduler:
    def __init__(self,factor=1,stop_factor_lr=1e-7,base_lr=0.1):
        self.factor = factor
        self.stop_factor_lr = stop_factor_lr
        self.base_lr = base_lr
    
    def __call__(self,num_update):
        self.base_lr = max(self.stop_factor_lr,self.base_lr * self.factor)
        return self.base_lr
    
scheduler = FactorScheduler(factor=0.9, stop_factor_lr=1e-2, base_lr=2.0)
d2l.plot(torch.arange(50), [scheduler(t) for t in range(50)])
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这种分段恒定学习率调度背后的直觉是，让优化持续进行，直到权重向量的分布达到一个驻点。此时，我们才将学习率降低，以获得更高质量的代理来达到一个良好的局部最小值。下面的例子展示了如何使用这种方法产生更好的解决方案

train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,scheduler)
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train loss 0.242, train acc 0.912, test acc 0.895
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[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-MR2qh9Fa-1663328243408)(https://yingziimage.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/202209161925917.svg)]

余弦调度器

class CosineScheduler:
    def __init__(self, max_update, base_lr=0.01, final_lr=0,warmup_steps=0, warmup_begin_lr=0):
        self.base_lr_orig = base_lr
        self.max_update = max_update
        self.final_lr = final_lr
        self.warmup_steps = warmup_steps
        self.warmup_begin_lr = warmup_begin_lr
        self.max_steps = self.max_update - self.warmup_steps

    def get_warmup_lr(self, epoch):
        increase = (self.base_lr_orig - self.warmup_begin_lr) * float(epoch) / float(self.warmup_steps)
        return self.warmup_begin_lr + increase
    
    def __call__(self, epoch):
        if epoch < self.warmup_steps:
            return self.get_warmup_lr(epoch)
        if epoch <= self.max_update:
            self.base_lr = self.final_lr + (self.base_lr_orig - self.final_lr) * (1 + math.cos(math.pi * (epoch - self.warmup_steps) / self.max_steps)) / 2
            
        return self.base_lr
    
scheduler = CosineScheduler(max_update=20, base_lr=0.3, final_lr=0.01)
d2l.plot(torch.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
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在计算机视觉中，这个调度可以引出改进的结果。但请注意，如下所示，这种改进并不能保证成立

net = net_fn()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.3)
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,scheduler)
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train loss 0.186, train acc 0.932, test acc 0.896
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[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-9MzX4iQC-1663328243409)(https://yingziimage.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/202209161925919.svg)]

预热

在某些情况下，初始化参数不⾜以得到良好的解。这对于某些⾼级⽹络设计来说尤其棘⼿，可能导致不稳定的优化结果。对此，⼀⽅⾯，我们可以选择⼀个⾜够⼩的学习率，从⽽防⽌⼀开始发散，然⽽这样进展太缓慢。另⼀⽅⾯，较⾼的学习率最初就会导致发散

解决这种困境的⼀个相当简单的解决⽅法是使⽤预热期，在此期间学习率将增加⾄初始最⼤值，然后冷却直到优化过程结束。为了简单起⻅，通常使⽤线性递增。这引出了如下表所⽰的时间表

scheduler = CosineScheduler(20, warmup_steps=5, base_lr=0.3, final_lr=0.01)
d2l.plot(torch.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
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[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-EKjb7DTH-1663328243409)(https://yingziimage.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/202209161925920.svg)]
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注意，观察前5个迭代轮数的性能，网络最初收敛得更好

net = net_fn()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.3)
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,scheduler)
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train loss 0.207, train acc 0.923, test acc 0.896
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[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-6zPTPHst-1663328243409)(https://yingziimage.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/202209161925921.svg)]

预热可以应⽤于任何调度器，⽽不仅仅是余弦。有关学习率调度的更多实验和更详细讨论，请参阅[Gotmare et al., 2018]。其中，这篇论⽂的点睛之笔的发现：预热阶段限制了⾮常深的⽹络中参数的发散量。这在直觉上是有道理的：在⽹络中那些⼀开始花费最多时间取得进展的部分，随机初始化会产⽣巨⼤的发散

4 - 小结

• 在训练期间逐步降低学习率可以提高准确性，并且减少模型的过拟合
• 在实验中，每当进展趋于稳定时就降低学习率，这是很有效的。从本质上说，这可以确保我们有效地收敛到一个适当的解，也只有这样才能通过降低学习率来减小参数的固有方差
• 余弦调度器在某些计算机视觉问题中很受欢迎
• 优化之前的预热期可以防止发散
• 优化在深度学习中有多种用途。对于同样的训练误差而言，选择不同的优化算法和学习率调度，除了最大限度地减少训练视觉，可以导致测试集上不同的泛化和过拟合量