基础数学知识

基础数学知识
左手系和右手系

左手坐标系就是x轴的正方向指向右，y轴正方向指向上，z轴的正方向指向里面。当伸出左手，让四个手指指着x轴的正方向,大母指指向z轴的正方向，牚心指向y轴的正方向。符合这样规则的坐标系，就叫做左手坐标系。

向量

程序中可使用D3DXVECTOR3数据结构来代表向量，该结构需要添加#include 头文件

计算向量的长度：向量的模就是有向线段的长度， ${\left \| u \right \|=\sqrt{{u_{x}}^{2}+{u_{y}}^{2}+{u_{z}}^{2}}}$

D3DX库中可以使用D3DXVec3Length来计算向量的模
```
int main()
{
	D3DXVECTOR3 v(1.0f, 2.0f, 3.0f);
	float length = D3DXVec3Length(&v);
	std::cout << length << std::endl;
}
```
向量规范化：使向量的模变为1，可以通过将向量的每个分量都除以该向量的模来实现向量的规范化 ${\hat{u}=\frac{u}{\left \| u \right \|}=\left ( \frac{u_{x}}{\left \| u \right \|},\frac{u_{y}}{\left \| u \right \|},\frac{u_{z}}{\left \| u \right \|} \right )}$

D3DX库中可以使用D3DXVec3Normalize来计算，该函数返回指向变换结果的指针，所以该函数可以作为另一个函数的参数来使用，在大部分情况下，除非特别声明，一个D3DX数学函数均返回一个指向结果的指针
```
D3DXVECTOR3* WINAPI D3DXVec3Normalize
    ( D3DXVECTOR3 *pOut, CONST D3DXVECTOR3 *pV );
```
向量加法：向量的加法定义为俩个向量对应分量的分别相加，只有维数相同的俩个向量才能进行加法运算，程序中实现向量加法，可以使用重载后的加法运算符(+)

向量减法：规则同加法一致

数乘：标量可以与向量相乘，该运算可以对向量进行缩放，与正数相乘不改变向量方向，与负数相乘后方向与原来相反 ${ku=\left ( ku_{x},ku_{y},ku_{z} \right )}$

点积：是向量代数所定义的俩种乘法之一，结果为一个标量 ${u\cdot v=u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}+u_{z}v_{z}}$ 上述公式并不具有明显几何意义，但由余弦定理可知 ${u\cdot v=\left \| u \right \|\cdot \left \| v \right \|cos\theta }$ 即俩向量的点积为二者夹角的余弦乘以俩个向量的模的乘积。可使用D3DXVec3Dot来计算点积
性质：若u·v=0则u $\perp$ v，u·v>0则俩向量之间夹角< $90^{\circ}$ ，u·v<0则俩向量之前夹角> $90^{\circ}$

叉积：与点积不同，叉积的结果是另一个向量，如果取向量u和v的叉积，运算所得向量p与u、v彼此正交， ${p=u\times v=\left [ \left (u_{y}v_{z}-u_{z}v_{y} \right ) ,\left (u_{z}v_{x}-u_{x}v_{z} \right ) ,\left (u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x} \right ) \right ]}$ 可使用D3DXVec3Cross计算，由图可知向量-p也是与向量u、v正交，叉积运算的次序决定了结果是p还是-p，换言之 ${u\times v=-(v\times u{ })}$ ，这表明叉积不具备交换性，可以借助左右手法则来判断，目前使用的为左手坐标系，则使用左右法则判断，左手四指朝向第一个向量u，然后四指朝着手心的方向弯曲到第二个向量v的方向，拇指的指向就是这俩个向量叉积的方向。

矩阵

一个mxn矩阵是一个m行、n列的矩形数组，行数和列数指定了矩阵的维数，有时一个矩阵包含单行或单列，这样的矩阵称为行向量或列向量，如果俩个矩阵维数相同且对应元素也相同，则二者相等，俩个矩阵只有维数相同时才能进行加法、减法运算。

矩阵乘法：为了计算矩阵乘积AB，矩阵A的列数必须等于B的行数，矩阵的乘法一般不具有交换性，若A为 $m\times n$ 矩阵，B为 $n\times p$ 矩阵，则乘积AB有意义，且等于一个 $m\times p$ 矩阵C，其中乘积C的第ij个元素的值等于A的第i个行向量与B的第j个列向量的点积 ${ c_{ij}=a_{i}\cdot b_{j} }$

${ AB=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{11} &b_{12} \\ b_{21} &b_{22} \\ b_{31} &b_{32} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c_{11} &c_{12} \\ c_{21} &c_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31} &a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32} \\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31} &a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32} \end{bmatrix}}$

单位矩阵：单位矩阵的特点是除主对角线上元素为1外，其余元素均为0，而且是方阵，用一个单位矩阵和某个矩阵相乘，不改变该矩阵，单位矩阵对于标量可认为是矩阵中的"1"

逆矩阵：矩阵数学中没有类似于标量除法的运算，但是有一种乘法逆运算，只有方阵才可能有逆矩阵，一个 $n\times n$ 矩阵的逆矩阵也是一个 $n\times n$ 矩阵，用符号 $M^{-1}$ 表示，并非所有方阵都有逆矩阵，一个矩阵与其逆矩阵的乘积为单位阵： ${ MM^{-1}=M^{-1}M=I}$ ，另一个关于矩阵乘积的逆的有用性质： ${(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$ 该性质的前提是矩阵A、B均可逆，且均为维数相同的方阵

矩阵的转置：矩阵的转置可通过交换矩阵的行和列来实现，一个 $M\times N$ 的矩阵转置是一个 $N\times M$ 矩阵，用符号 $M^{T}$ 来表示矩阵的的转置 $A=\begin{bmatrix} 2 &-1 & 8\\ 3 &6 &-4 \end{bmatrix} A^{T}=\begin{bmatrix} 2 &3 \\ -1&6 \\ 8 &-4 \end{bmatrix}$

D3DX矩阵：在D3DX中表示4x4的矩阵，可使用类D3DXMATRIX，它的一个重要的运算符是括号运算符，利用该运算符可以方便的访问矩阵中每一个元素，索引应像C语言中数组一样，下标从0开始，D3DX库对于D3DXMATRIX类型的矩阵，提供了转为单位矩阵、取转置以及求逆的函数，如果传入D3DXMatrixInverse函数的矩阵不可逆，则返回一个NULL值，本书中一般忽略第二个参数，调用时设置为0
```
D3DXMATRIX M;
M(0,0) = 5.0f;
 
D3DXMatrixIdentity  //转化单位矩阵
D3DXMatrixTranspose //取转置
D3DXMatrixInverse   //求逆
 
D3DXMATRIX A(...);
D3DXMATRIX B;
D3DXMatrixInverse(&B, 0, &A);
```
基本变换：使用Direct3D编程时，我们使用4x4的矩阵表示一个变化，思路如下，设置一个4x4的矩阵中元素的值，使其表示一具体变化，然后将某一点的坐标或某一向量的分向量放入一个1x4的的行向量v中，乘积就生成了一个新的经过变化的向量，之所以使用4x4矩阵，是因为这种特定维数的矩阵有能力表征所需要的所有变换，至于我们所关心的点和向量都是3D的，为什么要使用1x4的行向量，是为了使向量-矩阵乘积有意义(1x4行向量与4x4矩阵乘积)。

行向量w分量表示：行向量的第四个分量用w表示，将点放入1x4的行向量时，我们将w分量设为1，这能够保证点的平移变换正确进行，因为向量不含位置信息，所以没有对向量定义平移变换，将1x3向量置入1x4向量时，将w分量置为0(防止对向量实施平移变换)，例如点 $p=(p_{1},p_{2},p_{3})$ 置入行向量后应为 $\begin{bmatrix} p_{1} & p_{2} & p_{3} & 1 \end{bmatrix}$ ，向量 $v=(v_{1},v_{2},v_{3})$ 置入行向量后应为 $\begin{bmatrix} p_{1} & p_{2} & p_{3} & 0 \end{bmatrix}$

齐次向量、齐次空间：扩展后的4D向量称为齐次向量(可表示点和向量)，当一个行向量的w分量不为0，不为1( $w\neq 0, w\neq 1$ )时，我们称该向量处于齐次空间中，以区别与3D空间，将齐次空间中向量映射回3D房间的方法是，用w分量去除该齐次向量的每一个分量，进行3D图形编程时，如果涉及到透视投影，则经常需要将向量由齐次空间映射到3D空间

平移矩阵：将向量(一个点)进行平移操作时，可以使用D3DXMatrixTranslation创建一个平移矩阵，并将向量与该矩阵进行相乘，乘积后为平移之后的向量

旋转矩阵：用于创建绕x、y、z轴旋转的旋转矩阵函数为 D3DXMatrixRotationX D3DXMatrixRotationY D3DXMatrixRotationZ

比例变换矩阵：如果想让一个向量沿x、y、z轴分别放大，则可以使用D3DXMatrixScaling来创建比例矩阵，如果将比例矩阵的各个缩放因子取倒数，就得到该矩阵的逆矩阵

向量变换：D3DXVec3TransformCoord 用于对点进行变换，并假定向量的第4个分量为1，D3DXVec3TransformNormal 用于对向量的变换，并假定向量的第4个分量为0，D3DXVec3TransformCoordArray用于点数组变换 D3DXVec3TransformNormalArray用于向量数组变换
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原文地址：https://blog.csdn.net/SwordArcher/article/details/126752763

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