快速幂算法的实现

快速幂:快速求abab % p的问题,时间复杂度:O(logb)O(logb),若对于n组数据,那么时间复杂度为O(n∗logb)O(n∗logb)
一.暴力解法 O(n∗b)会TLEO(n∗b)会TLE
基本思路:对于n组数据,分别循环b次求出abmodpabmodp
#include
using namespace std;
int main()
{
int n;
cin>>n;
while(n–)
{
int a,b,p;
long long res=1;
cin>>a>>b>>p;
while(b–)
res = res * a %p;
cout< }
}
二.快速幂解法 O(n∗logb)O(n∗logb)
基本思路:

预处理出a20,a21,a22,…,a2logb.这b个数a20,a21,a22,…,a2logb.这b个数
将ab用a20,a21,a22,…,a2logb这b种数来组合,即组合成ab=a2x1×a2x2×…×a2xt=a2x1+2x2+…+2xtab用a20,a21,a22,…,a2logb这b种数来组合,即组合成ab=a2x1×a2x2×…×a2xt=a2x1+2x2+…+2xt即用二进制表示
为什么b可用a20,a21,a22,…,a2logb这b个数来表示?a20,a21,a22,…,a2logb这b个数来表示?∵二进制可以表示所有数,且用单一用二进制表示时,b单一表示最大可表示为二进制形式的2logb二进制可以表示所有数,且用单一用二进制表示时,b单一表示最大可表示为二进制形式的2logb
注意:

b&1就是判断b的二进制表示中第0位上的数是否为1,若为1,b&1=true,反之b&1=false 还不理解?进传送门
b&1也可以用来判断奇数和偶数,b&1=true时为奇数,反之b&1=false时为偶数
快速幂之迭代版 O(n∗logb)O(n∗logb)
#include
using namespace std;
long long qmi(long long a,int b,int p)
{
long long res=1;
while(b)//对b进行二进制化,从低位到高位
{
//如果b的二进制表示的第0位为1,则乘上当前的a
if(b&1) res = res a %p;
//b右移一位
b>>=1;
//更新a,a依次为a^{20},a^{21},a^{22},…,a^{2logb}
a=aa%p;
}
return res;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
while(n–)
{
cin.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
int a,b,p;
long long res=1;
cin>>a>>b>>p;
res = qmi(a,b,p);
cout< }
return 0;
}
快速幂之递归版 O(n∗logb)O(n∗logb)
#include
using namespace std;
#define ull unsigned long long
ull quick_pow(ull a,ull b,ull p)
{
if(b==0) return 1;
a%=p;
ull res=quick_pow(a,b>>1,p);
if(b&1) return resres%pa%p;
return res*res%p;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
while(n–)
{
int a,b,p;
cin.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>a>>b>>p;
cout< }
return 0;
}
当n为质数时，可以用快速幂求逆元：
a / b ≡ a * x (mod n)
两边同乘b可得 a ≡ a * b * x (mod n)
即 1 ≡ b * x (mod n)
同 b * x ≡ 1 (mod n)
由费马小定理可知，当n为质数时
b ^ (n - 1) ≡ 1 (mod n)
拆一个b出来可得 b * b ^ (n - 2) ≡ 1 (mod n)
故当n为质数时，b的乘法逆元 x = b ^ (n - 2)

当n不是质数时，可以用扩展欧几里得算法求逆元：
a有逆元的充要条件是a与p互质，所以gcd(a, p) = 1
假设a的逆元为x，那么有a * x ≡ 1 (mod p)
等价：ax + py = 1
exgcd(a, p, x, y)

快速幂求逆元
#include
using namespace std;
typedef long long LL;

LL qmi(int a, int b, int p)
{
LL res = 1;
while(b){
if(b & 1) res = res * a % p;
a = (LL)a * a % p;
b >>= 1;
}
return res;
}

int main()
{
int n; cin >> n;
while(n --){
int a, p;
cin >> a >> p;
if(a % p == 0) puts(“impossible”);
else cout << qmi(a, p - 2, p) << endl;
}
return 0;
}
扩展欧几里得算法求逆元
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
int n;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (!b) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return d;
}

int main()
{
cin >> n;
while (n --)
{
int a, p, x, y;
// if (a < p) swap(a, p);
cin >> a >> p;
int d = exgcd(a, p, x, y);
if (d == 1) cout << ((LL)x + p) % p << endl;//保证x是正数
else puts(“impossible”);

}
return 0;
1
2

}