【人工智能】强化学习笔记（持续更新）

概览

本文脱胎于蘑菇书：Eazy-RL

这本书感觉写的还是相对顺畅的，耐心把公式看下去，基本没有理解障碍。

我没有全部看完，仅仅是看完了DQN，策略梯度没有研究，后面如果有时间会学一下

基本概念

机器学习是比较宽泛的概念，其中既有诸如聚类之类的传统机器学习方法，也有如深度学习，强化学习之类的子领域。

这两个子领域因为效果比较好，已经和父领域有平起平坐的感觉了，人们平时说起深度学习或者强化学习，是不会把他们归到机器学习里的。

所以，强化学习虽然基于机器学习，但是和机器学习的依赖关系并不明显。

在机器学习的分类中，有监督学习，非监督学习，以及强化学习。

所以强化学习可以说是一个比较重要的领域了。

其实强化学习就是我最开始对人工智能的理解，我没学人工智能之前，我就觉得，学习的过程就是不断试错，积累经验。强化学习也是如此，强化学习主要是两部分，一个是智能体，另一个是环境，智能体在和环境交互的过程中成长。智能体就是Agent，Agent做出动作Action，对环境做出影响，同时环境给出反馈，给Agent一个奖赏值（也可能是惩罚），同时改变Agent的一些状态。

具体举个例子，就是训练鹦鹉。鹦鹉如果说脏话（Action），就会受到惩罚，打一下脑袋，这个时候鹦鹉本身已经被改变，它下一次说脏话的可能性就很小了，如果他说你好之类的话，就会收到吃的，它下一次就会更倾向于说好话。这就是一个典型的强化学习，所谓强化，就是通过一次又一次的反馈，强化某些特征，弱化某些特征，把Agent塑造成你想要的模样。

不过这种模式也有缺点，就是学习效率比较低，需要积累经验，这是一种纯粹的实践性学习，高级的学习方法应该是理论+实践的结合，但是也可以改进，AlphaGo不就是一个成功案例吗。

系统构成

Agent与环境

策略

策略的输入是状态与环境，输出是Action。

确定性策略比较直接，随机策略引入概率，随机性，如果学过最优化，就会明白奖赏的本质是贪心策略，贪心策略容易陷入局部最优，而这种随机性的引入有利于全局最优（参考模拟退火，感觉和这个有点像）。

奖赏函数

奖赏函数输入：状态，动作
输出：奖赏

值函数

环境模型

环境模型简称为模型，代表了智能体如何理解世界，即世界的编码。

强化学习分类

强化学习与监督学习|非监督学习的区别

这里就可以探讨一下这些任务的区别了。
经典机器学习（包括深度学习在内），都是一种模式识别。所谓模式识别，比方是给你一个图片，你告诉我是什么。那训练的时候就可以拿大量独立同分布的图片去并行地训练。

但是很明显，强化学习就是一个随着时间迭代的过程，是纯粹的串行，他的Action，奖励，反馈，都是一种序列，不可能独立同分布。

另一个角度来说，他的反馈是延迟的，比如打砖块游戏，反弹以后等一会才会有反馈。

至于说没有监督者，严格来说确实是没有的，但我觉得奖励信号本质上就起到监督作用，督促着系统向着目标状态迭代。

这里给出区别

例子：playing pong

首先，将图片（环境+状态）作为输入，送到神经网络中，进行决策，最后通过sigmoid函数给出移动的概率。

下面的图片是通过监督学习的方法进行训练。用上下作为标签，进行训练。但是这样的训练很明显没有时序信息。

下面的图片是通过强化学习的方式训练，神经网络仅仅负责决策，训练的过程是按照前面的那个流程图训练的。

不断试错，失败就重新来过，直到积累的经验发生质变，使得决策模块生成的指令序列可以让游戏一步一步走向胜利。

新技术：深度强化学习

深度学习对于特征的提取和拟合能力比较强，所以决策模块完全可以用神经网络来负责，直接实现端到端训练。而传统的决策模块可能分成很多步骤，逐步提取特征，比如HOG+DPM+SVM。

马尔科夫决策过程

强化学习基本框架符合马尔科夫决策过程。

马尔科夫过程（MP，Markov Process）

马尔科夫性质

未来状态仅与当前状态有关，就叫马尔科夫性质。

本质来说，未来状态实际和过去所有状态有关，毕竟，没有过去，哪来现在？但是从公式来说，确实是只需要知道现在就可以决定将来，从表面上说，马尔科夫是无记忆的。

如何描述马尔科夫过程？

1. 给出所有状态：状态集合。
2. 给出所有状态之间的转移条件：状态转移矩阵
   

马尔科夫链

如果状态是离散的，那么就叫马尔科夫链，这个概念在数学建模中也经常出现。
状态矩阵的特点在于，只要起始状态在矩阵中，那么生成的结果状态一定可以作为另一个转换的起始状态。即，无论怎么转，都不会脱离状态空间。

又因为状态是离散的，所以可以用节点表示状态，用转移线表示转移概率，就会有这种类似于状态图的图：

马尔科夫过程的例子

从s3开始进行采样。

之所以要采样，是因为状态转移是概率性问题，从s3走5步，可以走到s6，但是重来一次或许就是s1。

在强化学习中，这么走一轮叫 回合。

马尔科夫奖励过程（MRP）

MRP增加了一个指标：Reward（简写为R）

奖励函数 R 是一个期望，表示当我们 到达 某一个状态的时候，可以获得多大的奖励。
形式上，一个状态对应一个r值，如果状态有限，R可以表示为一个向量。

还有一个伴随而来的量，价值函数V，表示我们 在 某一个状态的时候，未来可能获得多大的奖励，如果V大，说明从当前状态出发就可以获得更多的奖励，状态就更有价值。

回报（G）与价值函数（V）

前面说到回合，回合的长度叫Horizon，表示一个回合要走Horizon步。

首先给出回报函数。
从t时刻开始的一个回合的回报函数表示如下，注意，回报函数是针对一个回合的，该回合从t时刻开始：

1. 可以看出，回报函数指从当前状态出发走一个回合获得的实际好处。
2. 分析一下G函数，首先，G函数中要用到r，所以我们姑且不去管R是如何来的，先用。可以看到，随着步数的增加，奖励系数是越来越小的（$\gamma$ 一般是小于1的），所以越近的步对于回报函数的影响越大。
3. 之所以要用折扣因子，有如下原因：
   - 让奖励收敛，防止无穷无尽的奖励。
   - 因为我们对环境并不一定全知，所以相信最近的几步可以保证策略的稳定
   - 折扣因子可以用于调参
4. 之后探讨一下t，t是参数吗？不是。因为马尔科夫过程是时间稳定的，即P不会随着t改变。之所以用t，是便于描述一个回合，虽然你从什么时候开始无所谓，但是你一个回合走得时间就是那么多（T）

基于回报函数，得出状态价值函数为回报函数G的期望：

1. 为什么是期望呢？因为以s作为开始状态的采样序列可以有多种，每次采样都可以得到一个实际回报$G_t$，通过多次蒙特卡洛模拟，可以算出G近似的期望，即$V^t(s)$
2. 为什么要叫状态价值函数？实际上这个函数更多的是对于后续步骤的收益期望，一个状态在未来可以获取的收益就代表了这个状态本身的价值。从这个意义上说，未来收益=当前状态价值
3. 关于参数s。前面说t不是参数，但是这里的s是参数。这里的st=s代表回合的起始状态为s，所以$V^t(s)$是关于s的函数，t的含义仅仅代表序列的起始，这也呼应了稳定的马尔科夫过程与时间，与某一次回合无关的特点。
4. 最后一个问题来了，R怎么求？其实R是人给定的，你在指定游戏规则的时候，其实就相当于指定了R，比如赢了就+100，输了就-100。

贝尔曼方程

上面说到计算V，上面的方法是蒙特卡洛方法，是近似解。还有一种办法，是解析解。

首先给出贝尔曼方程，怎么来的别管。
整体来看，当前状态的价值=走到当前状态收获的奖励+转移后可能的价值（转以后可能获得的总奖励）
说白了，当前价值就是可能收获的总奖励，所以贝尔曼方程是很合理的。

很明显，这是一个线性代数，而且是一个迭代方程。但是我们可以通过线性代数变换，得到V向量的解析公式：

这个时候求出逆矩阵就可以求得V，但是求逆矩阵的时间复杂度是$O(n^3)$，如果状态变多，速度会很慢。

计算马尔科夫奖励过程的迭代算法

对于V的计算
前面讲了蒙特卡洛和解析方式。这里给出更多迭代算法，比如动态规划，时序差分（TD，temporal difference learning）

蒙特卡洛具体的伪代码：

动态规划的方法就是迭代法。之前有一个贝尔曼方程，如果我们不变形，那他本身就是一个迭代公式。这种用其他估计值更新某一个估计值的方法，就是一种自举（bootstrapping）迭代。学过数值分析，写过代码的人会对这个过程非常熟悉，就是判断，迭代，更新，直到更新的和前一次差不多为止：

马尔科夫决策过程（MDP）

相比于MRP的变化

到这一步，马尔科夫过程终于和RL联系了起来。

在MDP中，决定下一状态的，除了当前状态，还有当前的Action。这也合理，如果没有Action，马尔科夫链在执行过程中概率是会收敛的，是定死的过程，但是加了Action的影响，马尔科夫过程就盘活了一些

增加了一个动作参数，那对于不同的动作，其状态转移矩阵都是不同的，即一个动作对应一个状态转移矩阵。
一般来说，已知状态和行为，下一个状态就基本确定了，所以转移矩阵中的p一般要么是1要么就是0。但是之所以要给个p矩阵，是因为有时候你采取了行动，结果也不一定按照你的意愿来，比如你要往上走，但是环境比较湿滑，你滑到了右边，这就是意料之外的事情，环境的不确定性越强，S和A对P的决定性就越弱。反之，如果S是完全知道可预测的，P矩阵中的转移一般就都是1或者0了。

奖励函数也变了，因为不同的a对应的$R_a$是不一样的，所以对所有a之下的R进行求期望，就是最终的R。

MDP中的策略（Policy）

根据当前状态采取Action的函数就是策略函数。
策略给出的是所有Action的概率分布，并非准确的某个结果。当然，策略也可以输出结果。

MDP和MRP的关系

如果策略函数$\pi$是给定的，那么MDP过程本质上还是MP，因为Action是被s决定的，s1由s和A决定，那s1实际上还是仅由s决定的。
MDP和MRP的区别仅仅在于，MDP中间夹了一层Action，但是Action还是被s决定的。MDP是可以被替换成MRP过程的。

先看MDP下的转移公式
这个公式可以理解为：从s开始，我可以采取各种Action，但是最终要到s1状态，每一个Action都是一种实现路径，把这些路径的概率加权求和，就是从s到s1的MRP概率。

奖励函数公式也可以替换的
在s状态下可以采取不同Action，每一种Action都有一种奖励，把这些奖励求个期望，就是s状态下的奖励。

Q函数与V函数

之所以有$\pi$作为下标，是因为这一切的前提是策略已经给定。

这个V和MRP中的V是一样的，为什么呢？因为MDP可以变成MRP，推导在下面。

为了更好的描述MDP下的状态价值函数，这里先引入动作价值函数Q-function
Q函数代表在一个状态下，采取一个动作后的V函数。
Q函数和V函数的区别仅仅在于Q函数是确定Action后的V函数。

很合理的，对Q函数概率加权就可以得到V函数。
一个状态下，有$\pi$概率采取某个行动，这些行动的加权就是这个状态下进行下一步行动（行动未知）的期望收益。
这里可以看出，虽然有Action作为中间变量，但是MDP中的V和MRP中的V实质上没有区别。

贝尔曼期望方程

继续将MDP转化成MRP，用Action做加权分解，这次拿贝尔曼期望方程开刀。

V和Q，两个函数，在MRP情况都是有贝尔曼形式的。

这里用Action分解，V和Q就变成了期望形式，权值为Action概率。

上面两个式子比较抽象，进一步代入符号解释：

首先给出两个辅助公式：

这是MDP下V的公式（含Q）

这是MDP下Q的贝尔曼函数（含V）

这两者都是双变量公式，并不好，但是你中有我我中有你，自然可以相互消，变成单变量的迭代形式。

分别用1式带2，和2式带1，消去变量可以得出两个公式，这两个公式是真正意义上的的V和Q在MDP下的贝尔曼形式。

这个是V值的迭代形式（MDP下的贝尔曼形式）

这个是Q的迭代形式（MDP下的贝尔曼形式）

备份图

以上两个公式，既可以看成是从当前（V）推未来（$V^{\prime }$），也可以看做从未来推当前。备份图和贝尔曼公式本质上是一样的，只不过备份图是一种图形化表示，而且如果可以把中间结果储存起来，可以起到动态规划+备份的效果。

首先是状态价值函数的计算。

可以看到，这就是前面给出的MDP下关于V的贝尔曼公式，两层图像代表先用$V^{\prime }$算Q，再用Q算V。
先进行最底层层累加，对应于下图中（c）的计算，然后进行中层累加，就是（b）的计算。这两个结合起来就是V的回溯。

Q的计算也是同理。

策略与控制

策略评估

到此为止，一个MDP回合也可以顺着走下来了，并且还可以通过备份回溯。

一个MDP过程可以用$\gamma$>，和策略$\pi$表示。
给定一个初始状态，Agent会根据策略采取行动，采取行动后由P矩阵进行状态转移，进入下一轮决策。在不断的状态转移中，到达目标状态。

从这里可以看出，状态集S和行为集A给定的前提下，强化学习的核心就在于策略。

如何评价一个策略的好坏呢？用价值函数$V_{\pi }$，好的策略可以让每一个状态的价值都提升到最大，只要按着策略走，就一定能获取很高的收益，这也是V的含义。

书上给了两个例子，我就不赘述了，但是总的来说，其实就是给定$\gamma$>，和策略$\pi$，然后给$V^{\prime }$初始化后，套贝尔曼迭代公式去计算V就行了，如果新策略的V比以前的V大，那新策略就更好。

控制

预测就是给定$\gamma$ >和$\pi$，计算出所有的V，说白了和前面的策略评估干的事情是一样的。

而控制，就是给定$\gamma$>，求出最佳的$V^{\ast }$和${\pi }^{\ast }$，至于你怎么找最佳策略，最粗暴的方法就是遍历，枚举所有的$\pi$，最多枚举$|A{|}^{|S|}$个策略（每种状态都可能有A种确定型策略，共有S种状态），然后逐个计算V，找出V最大的对应的$\pi$

当然，具体的方法肯定没那么粗暴，但是当找出最佳的$\pi$的时候，一个强化学习模型就可以说构建好了。

动态规划

TODO

这一块不是太理解，后面再补

MDP控制方法

所谓的最佳策略函数，就是让每个状态的价值都达到最大。策略搜索肯定不能用枚举，一般用策略迭代和价值迭代。

如果能令V最大，那么就说明这个MDP可解，虽说V的上限固定了，但是最佳策略却可以有多种，他们都有相同的V。

在这种情况下，优中选优，就可以挑选策略稳定性最强的策略了。具体来说，就是使Q函数最大化来得到最佳策略，直观来说，就是在给定s后，只会采取一种行动，其他行动的概率都是0，每个状态对应一种确定的Action。

策略迭代

策略迭代方法

策略迭代是策略改进的一种方式。

在策略迭代中，先对策略进行评估，算出当前策略对应的V，然后基于V和a就可以计算Q函数，通过Q函数的最大化来产生新策略。这是一个轮回，在不断地迭代中，V不断增大，最终V的变化会逐渐收敛（理论不明，反正肯定能收敛）

具体说一下如何进行策略改进，即Q函数如何最大化：

Q函数是给定了a的前提下，对一个状态+行为的价值评估。即Q是s和a的函数。

对于某个状态，s已经固定，给不同的a就会算出不同的Q，这些Q里面会有一个最大的Q，其对应一个参数a，之后就以这个a作为确定策略。

为了更好地执行这个过程，采用表格进行图形化操作：
横轴是状态，纵轴是可能的动作，选择新策略的过程就是从左往右遍历每一列，从每一列中取出最大的Q对应的格子。

这里有一个疑问，你把策略弄成固定的，不会影响下一次策略迭代吗，下一次还能选择其他策略吗？

其实这两个没啥关系，你改了策略，计算的V就变了，V变了，选出来的最大的Q很有可能就变了，比如你原来的策略是up（Q最大），但是你后面发现采用新的策略后还可以有更好的策略down（Q也是最大）。虽然pi对每一种s是固定的，但是旧策略选某一个a不代表新策略就不能选别的，所以还是可以计算出一系列a对应的Q的，第i次pi只能决定V，不能决定在这种V下的a。

贝尔曼最优方程与Q学习

因为每次改进策略后，action都固定了，所以固定a对应的那个Q（a，s）函数其实就和V（s）相等。
即，每次改进策略后，都可以把Q和V互换，这就是贝尔曼最优方程。

V迭代到最优后，再次进行Q最大化，就可以达到下面的对应关系。

在满足上述贝尔曼最优方程的前提下，对Q函数（含V）的贝尔曼形式进行变形，就可以得到如下形式：
这代表了在当前最优情况下，Q函数的迭代关系，Q-learning就是基于这个公式进行学习的

当然，也可以把Q代入V中，就可以得到$V^{\ast }$的迭代公式：

价值迭代

最优性原理

难以解释，我也不太明白

确认性价值迭代

这个公式就是我们前面推出的$V^{\ast }$迭代公式。其实V不一定要全局最优，只需要是当前最优，就可以不断地迭代下去，令V逐渐增大，变成$V^{\ast }$

迭代多次之后，价值函数就会收敛。这种价值迭代算法也被称为确认性价值迭代（deterministic value iteration）。

价值迭代算法

三步走：

1. 初始化
2. 用公式不断迭代，让V逐渐收敛到最佳
3. 从最后一次迭代中，用以下公式从$V^{\ast }$中提取最佳策略
   

策略迭代和价值迭代的区别

策略迭代，本质上使用的是贝尔曼期望方程：

1. 先对策略进行评估，计算V
2. 用V算Q，最大化Q来改进策略
3. 1，2步循环迭代直到V收敛，此时再改进后的策略就是最佳

价值迭代，本质上使用的是贝尔曼最优方程：

1. 不断迭代V
2. 最后从$V^{\ast }$中提取最佳策略

关键概念

马尔科夫性质（Markov Property）：一个状态的下一个状态形式上只取决于当前的状态，与之前的状态都没有关系。进一步讲，满足马尔科夫性质的全过程，实际上只由最初状态决定。

马尔科夫链（Karkov Chain）：离散状态下的马尔科夫随机过程。

状态转移矩阵P：给定State和Action（可选），进行状态转移的概率矩阵。本质上是一种条件概率。

马尔科夫奖励过程（MRP）：给马尔科夫链加上一个奖励函数，给过程附加奖励属性

马尔科夫决策过程（MDP）：增加一个Action属性，给过程以方向。

蒙特卡洛算法：用模拟的方法去估算价值函数

动态规划算法：基于贝尔曼期望方程，直接用迭代的方法逼近价值函数

Q函数：给定S-A，预计得到的总回报期望

MDP评估（预测）：给定MDP决策过程（S，A，R，P，$\gamma$） 和$\pi$，计算V值与Q值。在PR已知的情况下，可以直接使用动态规划方法（而不是蒙特卡洛）。

MDP控制：给定（S，A，R，P，$\gamma$），找出最佳的策略，使得V值最大。已知PR的情况下，同样可以通过动态规划方法解决。分为策略迭代和价值迭代。

表格型方法

表格型方法指的是策略用表格来表示。

经典的表格型方法有蒙特卡洛，Q-learning，Sarsa。

马尔科夫决策过程

强化学习本质上是一个序列决策过程。这个过程具有马尔科夫性质，所以是一种马尔科夫决策过程（MDP），MDP也就是强化学习的基本框架。

强化学习过程一般用元组给出：（S，A，P，R，$\gamma$）

有模型

在MDP中，使用P和R对环境进行描述。P代表了智能体在一定状态下采取行为后发生的改变，概率代表了这种改变有随机性，而这种改变必然被环境决定。R代表智能体采取行为后从环境得到的奖惩。虽然不是直接描述环境，但是已经把环境描述出来了。

如果P和R已知，那就可以说环境是已知的，在一切都已知的前提下，可以说是全知全能，运筹帷幄，可以算出最佳策略，一步一步按照最佳策略走，即使是碰到了转移概率中的意外情况，也可以在新的意外状态下继续按照备用的最优计划前进。这就是动态规划。

已知PR的前提下，所有可能性都是可以被画成树状结构的。

免模型

然而，生活中更常见的情景是身在局中不知全貌，PR没有那么清楚。人类是在不断地尝试中（尝试Action，探索各种路径），才获得了P和R的信息的。

有模型和免模型的区别

有两种情况无法使用有模型方法：

1. 环境未知
2. 环境太大，即使是用了迭代方法计算量仍然太大。比如雅达利游戏，围棋，控制直升飞机，股票交易等，状态转移过于复杂。

有模型方法不用和环境交互，直接确定最佳策略。免模型方法不使用P和R，而是让智能体和环境交互，采集大量的轨迹数据，改进策略。这也就是我们最常见的学习思路。

P，R的未知性导致了动态规划方法无法使用，只能使用蒙特卡洛衍生的方法。所以不需要每次策略改进就进行大量迭代，只需要走一回合/一步然后对部分Q表格进行增量式更新，然后基于Q表格做策略改进即可。

个人感觉这样走精度略微下降一些，但是效率比每次更新都要迭代无数次的动态规划方法要高出不少

Q表格

免模型的方法通过大量的轨迹去归纳给定s和a情况下的价值Q，将Q函数储存在一张表中，就是Q-Table

Q-Table的行代表一个状态，列代表行为，每一个格子就是一个Q函数值。

如何构建Q表格呢？或者说，如何通过大量的轨迹去归纳Q函数值呢？
以悬崖行走问题举例：

给定一条轨迹，就意味着给定一系列元组，每个元组都是（s，a），对应Q表格中的一个方格。以下图举例，s就是横纵坐标二元组，a就是上下左右。红线告诉你，在这条路径中，s=（1，0），a=右的Q值为-12，s=（1，1），a=右的Q值为-11，s=（1，11），a=下的Q值为-1。这些可以直接加入Q表格。

Q函数的定义是，给定s和a，后续各种路径获得的总收益的平均值，所以以上的一个轨迹的Q值和真实Q肯定是相去甚远，但是在不断增加轨迹的过程中，Q值会不断更新，直到变得合理。

下图给出了给定路径下Q值的计算，可见Q的计算是倒着算的，从路径末尾算到路径出发。
强化的概念就是用下一个状态的价值来更新当前状态的价值（不太理解）

这里重提一下折扣因子的意义。

折扣因子为0的时候，学习是短视的，一般不这么干。但是折扣因子为1，又太过注重未来了，而忽视了眼前唾手可得的利益，所以采取0-1之间的恰当的值。

免模型预测

注意，包括上面讲的Q表格，都没有涉及到$\pi$以及其调整，也就是说现在只是单纯的讨论预测与评估，没有涉及到控制。

蒙特卡洛策略评估

蒙特卡洛方法的核心是大量采样后求均值。

简单说一下思路，该方法每个回合更新一次。走一个回合，就可以从终点倒推算出路径上每个状态（伴随一个a）的临时Q值，然后和以前的Q值进行一个平均就行。平均是靠记录N（s）来实现的，每次访问一个Q格子就给N加一，然后通过累积的Q值求平均即可。这种叫经验均值（empirical mean return）

在下图中，忽略了a这个参数。那么要更新的Q表格实际上就缩成1维的了，因为没有a了，求出来的也就是状态价值函数了。但是我个人认为，完全是可以考虑到a的，每一个Q方格都用一个N和S来累积，也完全可以应用蒙特卡洛方法，一次更新一条路径上的Q方格。

考虑到保存S的累加可能面临溢出的问题，以及一些出于效率的考量，求均值可以用增量均值的方法（上面是经验均值）

蒙特卡洛相比于动态规划来说，不需要自举那肯定是不用说的，因为你没有P和R，想进行自举迭代都不行。蒙特卡洛方法真正的优势在于，一次迭代只需要更新一条路径的Q方格，而不是所有Q方格。而蒙特卡洛的缺陷是只能在有限长度序列中学习（因为要跑回合）

在贝尔曼期望方程中，要对状态和动作进行两层求和，且一次更新所有状态，能耗比较大。
而蒙特卡洛方法中，一个回合覆盖的状态-行为对也就那么一串，更新的代价很小。

然而，我不认为蒙特卡洛效率就高到哪去了，因为人家虽然一次更新消耗大，但是人家一次更新的也多啊。所以效率之争有待商榷，但是不可否认的是，蒙特卡洛更新的粒度比较小。

时序差分

时序差分可以看做是介于蒙特卡洛与动态规划自举之间的方法。

这里重新审视一下自举，为什么可以通过下一步的V估算这一步的V。比如你平时要上课，路上如果顺利，10分钟就到了，但是某一天你堵车了，堵了5分钟，你就可以通过平时的经验推算出来，这次估计要花15分钟了，即使你还没有走下面的路。

蒙特卡洛算法就相当于，每次都是走完了，通过事实改善自己的认识。但是实际上，不需要完全走完就可以更新V了，甚至你只走一步就行了，这就是一步时序差分（one-step TD），即TD（1），具体公式如下：

上面的公式看着很眼熟，你再仔细回忆一下蒙特卡洛的增量形式，就会发现TD target（时序差分目标）就是G的估计值。这个估计值=走了一步以后的实际收获+这一步以后可能的折扣收获总和。（其实这个公式里没有对A的考虑，是比较粗略地估计V，后面的Sarsa给出了估计Q的方法）

这就是我们前面说的，不需要完全走完就可以利用已有的旧估计值去计算新的估计值。虽然刚开始这个$V(s_{t+1})$不靠谱，但是随着迭代次数增加，会逐渐靠谱起来，实际上，随着你对事情了解的加深，你的经验也就越来越稳定了。

既然有TD（1），那也自然有TD（2），TD（n）了。实际上，随着你TD参数的不断增加，对G的近似也就越来越趋近于真实走一趟的G，当n代表终点的时候，TD也就退化成了MC（蒙特卡洛）

这里对比一下这两种方法吧：

1. 时序差分牺牲了一部分准确性，换来了高频率的更新，每走一步都可以更新一次。蒙特卡洛得走完一趟才能更新一次。
2. 时序差分限制了步数，所以可以适应无限步长情况，也可以适应不完整序列的情况。
3. 时序差分从本质上来说，是利用了马尔科夫性质，在马尔科夫环境下有更高的效率。但是如果没有马尔科夫环境效果就会比较差（但是什么环境没有马尔科夫性质呢）。而蒙特卡洛完全基于事实，不受P和A的影响，能够适应一切环境（代价就是效率低一些）

动态规划方法、蒙特卡洛方法以及时序差分方法的自举和采样

动态规划和蒙特卡洛是两个极端，动态规划完全不依赖采样，只依赖P和R（已知的环境信息）进行贝尔曼期望迭代；蒙特卡洛不管环境，完全依赖采样时；序差分介于两者之间，一部分是采样，一部分是自举。

从计算的角度来说，动态规划是逐层计算，蒙特卡洛是计算一条，时序差分是前期计算半条，后期局部逐层计算（没有转移矩阵，其实应该没有按权求和）

最后结合穷举法，给出策略评估的四象限图。动态规划更像BFS，蒙特卡洛是DFS，时序差分介于两者之间，穷举搜索完全穷尽。

免模型控制

在策略迭代中，进行Q函数优化时，需要用P和R计算Q函数，但是免模型情况下，没有P和R，所以把策略迭代推广，兼顾蒙特卡洛和时序差分的方法，即广义策略迭代。

广义策略迭代中，将策略评估部分替换成蒙特卡洛/时序差分，得到Q函数的近似，之后再进行策略改进。不过策略评估中，蒙特卡洛还要稍微改一下，因为每次优化策略后，Action就固定了，为了防止局部最优，使用$ϵ-greedy$搜索，每次采样的时候，会有$ϵ$的概率不按照Q函数执行Action，而是随机执行。这保证了在初期对状态空间的充足探索。随着时间增加，$ϵ$会逐渐减少，最后就完全按照Q函数决定动作了，策略也就逐渐固定了。

理论上可以证明，使用蒙特卡洛方法和$ϵ-greedy$搜索可以保证V单调递增。下图给出伪代码，这里的Q函数是s和a的二元函数，符合我前面的推测。

除蒙特卡洛，也可以把蒙特卡洛替换成时序差分，同时引入$ϵ-greedy$搜索。这种方法具有低方差，在线学习，可以从不完整序列中学习的优点。

书中提到了基于探索性开始的蒙特卡洛方法，有点迷惑。TODO

Sarsa：同策略时序差分控制

Sarsa就是用时序差分方法构建Q表格的一个算法。

前面给出的时序差分公式是更新V的，这里变成了更新Q（TD（1））。把V变Q思路和蒙特卡洛一样，只针对路径上的（s，a）二元组更新Q表格中的一部分。

因为算法每次更新需要用到两Q一R，即知道S（当前状态）A（当前Action）R（下一步奖励）S（下一状态）A（下一Action），这也是算法名字由来。

下图给出基本算法，对于TD（1），每走一步，都把上一步的Q更新一次。

但是，这个基本算法是浪费了一些资源的。比如你走了ABCD4步，走B的时候可以更新A，走C的时候，其实可以把AB都更新一次，而且A可以用TD（2）更新，走D的时候，也完全可以再用TD（3）更新一次A。但是如果你每走一步都要遍历一次已走过的步，就会造成不同s-a对的更新次数不平衡，第一步的s-a对更新次数最多，而最后一步的s-a对只更新一次。

这里就要引入$Sarsa(\lambda )$算法

考虑到我上面提到的资源浪费问题，可以对更新次数进行一个改动，保证一个s-a对只更新一次，又可以综合一定长度的步数。即把TD（1）到TD（n）的值利用资格迹衰减参数$\lambda$综合起来，虽然每个回合只是对一个s-a对进行一次更新，但是这次更新利用了n次TD的结果：

比如ABCDEFGHI步，执行TD（3），走到D开始更新A，更新的时候用BCD分别对应TD（1），TD（2），TD（3）的综合Q来更新，同理，走到E更新B的时候，要用CDE三个TD值综合。

总之，Sarsa和Sarsa($\lambda$)都是走一步就更新一个Q方格，而不用等到走完。

Q-learning：异策略时序差分控制

Sarsa是一种同策略算法，Q-learning是异策略算法。

总的来说，以策略算法分为目标策略和行为策略，目标策略可以理解为军师，完全理智，决定大方向，行为策略虽然按照大方向走，但是还是可能上头，做出随机的决定。可以说，目标策略是保守的，贪心的，行为策略具有不确定性，可以进行风险更大的探索。

从公式来说，Q-learning和Sarsa只有一点不同：

在Sarsa中，不仅需要当前步SA，还需要下一步SA，即实际走出去的Action。而Q-learning中，只需要当前步SA与下一步S就行，为什么呢？因为每次优化策略后，一个s下的Action是固定的，只要知道下一个s，就可以通过Q表格知道下一步的Action。

那问题又来了，既然你不用走就知道下一步的Action，为什么Sarsa又要知道下一步的Action才能对这一步的Q进行优化呢？这是因为$ϵ-greedy$策略使Action不完全由Q决定。加假如没有随机性，Sarsa和Q-learning就是一样的。有了随机性以后，Sarsa就有一种不放心下一步Action的感觉，非得下一步Action出来以后才能更新这一步Q，而Q-learning就很放心，不用下一步Action出来就可以更新Q，即使你实际上做出的行动和我预期不一样。

从效果上来说，Sarsa更胆小，Q-learning更激进。比如悬崖问题，t时刻你在s1，然后采取了down行为，走到了s2，这个时候Q-learning和Sarsa就有分歧了：

1. Q-learning的目标策略认为在S2时刻，你一定会向右走，所以直接把Q值更新，很有可能是一个增大的Q值，因为距离终点更近。虽然实际上因为$ϵ-greedy$可能走到悬崖里，但是已经和悬崖边的S1-down的Q值没有关系了，你走到悬崖边里只会让S2的Q值变小。当你下次走到S1的时候，S1-down的Q值仍然很大，S1仍然也会选择down策略。
2. Sarsa不放心实际策略的执行，所以等S2选择了Action后才会更新S1的Q值。如果是S2-down，即S2的Q值很小，这就会导致S1-down的Q值变小，下一次走到S1的时候，很有可能就不会选择down策略了。
3. 随着时间推进，Sarsa和Q-learning两种方法的优化效果会逐渐趋同，但是前期累积的差异已经无法扳回了

总的来说，Q-learning有一种不见棺材不掉泪的感觉，目标策略只负责大方向，不会过多约束行为策略，非得行为策略一步走到陷阱才会改进上一步的Q值（目标策略），但是Sarsa只要走到陷阱的附近就会改进上一步的Q值，甚至会有一种传递性（这也是图中Sarsa为什么要走最外面而不是中间层的原因），即Q-learning更加大胆，Sarsa比较胆小。

你可能觉得Sarsa不如Q-learning，但是实际上Sarsa是对Q-learning的改进，很多对安全性要求高的任务中，即使是牺牲一些效率也要保证安全，这就要用Sarsa，但是另一些任务，即使是发生失误也无所谓，就要极致的速度，那就用Q-learning。

关键概念

P，R的未知性导致了动态规划方法无法使用，只能使用蒙特卡洛衍生的方法。所以不需要每次策略改进就进行大量迭代，只需要走一回合/一步然后对部分Q表格进行增量式更新，然后基于Q表格做策略改进即可。

Q表格：横轴为动作，纵轴为状态（在python中应该是一个DataFrame，用[]选择一列）

评估：蒙特卡洛+时序差分

控制：Sarsa算法与Q-learning

策略梯度

从现在开始，要脱离传统表格型方法，开始向DQN演化了。此后，强化学习的智能体称作演员（Actor）

强化学习中，环境和奖励函数（规则）不受控制，我们唯一能决定的就是Actor。

策略梯度算法理论

强化学习其实也可以用类似于RNN的网络训练。网络的输入是图片（观测矩阵），输出是动作的softmax（决策）。而网络本身，就是对策略的拟合。

训练的过程中，Actor和Env的交互如图所示。两者互为输入。

将上图抽象，则轨迹可以写成下面的数学形式：一连串的s-a对。

假设给定了策略（此处为$\theta$），则一条轨迹的概率为：
下面这个公式本来应该写成条件概率，但是因为强化学习决策过程具有马尔科夫性质，所以概率条件不是s就是s-a对，不会更长了。
进一步将，P(a|s)是智能体，是我们能控制的，而p（s|s,a）代表环境，不是我们能控制的。

最后说一下奖励函数，r（s，a），给定sa，输出r。
给定一个轨迹，就可以计算出轨迹的奖励总和，不一定是累加，也可能是衰减累加，总之是总和，写作$R(\tau )$

如何评价一个策略好不好，就需要用R函数了。如果对所有可能的轨迹进行概率加权求和，就可以得到对于一个策略的R期望。实际操作中，因为概率不明确，更多的是采用蒙特卡洛采样计算。总之可以得到一个R期望，其仅随$\theta$改变。进一步改写一下形式，就变成了右边的概率论形式：R对于$\theta$模型期望。

那回归强化学习，我们的目标就是通过不断优化策略（神经网络），让R期望（目标函数）越来越大，这是不是很像梯度下降？这里更应该说是梯度上升。

从梯度角度来说，我们要先计算目标函数的梯度。已知一个轨迹的R是固定的（不可微分），但是其概率随着$\theta$改变，所以求导以后是对p求导。

将式子改进，基于4.6和4.7（TODO，4.6是为什么？），可以得到梯度的变式：

这个变式还是没法直接计算，因为p计算不了，所以使用蒙特卡洛采样的方法去近似替代。即，通过大量采样，得到的总样本计算出的频率就可以逼近概率。

当然，此处已经不用再去算频率了，直接加起来取平均就是期望的近似。（下图为取N次蒙特卡洛平均），解释一下这两个循环：

1. 外层循环是对E的近似。通过大量采集轨迹去求得轨迹的期望
2. 内层循环是对一个轨迹的分步求解。本来是$\nabla log{p}_{\theta }({\tau }^n)$，然后因为轨迹的p实际上是所有步骤的累乘，最后被log作用后，累乘变累积加
   

此处两个疑问：

1. 在最右边的R应该是关于s-a的函数，这里看起来像是常数的样子（平均值）。姑且忽略即可，后面会优化，关联到每一步，其实就类似于Q函数。
2. $\nabla log{p}_{\theta }(a_t|s_t)$能求吗？概率怎么求导？首先要直到p是怎么算出来的。给定一个神经网络，输入s，输出a的softmax向量，这个softmax就是概率。在pytorch或者tensorflow框架中，只要是走神经网络顺着算出来的，就可以通过差分算出导数，所以理论上是完全可以计算的（实际求法各有千秋）。
   
3. 为什么忽略初始p以及环境p，这是因为不可控制，在求和求导的过程中导数为0。
   

最后，直观地理解一下：

首先，给定s-a，R是确定的，如果R是正，最后的R梯度就会增大，如果R是负，这一项就是负的了，R梯度就会减小。因为R是确定的，所以如果想要梯度尽量大，那么就应该提高R正的p，降低R负的p，然后基于这个原则，去进行梯度上升调节，令R期望不断增大。

基于上面最后推导出的计算方法，强化学习的流程如下：

1. 进行大量采样，得到N条轨迹。
2. 喂到神经网络中输出
3. 代入公式，通过框架自动计算梯度
   
4. 更新策略
5. 循环1-3。注意，以前的数据应当丢弃，因为那些数据是从原来策略采样得到的。
   

策略梯度实现技巧

添加基线

很多游戏中，奖励不小于0，那么根据前面推导，在优化过程中，所有的概率就都会向着增大的方向走，就会造成竞争，产生意料之外的后果。

那么在优化的过程中，因为最后要归一化，肯定不能是所有概率都增加，提高少的或者不提高的（没采样到），概率就会下降。这很明显对没采样到的就很不公平。所以要平衡采样到的奖励，不能让奖励都是正，即添加基线：

添加基线后，不管原先定义的奖励如何，修正后总会有正有负，这样对于没采样到的样本，就公平一些。

至于b如何设置，可以用R的期望。

分配合适的分数

我们前面提出一个疑问，为什么一个回合里所有s-a对的奖励的R（加权求和R）都是一样的，这很明显不合理，不能因为总体的R是好的，就让每一个s-a对的R都是好的。尤其是采样数量不够庞大的时候，这种统计结果并不具有说服力。

所以将不同s-a的奖励函数分开计算，此时这个计算方法就是前面的G函数，是一个s-a对真正的价值：

实际上，b是依赖于状态的，所以b其实可以通过另一个网络计算得出。综合来看，经过基线+分步修正后的R值，已经变成了（相对）优势函数$A^{\theta }(s_t,a_t)$，那这么来看，其实优势函数（包括b），可以通过一个网络计算出来，这个网络就是评论员（critic）

REINFORCE：蒙特卡洛策略梯度算法实例

强化学习有蒙特卡洛和时序差分两种做法，这里仅仅介绍蒙特卡洛算法：REINFORCE，讲解其细节。

在REINFORCE中，必须走完一个回合才能更新一次。按照前面的公式来说，应该是先求R均值，再整体求导。但是下图伪代码却是一个回合更新T次。这是因为，这个式子的形式是相加的，所以其实对轨迹中的每一个状态分别求导，迭代T次，和你加起来一次性求导，迭代一次，效果是一样的（效率不同）。

同理，我们这里只跑了一次，所以N=1，但是你N次迭代叠加起来，基本相当于采样N条轨迹后直接整体求导（还有点区别，回合内T次更新，其样本是同分布的，但是更新一次后再采样一条轨迹，其实分布已经变了，不过姑且忽略就行）

这里给出一些细节：

计算G的时候，应当是从后往前计算，反正更新次序是无所谓的。而且是，如果每次更新都是针对一个s-a对更新的，那走一个完整的回合可以通过bp更新T次。

而如何进行自动求导bp呢，这需要联系深度学习的知识了。在深度学习中，是给定X和Y的，用$\hat{y}和y$的交叉熵计算理论与实际的偏差，然后用优化器将这个偏差求导，降低。

在我们强化学习这里，没有标签。比如我这一步的输入为s，行为为a（输出），但是我们没有理想的行为，唯一能够评价行为好坏的就只有G函数。所以将交叉熵和G融合一下，先用输出的a概率向量与其对应的one-hot向量（代表实际的行动，一般的算法是取a向量中概率最大为1）求交叉熵，然后给交叉熵乘以G函数，代表其优秀程度。

这样的计算综合了预测与行动的差距以及行动的质量，可以作为损失的度量。

比如下图，输出概率向量=[0.02,0.08,0.9]，one-hot向量=[0,0,1]（假设用epsilon-greedy，也可能采用随机策略，就不一定和概率最大的对应了），求交叉熵后还要乘以G函数。然后丢进优化器进行bp。实际编程中，可以像上面提到的，一个回合内更新T次，也可以先对回合进行累加，最后对一个回合进行整体更新（这样对优化器负担比较小，个人感觉效率更高）。

到这里，其实又和前面联系回来了。上图中那个带G参数的交叉熵，结果算出来再求导后实际上就对应前面REAINFORCE算法的$G\nabla ln\pi (A_t|S_t,\theta )$部分。所以前面的一通理论，证明了这种方法的合理性以及可实现性。

具体到编程中，需要几个主要的函数：

1. predict：根据S，从网络中得到a向量
2. sample：根据a向量与策略（比如epsilon-greedy），获取实际行动的one-hot向量
3. learn：通过带权重交叉熵，进行bp。

关键概念

1. 策略。同前面

2. 轨迹。trajectory，一系列s-a对构成

3. G与R。G是从一个状态开始，未来的总奖励函数。而R是相对于一个回合或者一个实验的，也是总奖励。最开始的策略梯度算法是将一个回合整体求平均的，但是这显然不公平，于是拆分，对每一步求一个G函数。实际上都是用G函数的。

4. 期望奖励。用于评估策略整体的好坏，是一个回合的奖励函数期望。
   

5. REINFORCE：经典的策略梯度+蒙特卡洛算法，一回合更新一次（或者T小次）

近端优化算法（PPO）

深度Q网络（DQN）

传统Q-learning通过表格记录Q函数。而在很多任务中，比如CartPole，状态空间是连续的，此时可以通过函数逼近Q表格。而神经网络本身就可以看做一个复杂的函数，所以神经网络自然成了解决连续空间任务的方法。这种神经网络就叫Q网络。

虽然用Q网络替代了Q表格，但是训练的思路是一样的：采样，根据S-A计算Q函数，用新的Q函数值更新评论员（Q网络），新的网络应当计算出更大的Q值。用新的网络根据Q值继续采样，重新计算Q值，继续更新策略，让Q值越来越大。

总的来说，DQN有如下关键点：

1. 价值函数近似
2. 目标网络分离
3. 经验回放

强化学习的本质

DQN我看了两遍，第一遍是有点迷惑的，书里的描述给我一种似是而非的感觉，第二次看，我终于看透了强化学习中Q表格，Q网络的本质，以及强化学习到底在学什么。我这里强调的东西，请牢记，不然后面可能看着看着就迷惑了：

强化学习的本质，是训练一个能客观评价环境的评论员，评论员给出S-A二元组的得分，我们始终是在训练Q网络（评论员）。训练过程就是通过不断地采样，试错。来获得对客观环境的信息，将其保存在Q网络中，不断优化，直到得到一个完全客观，Q值尽可能大的网络为止。

观察下面的公式，Q网络训练的效果是：让当前的Q趋近于r+后续最佳的Q。只要把Q函数训练好，就可以判断出任意S状态下最佳的action，这意味着，任意状态S下，只要每次step都采取最佳Q对应的action，就可以获取理想中的Q值，也就对应理想中的收益了。

至于策略，是根据已知信息决定的。比如epsilon-greedy，就是以一定概率采取最大Q值对应的行为，策略本身从始至终不变，只是用于决策的信息（Q表格）变了罢了。总之策略的原则是人制定的，是固定的。

所以说，无论是V迭代还是Q迭代，最终目标就是让V和Q值趋近于真实情况。所谓的寻找更好的策略，我认为有所偏颇，实际上是更好的评论员（环境建模）罢了，之所以叫新策略，是因为策略结果本身就是依赖于评论员的，评论员变好后，针对其评论结果而采取的行为会变好，看起来是行为变了，然而本质还是评论员变了。

网络近似

状态价值函数

这里的状态价值函数同前面表格型方法中的V函数。曾经的V函数，其参数为离散的S，现在的V函数也是以S为参数，只不过S是连续的了。

衡量V函数同样有蒙特卡洛和时序差分方法。

训练V函数的方法就是，先采样，然后对于一个状态都用实际的G函数作为标签，用输出的V函数作为预测，这样就变成了回归问题，可以进行bp调节了。最终的调节方向就是，让V越来越趋近于真实的G。

当V逐渐迭代，趋近于真实的G，收敛后，所有状态的价值就一目了然了。这个时候，我们就朝着V值更大的状态走就行了。

另一种是时序差分。

把这个公式变一下，用r作为实际值，用两个V的差作为预测，构成回归任务，进行bp调节。

蒙特卡洛方法和时序差分的本质区别在于方差。

直观来说，一局游戏有无数步，每一步都会积累一个偏差，这些偏差叠加起来，一次性进行回归，会造成很大的方差。而每一步进行一次回归，单步方差比较小，即使是所有步叠加，也不会很大。

更直观一点，蒙特卡洛的公式里没有以前的信息作为参照，只看现在，就像是，只要发生了，我就认定这就是对的。而时序差分公式里参考以前的信息，虽然发生了意料之外的事情，但是和以前有点不太一样，时序差分会带有怀疑的态度，直到反复发生以后才会认定。

从数学上来说，蒙特卡洛方法相当于在X里乘了k，求方差后就会出来一个$k^2$，而时序差分就像是先求方差，再乘k，这样蒙特卡洛的方差就是时序差分的k倍。所以时序差分是更常用的，因为更稳定。

动作价值函数

其实我个人认为，用Q函数更加科学。因为单单用状态去衡量回报有点粗略，虽然说形势大于人，但是人的决策还是会对回报产生巨大影响的，所以价值函数理应是s和a的二元函数。当然，采用了Q函数以后，还涉及到一个动作选择问题，不过是后话了。

Q函数的写法有两种，右边这种其实就是我们前面的表格型方法。一个状态对应A种action，每种action都有一个Q被同时输出。但是这种不适用于连续情况，因为不知道action有几种。所以实际上DQN用左边的方式。输入s-a，输出Q。

具体训练过程也很简单，如果你看懂了我在这章开头说的本质，就明白了我们实际上是要不断用时序差分/蒙特卡洛方法，让Q函数对现实环境的评价更加客观，当Q趋近于真实值，我们的策略针对Q采取的行动自然就是最佳的了。所谓的更好的策略，本质上还是更好的Q网络，Q网络是评论员，所以说策略自始至终没变，只是行为变了罢了。

至于给定Q网络，如何指定策略选择action，如果action是有限的，那么用argmax就可以得到策略，但是如果action是连续的，会有其他方法。

必备技巧

目标网络

Q网络是神经网络，就需要bp迭代，进一步说，就是要构建回归训练。如下图，预测值是左边，实际值是右边，理论上这两个是相等的，但是因为我们的Q网络刚开始对环境的建模不好，所以总是不等，所以就需要进行bp迭代。

如果用Q表格这么搞，没啥问题，但是做神经网络，能不能收敛是一个重要的问题。右边相当于label，一般来说对于一个输入，label都是不变的，但是Q网络一变，y和$\hat{y}$都变了，即预测和标签都变了，网络很不稳定，这就很不好收敛。好比与一个猫在追老鼠，结果老鼠一直跑，自然就捉不到。

所以人们自然能想到把右边固定了，这就是目标网络。加了目标网络后，先把目标网络固定，然后采样迭代N次Q网络，再把参数复制到目标网络后，继续前面的迭代。用猫和老鼠的例子来说，就是先让老鼠停下一段时间，让猫去追一会，快追到以后再让老鼠跑开，然后老鼠停下让猫继续追。这样的次数多了以后，猫和老鼠的距离就会稳定地拉近。

探索

我们前面就介绍过epsilon-greedy策略，这是一种探索策略，为什么要探索呢？

这就像是我们人一样，如果一直待在舒适区不出来，你可能就失去了更好的机会。对于Q网络，如果走一个方向可以获得收益，但是别的方向还没走过，那么这个方向的收益就会一直大于另外的方向。又因为我们是以收益来决定方向的，所以每次都会朝着一个方向走，又会增大这个方向的收益。

为了解决探索-利用窘境（exploration-exploitation dilemma），可以采用epsilon-greedy或者玻尔兹曼探索。

epsilon-greedy已经介绍过

这里介绍玻尔兹曼探索。其实玻尔兹曼探索就类似模拟退火：

1. T大，则Q的影响很小，所以更容易产生随机策略
2. T小，则Q的影响变大，当T=1的时候，就由Q本身决定概率
3. 当T趋近于0，那Q就起到决定性作用，Q大的一定会被执行

经验回放

首先定义什么是经验。

每次更新，都需要SARS这4个变量，所以把一组SARS作为一个经验。基于经验+经验缓冲区，可以形成经验回放机制。这个机制有什么用？

1. 一般的强化学习都是采样一次，更新一次，一次只用一个经验，效率比较低。而神经网络训练通常是以batch为单位的，采用了经验回放后，就可以一次用一个batch去迭代。
2. 此前，一个经验只能用一次就被丢弃，利用率太低，经验回放可以让一个经验被合理地重复利用。

具体的经验回放实现例子如下（假设缓冲区容量为5w）：

1. 使用当前Q网络，进行1次交互，存入缓冲区。如果缓冲区已满，则进行替换
2. 从缓冲区中提取batch_size个经验，送入Q网络进行bp迭代
3. 如果迭代了C次，则更新目标策略（目标Q网络）

从上面的过程可以看出，现在每次交互都可以用batch_size个样本去更新。这些经验来自于不同策略，有现在的策略，也有以前的策略，这其实已经是异策略了。就像我们平时从自己的行为中学习的时候，不仅仅是用当前的经验学习，还要参考以前的经验。这样做好处很多：

1. 使用batch加快训练
2. 重复利用以前的经验
3. 丰富的异策略可以提高模型鲁棒性

DQN整体思路

关键概念

1. DQN：用神经网络近似价值函数的强化学习方式，采用BP方式训练。DQN还结合了目标策略，经验回放的技巧。
2. 状态价值函数（V），动作价值函数（Q）
3. 目标网络：用于产生标签的网络，通常固定，定期置换
4. 探索：epsilon-greedy和玻尔兹曼探索
5. 经验回放：将不同策略的经验放在一个缓冲区中，每次迭代取一个batch，是一种异策略方法

DQN衍生技巧（Tricks of DQN）

Double DQN（DDQN）

Q网络计算出的Q值，在训练过程中整体会随着对各种情况的探索而不断增大。但是就像人学习一样，刚开始啥也不知道，中间是知道一些，就开始膨胀，最后彻底明白了，才能放平心态。机器的训练是无法做到彻底明白的（无法穷举），那么这种策略必然会导致高估Q值（有一些隐藏的情况没有被探索到），估计的Q值高于实际获取的价值。

DDQN算法可以拉进估计值与真实值的距离。

从数学的角度来说，目标Q值的计算是会有误差的。假设目标有4个action，当前状态肯定要选择一个能使目标Q最大的action。问题就出在，假设第一个动作的实际Q值低于第二个动作，但是估计出来的Q值更大，那么当前状态就会选择第一个动作作为目标Q值的参数。

总之就是，无论哪一个动作被高估，我们总是会选择哪个高估的动作，所以就总是高估。从本质上来说，你使用max策略，要么就是真的选到了max，要么就是选到高估的，不可能选到低估的action。

如何解决这个问题呢？既然误差无法避免，那就修正max策略

在DQN的基础上修改。原来，选择action的网络是目标网络，但是我们DDQN使用可变的Q网络去选择action

那么结果无非是几种：

1. 都没有高估
2. 可变网络高估了，目标网络没高估。虽然选错了动作，但是目标网络给这个不好的动作打了低分，目标Q值也不会高估。
3. 可变网络没高估，目标网络高估（假设b动作高估，a动作正常）。动作没选错（假设选了a），虽然目标网络b高估了，但是我不去算b，而是算a，仍然是正常的目标Q值。
4. 可变网络和目标网络都高估。回归了DQN的错误情形。

由此可见，以前是55开的高估可能，现在高估可能只有26开了，提高了对高估的容错率。

实现起来也特别简单，改一下公式就可以，所以如果只能选一个技巧的话，就用DDQN就很方便。

深度竞争Q网络（dueling DQN）

基础Q网络，是输入S-A，得到标量Q，或者输入S，得到向量，对应所有action的Q向量。

深度竞争Q网络，不直接输出Q值，而是分成两路计算，一路计算一个V值，一路计算A向量。V值可以理解为一个状态的平均收益，类似于状态价值函数。而A值可以理解为在一个状态下，采取不同action对收益带来的波动。这个波动有正有负。

举个例子，下图给出4个状态下，A与V是如何生成Q的，符合前面的描述。

进一步看，加入把第二个状态的V从0变成1，那么第二个状态的Q向量整体就会加1。可见，V对Q的影响是整体性的。

这有什么用呢？首先，本身就是合理的。其次，如果每次迭代，主要是更新V值，那么就不需要采样S状态下所有的action就可以更新所有action的Q值，这样的效率更高，这也是这个方法的关键效果：加速。

其实这里有个隐含的问题。逻辑上合理，并不代表网络会朝着你期望的角度去发展。毕竟，如果最后V值恒等于0，那A不就和Q一样了吗？这种情况完全有可能出现。

为了防止这种情况出现，我们要给A加一个限制，即总和为0，直接给他归一化即可，均值归0，方差不变。下图展示了归一化过程。

优先级经验回放（PER，prioritized experience replay）

我们训练的方式是回归，如果预测和目标差距不大，那么相当于已经回归得不错了，没必要继续算下去了。

从经验的角度来看，就是这一笔经验已经没用了，无法对训练产生效果了，所以在从经验回放池中选择的时候，这种无用经验就可以放弃了，或者给一个较低的概率。反过来，如果差距大，那么这笔经验就有较大的训练价值，就应该给更大的概率，即优先权。

具体怎么实现呢？

首先，肯定是要修改那个sample函数。但是具体怎么做书里没说，我给一种思路：

1. 假设最终要选batch_size个经验
2. 我先随机选出k×batch_size个经验
3. 然后把这些经验的Q值都算出来，并计算出与目标的差距
4. 选差距最大的batch_size个，或者归一化后按照概率采样batch_size个

多步方法

蒙特卡洛好不好呢？其实蒙特卡洛算出来的Q值，是最真实的Q值，他的缺陷在于只认事实。在样本量不少的情况下，无异于以偏概全。但是如果样本量特别大呢？大量的事实累计起来，那就是非常客观的了。反过来，在数据量特别大的情况下，时序差分反而差点意思。

总的来说，就是数据量小，建议用时序差分来降低方差，数据量大，更建议用蒙特卡洛，在大数据的加持下，方差会落在合理范围内。那中间的呢？

可以调整。多步时序差分介于TD（1）与MTCS之间，N甚至可以作为超参数去调，适应数据量的多寡。

这个时候经验就要改一下了，存放的状态和累积奖励都应该变一下。同时，应该维持一个轨迹记忆，便于计算N步累积奖励。

噪声网络（noisy net）

1. epsilon是给动作空间加噪声，就好像是，意外的不可抗力逼着你不得不采取某些策略（随机策略），即使你想要做预期的决策，最后也可能因为意外也无法落实。
2. 噪声网络是在参数空间加噪声，扰动你对S-A的评估，你虽然是心想事成，但是这个决策可能压根就是误判。

epsilon和噪声网络还有一个区别：

1. epsilon在每个step都会扰动一次。epsilon让智能体在任何时刻都是不稳定的。
2. 噪声网络只会在episode开始施加，在episode内部是不变的。只有到了新的episode才会重新生成扰动。噪声网络就是，一个人在一段时间（一个回合）内，状态是稳定的，但是不同的时间段内，状态有所波动。

从效果上来说：

1. epsilon的扰动比较混乱
2. 噪声网络更加系统，对于同一个状态，就好像是这个回合向左试试，另一个回合向右试试。

这两种扰动孰优孰劣，难以比较，因为噪声网络刻画的是智能体的不稳定性，epsilon是环境的不稳定性。如果没有环境的不确定性，那么这种搜索就叫依赖状态的搜索（state-dependent exploration），即心想事成。

具体怎么做？

1. OpenAI的方法比较简单。直接给所有参数都加一个规定均值方差的高斯噪声
2. DeepMind方法更复杂。高斯噪声的参数还可以根据训练得到

但是无论如何，回合内噪声都是不变的。

分布式Q函数（distributed Q-function）

环境是有随机性的，奖励其实也应该具有随机性。可以说，即使是同一个S-A，在现实中的Q都是不一样的。涉及到了概率，原来的Q值可以理解为一个期望，那么实际上Q（S，A）应当是一个分布。

下图给出了两种概率分布，其均值相同，但是实际确实完全不同的分布，Q的意义也完全不同。如果简单的用标量衡量，就无法对环境的随机性建模。

如何给环境建模呢？或者说如何把Q值变成一个分布呢？理想情况应该是一个概率密度分布，但是实际上我们只能给出离散化的近似概率密度分布。

1. 对于每一个S-A，可以把Q值的可能区间切分成k份。即，将Q网络的输出从n维向量变成n×k维向量。
2. 比如就是-10到10，切成5份，以区域中心的值代表这个区域的均值，高度对应概率

修改了网络结构后怎么用呢？

1. 可以用在action选择上，根据分布的方差来判断这个action的风险大不大。
2. 至于Q值计算，其实还是用均值的，当然，也可以用分布去采样一个S-A对应的Q值。

从具体实现来讲，不是特别好实现，比如你怎么确定那个区间？我的想法是，先用普通方法训练一次，把训练过程中的Q均值画成曲线，然后估计一下，再用分布式训练。

彩虹（RainBow is All You Need）

我们前面说的各种技巧，包括后面会出现的异步优势演员-评论员算法（asynchronous advantage actor-critic，A3C），实际上互不冲突，可以分布在不同的阶段。

那么全部用上，就是RainBow了，效果特别好，比基础DQN能翻好几倍性能。

上图只是RainBow和其他方法的对比，那RainBow中，各个方法的重要性有没有个主次？

去掉一种方法，去比较性能，得到下图，有一些特殊的结论：

1. 分布计算，多步计算，优先级经验回放，噪声都挺重要的，深度竞争也有点用。
2. 去掉了DDQN反而不影响精度，这说明有一种其他机制替代了DDQN的作用。

DDQN核心作用是防止高估，而分布式计算通过限制区间，已经人为杜绝了高估和低估的可能性。