• RMQ类问题利器：线段树

    文章目录

    线段树

    一、问题引入

    对于一般的区间问题，比如RMQ(区间的最值)、区间的和，如果使用朴素算法，即通过遍历的方式求取，则时间复杂度为O(N)，在常数次查询的情况下可以接受，但是当区间长度为N，查询次数为M时，查询复杂度就变成O(M*N)。在M和N较大时，这样的复杂度无法满足要求。

    对于这类问题，有一个神奇的数据结构，能够在O(M*logN)的时间内解决问题——线段树。

    二、线段树的构建

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    线段树的每个节点可以根据需要存储一个区间的最大/最小值/和等内容。它的构建方式与堆的构建方式类似，即线段树是基于数组实现的树。

    以构建区间和的线段树为例：对于给定数组nums，设大小为n，则区间范围为[0, n-1]。

    • 规定线段树的根节点，即SegmentTree[0]存储[0, n)的和。

    • 根据堆的构建方法，父节点的左孩子为2*parent+1，右孩子为2*parent+2。

    • 假设父节点存储[start, end]的和，mid=start+(end - start>>1)，则左孩子存储[start, mid]的和，右孩子存储[mid+1, end]的和

      注：mid=start+(end - start>>1)是一种避免整形溢出的写法，等价于mid=(start+end)/2。

    • 由于父节点的值依赖于两个子节点，因此线段树的构建是一种后序遍历。

    // nums是给定大小为n的数组，par表示当前正在构建的线段树节点下标，start和end是当前需要计算的区间。
void build(vector& nums, int par, int start, int end)
{
    if (start == end) // 区间大小为1，即单个点，因此当前节点的区间和就是单点的值
    {
        _segmentTree[par] = nums[start];
        return;
    }
    // 如果区间大于1，则先求当前节点的左孩子和右孩子
    int mid = start + (end - start >> 1);
    int lchild = 2 * par + 1;
    int rchild = 2 * par + 2;
    build(nums, lchild, start, mid);   // 递归求左节点的区间和
    build(nums, rchild, mid + 1, end); // 递归求右孩子的区间和
    // 当前节点的值就是左孩子的值+右孩子的值
    _segmentTree[par] = _segmentTree[lchild] + _segmentTree[rchild];
}

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    注：在极端情况下，最后一层有n个结点，此时线段树是一棵完全二叉树，树的高度h=log2N向上取整+1≤log2N+2。

    因此，树的节点数量为2h-1≤2logN+2-1=4N-1。

    所以，线段树数组的大小一般为4*n。

    此外，如果想要避免因为n过大而导致MLE，则可以选择map/unordered_map来存储线段树，不过这会增加时间成本。一般来说直接开辟4*n的线段树数组是最方便书写的。

    三、线段树的单点修改与查询

    1、修改

    单点修改要求：修改原数组下标index处的值。此时我们需要对线段树进行更新：

    • 依然是从根节点开始进行修改。
    • 根据修改的下标index，判断应当修改当前节点的左子树还是右子树。
    • 在递归修改左右孩子节点以后，再根据左右孩子的值重新对父节点进行赋值(pushUp())。
    void update(int index, int val, int par, int start, int end)
{
    if (start == end) // 递归结束条件依然是当前区间为单点
    {
        segtree[par] = val;
        return;
    }
    int mid = start + (end - start >> 1);
    // 递归修改左孩子或右孩子
    if (index <= mid)
        update(index, val, 2 * par + 1, start, mid);
    else
        update(index, val, 2 * par + 2, mid + 1, end);
    // 修改完成后重新对父节点赋值
    pushUp(par);
}

// pushUp负责利用左右孩子的值更新父节点
void pushUp(int par)
{
    segtree[par] = segtree[2 * par + 1] + segtree[2 * par + 2];
}

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    2、查询

    由于每个节点可以存储最值和区间和，因此求最值与求和的过程几乎相同，这里以求和为例：

    • 假设当前节点的区间为[start, end]，中点为mid。
    • 对于给定区间[left, right]，它有三种分布情况：
      1. right<=mid，即给定区间全部在左节点中，因此只需要递归左子树计算区间和即可。
      2. left>mid，即给定区间全部在右节点中，因此只需要递归右子树计算区间和即可。
      3. 给定区间有一部分在左子树，一部分在右子树，因此需要分成两部分，一部分是[left, mid]，这部分到左子树中递归求取。另一部分是[mid+1,right]，这部分到右子树中递归求取。
    // [left, right]是目标求和区间，par是当前节点编号，当前节点存储区间[start, end]的和
int query(int left, int right, int par, int start, int end)
{
    // 目标求和区间与当前节点的区间吻合，直接返回当前节点的值即可
    if (left == start && right == end)
        return segtree[par];
    int mid = start + (end - start >> 1);
    if (right <= mid) // 目标求和区间全部在左子树
        return query(left, right, 2 * par + 1, start, mid);
    else if (left > mid) // 目标求和区间全部在右子树
        return query(left, right, 2 * par + 2, mid + 1, end);
    else  // 目标求和区间分布在左右子树上
        return query(left, mid, 2 * par + 1, start, mid) +
               query(mid + 1, right, 2 * par + 2, mid + 1, end);
}

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    四、线段树的区间修改与查询

    1、修改

    区间修改要求：修改原数组[left, right]处的值，将它们全部加/减value，或者全部改为value。此时我们需要对线段树进行更新。

    我们可以选择将[left, right]看成一个个点，然后进行单点修改，但是一个点的修改消耗为log2N，修改整个区间就是C*log2N了，M次修改就是M*C*log2N，这比暴力法的M*C还要差。

    我们使用懒标记法，引入一个lazy变量：

    • 依然从根节点开始修改。

    • 如果节点对应的区间[start, end]完全包含在[left, right]中时，即left≤start≤end≤right，此时将这个节点的值进行修改，并按要求修改lazy，比如：对给定区间整体加4，则lazy加4，整体减3，则lazy减3。

      修改完lazy数组后，我们不再需要修改它的子节点，因此lazy的意义在于减少向下更新的次数，从而降低时间复杂度**「懒的体现」**。

    • 如果节点对应的区间[start, end]不完全包含在[left, right]中时，则递归修改左右节点，直至对应节点的区间与待修改的区间没有交集**「递归的结束条件」**。子树修改完成后，再利用子节点的值更新父节点(pushUp())。

      注意：由于lazy变量的存在，使用子节点的值更新父节点时，需要加上父节点的lazy值，因为该值是由于"偷懒"而没有添加在子节点上的。

    // 以「将给定区间内的数加x，查询每个节点存储对应区间的和」为例：
void update(int left, int right, int x, int node, int start, int end)
{
    // 区间没有交集，无需修改
    if (end < left || right < start)
        return;
    
    // 当前节点对应的区间被需要修改的区间完全包含
    if (left <= start && right >= end)
    {
        segtree[node].val += x * (end - start + 1);
        segtree[node].lazy += x;
        return;
    }
    
    // 不被[left, right]完全包含，则说明本轮只会更新[start, end]的一部分，因此不能再"偷懒"直接将x加在lazy上了
    // 而是先根据lazy的值修改左右子节点，然后再递归修改左右子树
    int mid = start + ((end - start) >> 1);
    
    // 先利用lazy修改孩子节点
    pushDown(node, mid - start + 1, end - mid);
    
    // 递归修改孩子节点
    update(left, right, 2 * node + 1, start, mid);
    update(left, right, 2 * node + 2, mid + 1, end);
    
    // 利用左右子树的区间最大值确定父节点的区间最大值
    pushUp(par);
}

void pushUp(int par)
{
	segtree[par].val = segtree[2 * par + 1] + segtree[2 * par + 2] + segtree[par].lazy;
}

// par表示父节点，ln表示左孩子的区间长度，rn表示右孩子的区间长度
void pushDown(int par, int ln, int rn)
{
    if (segtree[par].lazy != 0)
    {
        segtree[2 * par + 1].val += segtree[par].lazy * ln; // 修改左孩子的值
        segtree[2 * par + 1].lazy += segtree[par].lazy; // 偷懒，不再往下继续修改，因此左孩子继承父节点的lazy值
        segtree[2 * par + 2].val += segtree[par].lazy * rn;
        segtree[2 * par + 2].lazy += segtree[par].lazy;
        segtree[par].lazy = 0; // 父节点的lazy已经分配到子节点了，因此父节点lazy清零
    }
}

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    2、查询

    查询的过程与修改几乎相同：

    • 依然从根节点开始查询。
    • 如果当前节点有懒标记，此时返回节点的值，无需向下遍历。
    • 当某个节点对应的区间[start, end]完全包含在[left, right]中时，即left≤start≤end≤right，则该节点的值是我们最终结果的子集，直接返回节点值即可。
    • 如果不完全包含，则递归查询左右子树，直至对应节点的区间与待修改的区间没有交集「递归的结束条件」。利用子树的查询结果作为最终的返回结果。
    // 以「将给定区间内的数加x，查询每个节点存储对应区间的和」为例：
bool query(int left, int right, int node, int start, int end)
{
    // 区间没有交集，无需查询
    if (end < left || right < start)
        return false;
    
    // 有懒标记，则无需查询左右孩子，而是直接返回节点值
    // 或者当前节点对应的区间被需要查询的区间完全包含，则直接返回节点值
    if (segtree[node].lazy || left <= start && right >= end)
        return segtree[node].val;
    
    int mid = start + ((end - start) >> 1);
    // 不完全包含，则先根据lazy修改子节点，再递归查询左右子树的和
    pushDown(node, mid - start + 1, end - mid);  
    
    return query(left, right, 2 * node + 1, start, mid) +
           query(left, right, 2 * node + 2, mid + 1, end);
}

// par表示父节点，ln表示左孩子的区间长度，rn表示右孩子的区间长度
void pushDown(int par, int ln, int rn)
{
    if (segtree[par].lazy != 0)
    {
        segtree[2 * par + 1].val += segtree[par].lazy * ln; // 修改左孩子的值
        segtree[2 * par + 1].lazy += segtree[par].lazy; // 偷懒，不再往下继续修改，因此左孩子继承父节点的lazy值
        segtree[2 * par + 2].val += segtree[par].lazy * rn;
        segtree[2 * par + 2].lazy += segtree[par].lazy;
        segtree[par].lazy = 0; // 父节点的lazy已经分配到子节点了，因此父节点lazy清零
    }
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    五、离散化线段树

    对于在线查询，是指：事先不知道每次查询的区间。那么这种情况下线段树必须能够承载给定数据范围内的所有数据。

    但是，在离线查询的情况下，我们预先知道每次查询的区间。因此，可以使用离散化使这些区间更加紧凑，从而降低线段树的空间成本。比如：

    image.png

    而离散化的算法非常简单：将区间的左右端点进行排序，用排序后的"排名"，即数组下标代替原数字。比如，上图中端点4在排序后的排名是2，因此被离散化为2。

    通过离散化，原本分散的区间变得非常紧凑。由于降低了n，因此4*n大小的线段树数组可以更加小巧！

    六、算法练习

    LeetCode 307 单点修改问题

    LeetCode 732 区间修改问题

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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/Wyf_Fj/article/details/126860195