常用数学点回顾

【 1. 期望/均值 】

设离散型随机变量 X 的概率分布为
$$P(X=x_i)=p_i，i=1,2,...,$$
如果级数 ${\sum }_{i=1}^{\infty }{x}_i{p}_i$ 绝对收敛，则定义 X 的 数学期望（又称均值）为
$$E(X)=\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i{p}_i$$

• 样本均值
  $$样本均值：\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

【 2. 方差、标准差 】

• 定义
  设 X 是一个随机变量，若 $E[x-E(x){]}^2$ 存在，则称它为 X 的 方差，记为
  $$D(X)=E([x-E(x){]}^2)$$
  方差刻画了随机变量 X 的取值与数学期望的偏离程度，可以衡量随机变量取值的稳定性。
• 离散型随机变量 的方差
  若 X 为离散型随机变量，且其概率分布为：$P(X=x_i)=p_i，i=1,2,...,$ 则方差为
  $$D(X)=\sum _{i=1}^{\infty }[x_i-E(X){]}^2{p}_i$$
• 连续型随机变量 的方差
  若 X 为连续型随机变量，且其概率密度为 f(x)，则方差为
  $$D(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }[x-E(X){]}^{2}f(x)dx$$
• 样本方差
  $$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2=\frac{1}{n-1}[(\sum _{i=1}^n{X}_i^2)-n{\overline{X}}^2]$$
• 样本标准差
  $$S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2}$$

【 3. 协方差 】

• 定义
  $$cov(X,Y)=E([X-E(X)][Y-E(Y)])$$
  当 X、Y 相互独立时，cov(X,Y)=0。

【 4. 均方值、有效值 】

• 定义
  随机变量 x(t) 的平方的均值称为 均方值，记为 $E[x^2(t)]$ ，在工程上表示信号的 平均功率。
  $$均方值：E[x^2(t)]=\frac{1}{T}{\int }_0^T{x}^2(t)dt$$
• 能量等式
  $$E[x^2(n)]=m_x^2+{\sigma }_x^2，即：平均功率=直流功率+交流功率$$
  $m_x代表均值，{\sigma }_x^2代表方差$
• 有效值
  均方值的平方根称 有效值。
  $$有效值：Urms=\sqrt{E[x^2(t)]}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{x}^2(t)dt}$$

【 5. 分布函数 】

• 连续型随机变量 的分布函数
  设 X 是一个随机变量，称
  $$F(x)=P(X\le x)，(-\infty \le x+\infty )$$
  为 X 的分布函数，记作 X~F(x) 或 $F_X(x)$ 。
• 离散型随机变量 的分布函数
  设 X 是一个离散型变量，其概率分布为

则 X 的分布函数为
$$F(x)=P(X\le x)=\sum _{x_i\le x}P(X=x_i)=\sum _{x_i\le x}{p}_i$$

【 6. 概率密度函数 】

如果对随机变量 X 的分布函数 F(x) ，存在非负可积函数 f(x)，使得对于任意实数 x，有
$$F(x)=P(X\le x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t{)}^{2}dt$$
则称 X 为连续型随机变量，f(x) 为 X 的 概率密度函数，简称为 概率密度 或 密度函数。

【 7. 内积和外积 】

内积（点乘／数量积）

• 运算结果是标量。
• $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1,...)，\vec{b}=(x_2,y_2,z_2,...)$
  $$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|cos\theta =x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2+...$$
• 使用矩阵乘法并把（列）向量 A 和 B 当作n×1 矩阵，点积还可以写为：$A\cdot B=A^T\times B$。

外积（叉乘 / 叉积 / 向量积）

• 运算结果是向量，且该结果的方向与这两个向量组成的坐标平面垂直。
• 右手定则：$a^{\to }\times b^{\to }$ 则用右手拇指指向叉乘左边的方向即a的方向，食指指向叉乘右边的方向即b的方向，将拇指和食指视作在同一平面内，再伸出中指，中指所指的方向为运算结果的方向。
• $$\vec{a}\times \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|sin\theta$$