【题解】同济线代习题一.7

题目

设 $n$ 阶行列式 $D=det(a_{ij})$，把 $D$ 上下翻转、或逆时针旋转 $90^{\circ }$、或依副对角线翻转，依次得
D 1 = ∣ a n 1 ⋯ a n n ⋮ ⋮ a 11 ⋯ a 1 n ∣ , D 2 = ∣ a 1 n ⋯ a n n ⋮ ⋮ a 11 ⋯ a n 1 ∣ , D 3 = ∣ a n n ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a 11 ∣ D_1 =

, \hspace{1em} D_2 = , \hspace{1em} D_3 = D1​= ​an1​⋮a11​​⋯⋯​ann​⋮a1n​​ ​,D2​= ​a1n​⋮a11​​⋯⋯​ann​⋮an1​​ ​,D3​= ​ann​⋮an1​​⋯⋯​a1n​⋮a11​​ ​
证明：$D_1=D_2=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}D$，$D_3=D$。

解答

首先证明 $D_1=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}D$。

将 $D$ 上下翻转，即对换行列式 $D$ 中的第 $i+1$ 行和第 $n-i$ 行，其中 $0\le i\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$。当 $n$ 为偶数，即 $n=2m(m\in N)$ 时，对换了 $m=\frac{n}{2}$ 次；当 $n$ 为奇数，即 $n=2m+1(m\in N)$ 时，对换了 $m=\frac{n-1}{2}$ 次。

因为对换行列式的两行行列式变号，所以：

• 当 $n$ 为偶数时，$D_1=(-1{)}^{\frac{n}{2}}D$；因为此时 $n-1$ 为奇数，所以 $\frac{n}{2}\times (n-1)$ 的奇偶性与 $\frac{n}{2}$ 相同，于是有 $D_1=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}D$。
• 当 $n$ 为奇数时，$D_1=(-1{)}^{\frac{n-1}{2}}D$；因为此时 $n$ 为奇数，所以 $\frac{n-1}{2}\times n$ 的奇偶性与 $\frac{n-1}{2}$ 相同，于是有 $D_2=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}D$。

综上所述，$D=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}D$ 得证。

下面证明 $D_2=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}D$。

对于 $D$ 中的任意 $(i_1,j_1)$ 元，在将 $D$ 逆时针旋转 $90^{\circ }$ 后，成为 $D_2$ 中的 $(n-j_1+1,i_1)$ 元。

对于 $D$ 中的任意 $(i_2,j_2)$ 元，在将 $D$ 转置后，成为 $D^T$ 中的 $(j_2,i_2)$ 元；在将 $D^T$ 上下翻转得到行列式 $D_2^{\prime }$ 后，该元成为 $D_2^{\prime }$ 中的 $(n-j_2+1,i_2)$ 元。显然，$D_2^{\prime }$ 等于 $D_2$，因此将行列式 $D$ 逆时针旋转 $90^{\circ }$ 等价于将 $D$ 先转置再上下反转。

因为行列式与它转置行列式相等，且已证明将 $D$ 上下翻转后的行列式 $D_1=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}D$，所以 $D_2=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}D$ 得证。

下面证明 $D_3=D$。

对于 $D$ 中的任意 $(i_1,j_1)$ 元，在将 $D$ 依副对角线翻转后，成为 $D_3$ 中的 $(n-j_1+1,n-i_1+1)$ 元。

对于 $D$ 中的任意 $(i_2,j_2)$ 元，在先将 $D$ 逆时针旋转 $90^{\circ }$，再将 $D$ 转置（依主对角线翻转），然后再将 $D$ 逆时针旋转 $90^{\circ }$ 旋转 3 次得到行列式 $D_3^{\prime }$ 后，该元成为 $D_3^{\prime }$ 中的 $(n-j_1+1,n-i_1+1)$ 元。显然，$D_3^{\prime }$ 等于 $D_3$，因此将行列式 $D$ 依副对角线翻转等价于先逆时针旋转 $90^{\circ }$，然后转置，然后再逆时针旋转 $90^{\circ }$ 旋转 3 次。

因为行列式与转置行列式相等，且已证明将 $D$ 逆时针旋转 $90^{\circ }$ 的行列式 $D_2=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}D$，于是，$D_3=(-1{)}^{2n(n-1)}D=D$，得证。