计算下方行列式（
D
n
D_n
Dn 为
n
n
n 阶行列式）：
D
n
=
∣
x
a
⋯
a
a
x
⋯
a
⋮
⋮
⋮
a
a
⋯
x
∣
D_n = |xa⋯aax⋯a⋮⋮⋮aa⋯x|
Dn=
xa⋮aax⋮a⋯⋯⋯aa⋮x
不妨设
K
n
(
x
)
=
D
n
=
∣
x
a
⋯
a
a
x
⋯
a
⋮
⋮
⋮
a
a
⋯
x
∣
K_n(x) = D_n = \begin{vmatrix} x & a & \cdots & a \\ a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & \cdots & x \\ \end{vmatrix}
Kn(x)=Dn=
xa⋮aax⋮a⋯⋯⋯aa⋮x
表示主对角线上的值为
x
x
x，其他位置上的值为
a
a
a 的
n
n
n 阶行列式，当主对角线的值为
x
x
x 时等价于
D
n
D_n
Dn。于是有
K
n
(
x
)
=
r
2
−
a
x
r
1
⋯
r
n
−
a
x
r
1
∣
x
a
⋯
a
0
x
−
a
2
x
⋯
a
−
a
2
x
⋮
⋮
⋮
0
a
−
a
2
x
⋯
x
−
a
2
x
∣
=
r
2
×
x
⋯
r
n
×
x
1
x
n
−
1
∣
x
a
⋯
a
0
(
x
+
a
)
(
x
−
a
)
⋯
a
(
x
−
a
)
⋮
⋮
⋮
0
a
(
x
−
a
)
⋯
(
x
+
a
)
(
x
−
a
)
∣
(1)
K_n(x) \xlongequal{\begin{align*} & r_2 - \frac{a}{x} r_1 \\ & \cdots \\ & r_n - \frac{a}{x} r_1 \end{align*}} \begin{vmatrix} x & a & \cdots & a \\ 0 & x-\frac{a^2}{x} & \cdots & a-\frac{a^2}{x} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a-\frac{a^2}{x} & \cdots & x-\frac{a^2}{x} \\ \end{vmatrix} \xlongequal{\begin{align*} & r_2 \times x \\ & \cdots \\ & r_n \times x \end{align*}} \frac{1}{x^{n-1}} \begin{vmatrix} x & a & \cdots & a \\ 0 & (x+a)(x-a) & \cdots & a(x-a) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a(x-a) & \cdots & (x+a)(x-a) \\ \end{vmatrix} \tag{1}
Kn(x)r2−xar1⋯rn−xar1
x0⋮0ax−xa2⋮a−xa2⋯⋯⋯aa−xa2⋮x−xa2
r2×x⋯rn×xxn−11
x0⋮0a(x+a)(x−a)⋮a(x−a)⋯⋯⋯aa(x−a)⋮(x+a)(x−a)
(1)
将上式
(
1
)
(1)
(1) 中的行列式写成
(
1
,
1
)
(1,1)
(1,1) 元乘它的代数余子式的形式，得到
K
n
(
x
)
=
1
x
n
−
2
∣
(
x
+
a
)
(
x
−
a
)
⋯
a
(
x
−
a
)
⋮
⋮
a
(
x
−
a
)
⋯
(
x
+
a
)
(
x
−
a
)
∣
=
c
1
÷
(
x
−
a
)
⋯
c
n
−
1
÷
(
x
−
a
)
(
x
−
a
)
n
−
1
x
n
−
2
∣
x
+
a
⋯
a
⋮
⋮
a
⋯
x
+
a
∣
=
(
x
−
a
)
n
−
1
x
n
−
2
K
n
−
1
(
x
+
a
)
(2)
K_n (x) = \frac{1}{x^{n-2}} \begin{vmatrix} (x+a)(x-a) & \cdots & a(x-a) \\ \vdots & & \vdots \\ a(x-a) & \cdots & (x+a)(x-a) \\ \end{vmatrix} \xlongequal{\begin{align*} & c_1 \div (x-a) \\ & \cdots \\ & c_{n-1} \div (x-a) \end{align*}} \frac{(x-a)^{n-1}}{x^{n-2}} \begin{vmatrix} x+a & \cdots & a \\ \vdots & & \vdots \\ a & \cdots & x+a \\ \end{vmatrix} = \frac{(x-a)^{n-1}}{x^{n-2}} K_{n-1}(x+a) \tag{2}
Kn(x)=xn−21
(x+a)(x−a)⋮a(x−a)⋯⋯a(x−a)⋮(x+a)(x−a)
c1÷(x−a)⋯cn−1÷(x−a)xn−2(x−a)n−1
x+a⋮a⋯⋯a⋮x+a
=xn−2(x−a)n−1Kn−1(x+a)(2)
上式即
K
n
(
x
)
K_n(x)
Kn(x) 的递推公式，于是有
K
n
(
x
)
=
(
x
−
a
)
n
−
1
x
n
−
2
K
n
−
1
(
x
+
a
)
=
(
x
−
a
)
n
−
1
x
n
−
2
(
x
)
n
−
2
(
x
+
a
)
n
−
3
K
n
−
2
(
x
+
2
a
)
=
(
x
−
a
)
n
−
1
x
n
−
2
(
x
)
n
−
2
(
x
+
a
)
n
−
3
⋯
[
x
+
(
n
−
3
)
a
]
1
[
x
+
(
n
−
2
)
a
]
0
K
1
(
x
+
(
n
−
1
)
a
)
=
(
x
−
a
)
n
−
1
[
x
+
(
n
−
1
)
a
]
\begin{align*} K_n(x) & = \frac{(x-a)^{n-1}}{x^{n-2}} K_{n-1}(x+a) \\ & = \frac{(x-a)^{n-1}}{x^{n-2}} \frac{(x)^{n-2}}{(x+a)^{n-3}} K_{n-2}(x+2a) \\ & = \frac{(x-a)^{n-1}}{x^{n-2}} \frac{(x)^{n-2}}{(x+a)^{n-3}} \cdots \frac{[x+(n-3)a]^1}{[x+(n-2)a]^0} K_1(x+(n-1)a) \\ & = (x-a)^{n-1} [x+(n-1)a] \end{align*}
Kn(x)=xn−2(x−a)n−1Kn−1(x+a)=xn−2(x−a)n−1(x+a)n−3(x)n−2Kn−2(x+2a)=xn−2(x−a)n−1(x+a)n−3(x)n−2⋯[x+(n−2)a]0[x+(n−3)a]1K1(x+(n−1)a)=(x−a)n−1[x+(n−1)a]