高数(上)

Ch3.微分中值定理及导数应用

(一) 微分中值定理

1.微分中值定理

罗尔定理

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例题1：13年18.   有两问的问题，考虑把第一问的结果用到第二问上

答案：

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拉格朗日中值定理

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例题1：880第二章基础大题21 ：拉朗转化功能

答案：

例题2：16年19.   有两问的问题，考虑把第一问的结果用到第二问上

答案：

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柯西中值定理

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例题1：13年1.

分析：$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
答案：D

例题2：16年12. 用泰勒公式求高阶导数$f^{\prime \prime \prime }(0)$

分析：考虑泰勒公式展开

答案：$\frac{1}{2}$

例题3：20年9.

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4.证明函数不等式

https://blog.csdn.net/Edward1027/article/details/128774498

(二) 导数应用

1.函数的单调性

2.函数的 极值

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例题1：03年7.

分析：极值点是驻点$(f^{\prime }(x_0)=0)$或者不可导点$(f^{\prime }(x_0)不存在)$

从左到右依次为：驻点a，驻点b，不可导点0，驻点c
显然：
①驻点a为极大值点
②驻点b为极小值点
③不可导点0，由极值的第一充分条件，得x=0为极大值点
④驻点c为极小值点

答案：C

例题2：武24 D67   极值第二充分条件：$f^{\prime \prime }(x)>0，极小值$

分析：

答案：B

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3.函数的最大最小值

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例题1：转换目标函数

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4.曲线的凹凸性与拐点

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例题1：15年1.

分析：
①拐点的必要条件(可能为拐点的点)：f’‘(x)=0或 f’‘(x)不存在。有三个点x=a，x=0，x=b
②拐点的充分条件：f’‘(x)在该点处左右的负号改变，显然排除x=a，剩余两个x=0，x=b满足f’'(x)负号改变，是拐点

答案：C

例题2：武忠祥老师每日一题 24.Day66.   拐点是一个二维坐标

分析： 求拐点：二阶导=0

化简可得$y^{\prime \prime }=\frac{10}{9}{x}^{-\frac{4}{3}}(x+1)$
可能为拐点(拐点的必要条件)：f’‘(x)=0或f’‘(x)不存在
f’‘(x)=0：x=-1
f’'(x)不存在：x=0

充分条件2：f’‘(x)在$x_0$两侧变号，可见y’'在-1左右变号，在0左右不变号。则(-1,-6)是拐点

答案：$(-1,-6)$

例题4：武每日一题Day68

分析：

答案：C

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5.曲线的渐近线

6.函数的作图

7.曲线的弧微分 与 曲率、曲率半径

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例题1:23李林六套卷(五)1.

分析：

答案：C

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题型

2.不等式的证明

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例题1：拉格朗日中值定理 证明不等式

例题2：单调性 证明不等式

例题3：

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3.中值定理证明题

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例题1：

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