机器学习：过拟合、欠拟合、正则化之间的纸短情长～

什么是过拟合与欠拟合

机器学习的主要挑战是我们的算法能够在为观测的数据上误差较小，而不是在只在训练集上表现良好，我们这种能力我们称之为泛化。

过拟合

如上右图所示，模型通过训练集很好的拟合了观测数据，训练误差很小，但是由于过度的在训练集上拟合，当其用于推理测试数据时，误差很可能会变大，因为数据是有噪声的并且其本身与真实概率分布也有一定偏差，训练集的概率分布与真实概率分布还是有一定差距的，当模型过度的接近训练集的概率分布，那么他就会随着训练轮数的增加而远离真实的概率分布（这里我们假设测试集复合真实概率分布），以上的情况我们称之为过拟合。

欠拟合

如上左图所示，模型通过训练集拟合的直线不能很好的拟合图中的观测值，训练误差和泛化误差都非常高，我们称之为欠拟合。

如何解决过拟合

L2正则化（权重衰减）

谈到正则化，我们继续观察上面过拟合图像，函数过度的复杂了（太弯弯绕了～），我们首先想到的一定是降低他的复杂度，也就是说我们要减少权重参数的维度与大小（权重衰减），它的维度决定了图像他有个拐点，大小则决定了图像弯曲程度。那么我们就有了一个想法了💡！
我们从权重衰减的方向入手（也就是参数的大小）：
我们让权重参数的二范数小于某个值来约束它。在优化损失函数（以MSE为例）的时候可得如下方程组：
{ min ⁡ 1 n ∑ i = 1 n ( w i x i − y i ) 2 ∥ w ∥ 2 2 < = σ

⎩ ⎨ ⎧​minn1​∑i=1n​(wi​xi​−yi​)2∥w∥22​<=σ​
这里我们根据拉格朗日乘子法 ，可以把在约束内求最值，改成无范围求最值。得到下方方程（lambda为惩罚系数）：
$$L\left(w\right)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\left(w_i{x}_i-y_i\right)+\frac{1}{2}\lambda \sum _{i=1}^n{\left(w_i\right)}^2$$
根据梯度下降法($\alpha$为learning rate)，我们继续化简：
W n e w = W − α L ( w ) ′ = W − α x − λ α w = ( 1 − α x ) w − α x

Wnew=W−αL(w)′=W−αx−λαw=(1−αx)w−αx" role="presentation">Wnew=W−αL(w)′=W−αx−λαw=(1−αx)w−αx$$\begin{array}{r}{W}_{new}=W-\alpha L{\left(w\right)}^{\mathrm{\prime }}\\ =W-\alpha x-\lambda \alpha w\\ =\left(1-\alpha x\right)w-\alpha x\end{array}$$

Wnew​=W−αL(w)′=W−αx−λαw=(1−αx)w−αx​
我们发现，参数w每回合都在慢慢减少，权重系数减少，也就是对数据与噪声变得不敏感（曲线越平滑，根据泰勒展开可知），相对来讲，也就是降低了数据的拟合程度从而缓解过拟合。

这里我们要注意，其中衰减的参数包含偏置系数b，因为权重系数决定了模型推理结果的方差，而偏置系数决定了偏差，不能缓解过拟合。

代码实现

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200,5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1))*0.05, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b,n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
test_iter = d2l.load_array(test_data,batch_size, is_train=False)

def init_params():
    w = torch.normal(0,1,size=(num_inputs,1),requires_grad = True)
    b = torch.zeros(1,requires_grad = True)
    return [w,b]
def l2_penalty(w):
    return torch.sum(torch.abs(w))
num_epochs, lr = 1000, 0.003
def train(lambd):
    w,b = init_params()
    net,loss = lambda X : d2l.linreg(X,w,b), d2l.squared_loss
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    
    for epoch in range(num_epochs):
        for X,y in train_iter:
            l = loss(net(X),y)+lambd*l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w,b],lr,batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())
 train(lambd=1)

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降维

剔除掉冗余的特征和比重不大的特征，原因。
2. 采用合适的模型（控制模型的复杂度）

采用合适的模型

过于复杂的模型会带来过拟合问题。对于模型的设计，目前公认的一个深度学习规律"deeper is better"。国内外各种大牛通过实验和竞赛发现，对于CNN来说，层数越多效果越好，但是也更容易产生过拟合，并且计算所耗费的时间也越长。

根据奥卡姆剃刀法则：在同样能够解释已知观测现象的假设中，我们应该挑选“最简单”的那一个。对于模型的设计而言，我们应该选择简单、合适的模型解决复杂的问题。

数据增强

如何解决欠拟合

欠拟合的问题一般出现在训练开始，随着训练的深入，一般此问题会不攻自破，我们一般采用：

1. 增加模型的复杂度（比如从直线->曲线）。
2. 增加数据维度（维度数应该远远小于数据的数量，否则可能出现过拟合）。
3. 增加数据量。