【题解】同济线代习题一.6.4

题目

证明：
∣ 1 1 1 1 a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 a 4 b 4 d 4 d 4 ∣ = 0

= 0 ​1aa2a4​1bb2b4​1cc2d4​1dd2d4​ ​=0

解答

∣ 1 1 1 1 a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 a 4 b 4 d 4 d 4 ∣ = r 2 − a r 1 r 3 − a 2 r 1 r 4 − a 4 r 1 ∣ 1 1 1 1 0 b − a c − a d − a 0 b 2 − a 2 c 2 − a 2 d 2 − a 2 0 b 4 − a 4 c 4 − a 4 d 4 − a 4 ∣ (1)

\xlongequal{} \tag{1} ​1aa2a4​1bb2b4​1cc2d4​1dd2d4​ ​r2​−ar1​r3​−a2r1​r4​−a4r1​​ ​1000​1b−ab2−a2b4−a4​1c−ac2−a2c4−a4​1d−ad2−a2d4−a4​ ​(1)

因为 $x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)=(x-y)(x^3+x^{2}y+x{y}^2+y^3)$，又因为行列式等于其第一列各元素与其对应的代数余子式的乘积之和；所以上式 $(\mathrm{1.6.4.1})$ 中的行列式可以写成
∣ b − a c − a d − a ( b − a ) ( b + a ) ( c − a ) ( c + a ) ( d − a ) ( d + a ) ( b − a ) ( b 3 + b 2 a + b a 2 + a 3 ) ( c − a ) ( c 3 + c 2 a + c a 2 + a 3 ) ( d − a ) ( d 3 + d 2 a + d a 2 + a 3 ) ∣ = c 1 ÷ ( b − a ) c 2 ÷ ( c − a ) c 3 ÷ ( d − a ) ( b − a ) ( c − a ) ( d − a ) ∣ 1 1 1 b + a c + a d + a b 3 + b 2 a + b a 2 + a 3 c 3 + c 2 a + c a 2 + a 3 d 3 + d 2 a + d a 2 + a 3 ∣ = r 2 − ( b + a ) r 1 r 3 − ( b 3 + b 2 a + b a 2 + a 3 ) r 1 ( b − a ) ( c − a ) ( d − a ) ∣ 1 1 1 0 c − b d − b 0 ( c 3 + c 2 a + c a 2 + a 3 ) − ( b 3 + b 2 a + b a 2 + a 3 ) ( d 3 + d 2 a + d a 2 + a 3 ) − ( b 3 + b 2 a + b a 2 + a 3 ) ∣ (2)

\tag{2} ​ ​b−a(b−a)(b+a)(b−a)(b3+b2a+ba2+a3)​c−a(c−a)(c+a)(c−a)(c3+c2a+ca2+a3)​d−a(d−a)(d+a)(d−a)(d3+d2a+da2+a3)​ ​c1​÷(b−a)c2​÷(c−a)c3​÷(d−a)​ (b−a)(c−a)(d−a) ​1b+ab3+b2a+ba2+a3​1c+ac3+c2a+ca2+a3​1d+ad3+d2a+da2+a3​ ​r2​−(b+a)r1​r3​−(b3+b2a+ba2+a3)r1​​ (b−a)(c−a)(d−a) ​100​1c−b(c3+c2a+ca2+a3)−(b3+b2a+ba2+a3)​1d−b(d3+d2a+da2+a3)−(b3+b2a+ba2+a3)​ ​​(2)

因为
( x 1 3 + x 1 2 y + x 1 y 2 + y 3 ) − ( x 2 3 + x 2 2 y + x 2 y 2 + y 3 ) = ( x 1 3 − x 2 3 ) + ( x 1 2 − x 2 2 ) y + ( x 1 − x 2 ) y 2 = ( x 1 − x 2 ) ( x 1 2 + x 1 x 2 + x 2 2 ) + ( x 1 − x 2 ) ( x 1 + x 2 ) y + ( x 1 − x 2 ) y 2 = ( x 1 − x 2 ) ( x 1 2 + x 2 2 + x 1 x 2 + x 1 y + x 2 y + y 2 )

(x13​+x12​y+x1​y2+y3)−(x23​+x22​y+x2​y2+y3)​=(x13​−x23​)+(x12−x22​)y+(x1​−x2​)y2=(x1​−x2​)(x12​+x1​x2​+x22​)+(x1​−x2​)(x1​+x2​)y+(x1​−x2​)y2=(x1​−x2​)(x12​+x22​+x1​x2​+x1​y+x2​y+y2)​
又因为行列式等于其第一列各元素与其对应的代数余子式的乘积之和；所以上式 $(\mathrm{1.6.4.2})$ 中的行列式可以写成
( b − a ) ( c − a ) ( d − a ) ∣ c − b d − b ( c − b ) ( a 2 + b 2 + c 2 + a b + a c + b c ) ( d − b ) ( a 2 + b 2 + d 2 + a b + a d + b d ) ∣ = c 1 ÷ ( c − b ) c 2 ÷ ( d − b ) ( b − a ) ( c − a ) ( d − a ) ( c − b ) ( d − b ) ∣ 1 1 a 2 + b 2 + c 2 + a b + a c + b c a 2 + b 2 + d 2 + a b + a d + b d ∣ = ( b − a ) ( c − a ) ( d − a ) ( c − b ) ( d − b ) [ ( a 2 + b 2 + d 2 + a b + a d + b d ) − ( a 2 + b 2 + c 2 + a b + a c + b c ) ] = ( b − a ) ( c − a ) ( d − a ) ( c − b ) ( d − b ) [ ( d − c ) ( d + c ) + ( d − c ) ( a + b ) ] = ( b − a ) ( c − a ) ( d − a ) ( c − b ) ( d − b ) ( d − c ) ( a + b + c + d ) = ( a − b ) ( a − c ) ( a − d ) ( b − c ) ( b − d ) ( c − d ) ( a + b + c + d )

\begin{align*} & (b-a)(c-a)(d-a) \begin{vmatrix} c-b & d-b \\ (c-b)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc) & (d-b)(a^2 + b^2 + d^2 + ab + ad + bd) \\ \end{vmatrix} \\ & \xlongequal{\begin{align*} c_1 \div (c-b) \\ c_2 \div (d-b) \end{align*}} (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc & a^2 + b^2 + d^2 + ab + ad + bd \\ \end{vmatrix} \\ & = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)[(a^2 + b^2 + d^2 + ab + ad + bd) - (a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc)] \\ & = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)[(d-c)(d+c) + (d-c)(a+b)] \\ & = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(a+b+c+d) \\ & = (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d) \end{align*}" role="presentation" style="position: relative;">\begin{align*} & (b-a)(c-a)(d-a) \begin{vmatrix} c-b & d-b \\ (c-b)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc) & (d-b)(a^2 + b^2 + d^2 + ab + ad + bd) \\ \end{vmatrix} \\ & \xlongequal{\begin{align*} c_1 \div (c-b) \\ c_2 \div (d-b) \end{align*}} (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc & a^2 + b^2 + d^2 + ab + ad + bd \\ \end{vmatrix} \\ & = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)[(a^2 + b^2 + d^2 + ab + ad + bd) - (a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc)] \\ & = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)[(d-c)(d+c) + (d-c)(a+b)] \\ & = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(a+b+c+d) \\ & = (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d) \end{align*}$$\text{begin{align*} \& (b-a)(c-a)(d-a) begin{vmatrix} c-b \& d-b (c-b)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc) \& (d-b)(a^2 + b^2 + d^2 + ab + ad + bd) end{vmatrix} \& xlongequal{begin{align*} c\_1 div (c-b) c\_2 div (d-b) end{align*}} (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b) begin{vmatrix} 1 \& 1 a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc \& a^2 + b^2 + d^2 + ab + ad + bd end{vmatrix} \& = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)[(a^2 + b^2 + d^2 + ab + ad + bd) - (a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc)] \& = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)[(d-c)(d+c) + (d-c)(a+b)] \& = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(a+b+c+d) \& = (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d) end{align*}}$$

​(b−a)(c−a)(d−a) ​c−b(c−b)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)​d−b(d−b)(a2+b2+d2+ab+ad+bd)​ ​c1​÷(c−b)c2​÷(d−b)​ (b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b) ​1a2+b2+c2+ab+ac+bc​1a2+b2+d2+ab+ad+bd​ ​=(b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b)[(a2+b2+d2+ab+ad+bd)−(a2+b2+c2+ab+ac+bc)]=(b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b)[(d−c)(d+c)+(d−c)(a+b)]=(b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b)(d−c)(a+b+c+d)=(a−b)(a−c)(a−d)(b−c)(b−d)(c−d)(a+b+c+d)​
得证。