算法基础（一）| 快速排序和归并排序详解

⭐写在前面的话：本系列文章旨在复习算法刷题中常用的基础算法与数据结构，配以详细的图例解释，总结相应的代码模板，同时结合例题以达到最佳的学习效果。本专栏面向算法零基础但有一定的C++基础的学习者。若C++基础不牢固，可参考：10min快速回顾C++语法，进行语法复习。

🔥本文已收录于算法基础系列专栏： 算法基础教程 免费订阅，持续更新。

快速排序

算法详解

不稳定，基于分治思想。

期望复杂度：nlogn，最坏$n^2$

• 确定分界点

  常用分界点：取左边界q[l],取中间值q[(1+r)/2],取右边界q[r],随机值。

• 调整区间

  保证左边数都小于等于x，右边数大于等于x即可。

  

• 递归处理左右两端

  左边排好序，右边排好序。

重点是如何调整区间：

常见思路：

1. 双数组法（比较耗费空间）

   再开两个数组，分别是a[],b[].

   然后对于原数组q，如果q[i] ≤ x，则将x存入a[]中，否则存入b[]中。

   最后先将a[]存入q中，再将b[]存入数中。

2. 双指针法

   采用双指针的思想。设置哨兵x进行比较。

   

   让i，j向中间移动，如果i ≤ x，则继续移动，否则等待交换，如果 j ≥ x ，则继续移动，否则等待交换。当i和j都等待交换的时候，交换ij，然后继续移动。直到i大于为止。

   

   

例题：快速排序

给定你一个长度为 n 的整数数列。

请你使用快速排序对这个数列按照从小到大进行排序。

并将排好序的数列按顺序输出。

输入格式

输入共两行，第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数（所有整数均在 1∼$10^9$ 范围内），表示整个数列。

输出格式

输出共一行，包含 n 个整数，表示排好序的数列。

数据范围

1≤n≤100000

输入样例：

5
3 1 2 4 5
1
2

输出样例：

1 2 3 4 5
1

算法模板

#include 

using namespace std;

const int N = 1e6 +10;

int q[N];

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;
    //如果数组中就一个数，直接返回

    int x = q[l], i = l - 1, j = r + 1;
    //随机取数，注意这里i要在左边界左边，j要在右边界右边，是因为采用dowhile循环，开场会先执行一次。
    while (i < j)
    {
        do i ++ ; while (q[i] < x);
        do j -- ; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
        //当两侧都停下后，交换位置即可。
    }
	//递归地调用函数，排序左右两边。同时注意这里可能存在问题。
    quick_sort(q, l, j);
    quick_sort(q, j + 1, r);
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);

    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);

    quick_sort(q, 0, n - 1);

    for (int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%d ", q[i]);

    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40

对于模板中的

    int x = q[l], i = l - 1, j = r + 1;
    while (i < j)
    {
        do i ++ ; while (q[i] < x);
        do j -- ; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
        // 同时注意这里可能存在问题。
        // 假设是[1,2] x = 1，多轮交换过后一直是[0,1]，死循环就出不来了。
    }
	
    quick_sort(q, l, j);//如果这里是j的话，x 就一定不能取到q[r]
	//quick_sort(q, l, i - 1);如果这里是i的话，x 就一定不能取到q[l]
	//quick_sort(q, i, r);
    quick_sort(q, j + 1, r);
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

详解

归并排序

算法详解

稳定，思想：分治

时间复杂度：nlogn

以数组的中间部分来分，分为左边和右边。

• 确定分界点。mid = (1+r)/2;

• 递归排序left和right。

• 合二为一（重点）。合成一个有序的数组。

  合并的方法：双指针法。

  

  

  

  由于归并排序是稳定的，因此在两数相同的时候可以把第一个数字移动到尾部。

  

例题：归并排序

给定你一个长度为 n 的整数数列。

请你使用归并排序对这个数列按照从小到大进行排序。

并将排好序的数列按顺序输出。

输入格式

输入共两行，第一行包含整数 $n$。

第二行包含$n$ 个整数（所有整数均在 1∼$10^9$ 范围内），表示整个数列。

输出格式

输出共一行，包含 $n$ 个整数，表示排好序的数列。

数据范围

1≤n≤100000

输入样例：

5
3 1 2 4 5
1
2

输出样例：

1 2 3 4 5
1

算法模板

#include 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int a[N], tmp[N];

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int mid = l + r >> 1;
    //取中间的位置

    //分别归并排序左右两侧，进行排序
    merge_sort(q, l, mid), merge_sort(q, mid + 1, r);

    //=========归并的过程===========
    //k表示已经归并的数，i为指向左半边序列的起点，j为指向右半边序列的起点。
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        //进行判断，每次把小的那部分放在当前位置上。
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
    //如果左右两边没有循环完的话，贴在数组最后
    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    //存回q数组中
    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);

    merge_sort(a, 0, n - 1);

    for (int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%d ", a[i]);

    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45