【计算机图形学基础】线性代数基础2

    最近在重温计算机图形学的基础知识，期望能做到温故知新，加深对其的理解，以便能从容应对工作中各种情况。
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1 线性表达

   图形学中，简单的位置可以按如下表达：

   $\overrightarrow{p(t)}=\vec{p}+vt$；

   其中v是速度，t是时间：

   也可按两点间的插值表示：

   $\overrightarrow{p(t)}=\vec{p}+t(\vec{q}-\vec{p})$；经变换后，表达式可转换为如下：

   $\overrightarrow{p(t)}=(1-t)\vec{p}+t\vec{q}$；

   如下图所示：

2 矢量点积的应用

2.1 确定点和平面位置关系

   如下所示，有平面 $S$ 、其法向量 $\vec{n}$ 和任意点 $p$。求取点和面之间的关系。

   根据向量 $\overrightarrow{pc}$ 和 法向量 $\vec{n}$ 的点乘，可以推断出 $p$ 和面的关系：

   得到的标量 $s$ 是有符号的：
   $s>0$ 表示点 $p$ 在面的上方，同面法向量一侧；
   $s==0$ 表示点 $p$ 刚好在面上；
   $s<0$ 表示点 $p$ 在面的下方，与面法向量异侧。

2.2 点和球的碰撞检测

   如下所示，点 $p$ 以速度向量 $v$ 进行运动，检测 $p$ 是否和球体 $c$ 碰撞。

   如果有碰撞发生，则 $p(t)$ 和圆心 $c$ 的距离刚好为半径 $r$。

   $||p(t)-c||=r^2$, 可转换为点积：

   $(p-c+vt)\cdot (p-c+vt)=r^2$

   其中，只有 $t$ 是未知数。

   可用矢量相乘的分配律展开，有：

   $(v\cdot v)t^2$ + $2(p-c)\cdot vt$ + $(p-c)\cdot (p-c)$ - $r^2$ = 0。

   因此，问题转换为解一元二次方程：
   若 $t$ 无解，则说明点和球没有碰撞；
   若 $t$ 有唯一解，则说明点沿着球的切线擦过；
   若 $t$ 有两个解，则需要求出 $t>0$中的最小解，即点和球的碰撞时刻。

3 矢量叉乘的应用

3.1 求三角形的法向量和面积

   有如下所示的三角形：

   边 $x_{10}$ = $x_1-x_0$，边 $x_{20}$ = $x_2-x_0$；

   因此法向量 $\vec{n}$ = $\frac{x_{10}\times x_{20}}{||x_{10}\times x_{20}||}$。

   三角形面积 $=$ 底 $\times$ 高 $/$ 2。

   因此有Area = $||x_{10}||$ $h$ $/2$，其中将高 $h$ 替换，有：

   Area = $||x_{10}||$ $||x_{20}||$ $sin(\theta )$ $/2$；

   上述$||x_{10}||$ $||x_{20}||$ $sin(\theta )$ 实际为叉乘后向量的大小值，那么面积公式中可以用叉乘的值来替换：

   Area = $||x_{10}\times x_{20}||$ $/2$。

   综上，矢量叉乘可用来计算三角形的法向量和面积。

3.2 求四面体的体积

   四面体的体积 = 底面积 x 高 / 3。

   四面体有三边，分别为 $x_{10}$ = $x_1-x_0$，$x_{20}$ = $x_2-x_0$ 和 $x_{30}$ = $x_3-x_0$。

   根据3.1小节的内容，底面积Area = $||x_{10}\times x_{20}||$ / 2。

   该底面对应的高实际为 $x_{30}$ 在底面法线上的投影。

   底面法线$\vec{n}$ = $\frac{x_{10}\times x_{20}}{||x_{10}\times x_{20}||}$。

   因此 $h$ = $x_{30}$ $\cdot$ $\vec{n}$ = $x_{30}$ $\cdot$ $\frac{x_{10}\times x_{20}}{||x_{10}\times x_{20}||}$。

   将上式子和底面积相结合，有：

   Volume = $||x_{10}\times x_{20}||$ $x_{30}$ $\cdot$ $\frac{x_{10}\times x_{20}}{||x_{10}\times x_{20}||}$ / 6。

   综上，四面体的体积为： $\frac{x_{30}\cdot (x_{10}\times x_{20})}{6}$。

   注意，Volume也有正负；
   若Volume > 0，则表示 $x_3$ 在底面的上方：

   若Volume == 0，则表示 $x_3$ 就在底面中：

   若Volume < 0，则表示 $x_3$ 在底面下方：

3.3 点和三角形的碰撞检测

   若点 $p$ 和 三角形发生了碰撞，那么点 $p$ 和 $△x_0{x}_1{x}_2$ 所形成的四面体的体积为0。
   根据3.2小节的内容，有：

   $(p(t)-x_0)\cdot (x_{10}\times x_{20})$ = $0$；

   $(p-x_0+tv)\cdot (x_{10}\times x_{20})$ = $0$，因此，将模型转换为解未知数t：

   $t$ = $-\frac{(p-x_0)\cdot (x_{10}\times x_{20})}{v\cdot (x_{10}\times x_{20})}$。

   若$t$有解，求解后，需要判断此时的 $p$ 点是否在$△x_0{x}_1{x}_2$ 内部，若在在$△x_0{x}_1{x}_2$ 内部，则表明发生了碰撞检测。判断点是否在三角形内部，见线性代数基础1中的1.2.2-(3) 小节。

4 矩阵(补充)

4.1 正交矩阵

   正交矩阵由正价的单位向量组成，如下所示：

   正交矩阵中，向量自身点积为1，向量之间的点积为0。
   因此，正交矩阵有下述性质：

   因此，有 $A^T$ = $A^{-1}$。

4.2 旋转被正交矩阵表示

   $A$ $\cdot$ $\vec{x}$ = $\vec{u}$，其中 $\vec{x}$ = ( 1 0 0 )

⎝ ⎛​100​⎠ ⎞​；

   $A$ $\cdot$ $\vec{y}$ = $\vec{v}$，其中 $\vec{y}$ = ( 0 1 0 )

⎝ ⎛​010​⎠ ⎞​；

   $A$ $\cdot$ $\vec{z}$ = $\vec{w}$，其中 $\vec{z}$ = ( 0 0 1 )

⎝ ⎛​001​⎠ ⎞​；

   $A$ $\cdot$ [$x$ $y$ $z$] = [$u$ $v$ $w$] ，而 [$x$ $y$ $z$] 实际为单位阵 $I$。

   因此，$A$ = [$u$ $v$ $w$]，而 $\vec{u}$、 $\vec{v}$、$\vec{w}$ 是坐标轴，因此它们是正交的。

   综上，旋转动作可以被正交阵表示。

4.3 奇异值分解(Singular Value Decomposition)

   任意一个矩阵可以被分解为三个部分表示：$A$ = $UD{V}^T$。

   其中$D$是对角阵，$U$ 和 $V$ 是正交阵。对角阵是对角线上的元素 $d_i>=0$，其余元素均为0的矩阵。
   上述分解的几何意义是：任何的线性变换，都可以分解为三个操作：旋转 $V^T$、缩放 $D$ 和旋转 $U$ 。
   ① 通过 $V^T$ 将坐标系旋转到特定位置上；
   ② 在该位置上，通过对角阵 $D$ 对坐标系进行缩放，使坐标系变为目标尺寸；
   ③ 将坐标系通过$U$旋转到目标方向上。

5 参考

GAMES103_Lecture 02_Math Background: Vector, Matrix and Tensor Calculus