• 【计算几何】大自然的艺术--分形

    一、前言

            分形几何是几何数学中的一个分支，也称大自然几何学，由著名数学家本华曼德勃罗（ 法语：BenoitB.Mandelbrot）在 1975 年构思和发展出来的一种新的几何学。分形几何是对大自然中微观与宏观和谐统一之美的发现，并且揭示的部分只是冰山之一角，相信在人类认知的进步下，会开出一朵接一朵的美丽花朵。

            美国杰出的物理学家（ 两弹元勋 、现代广义相对论之父）、物理学思想家、物理学教育家惠勒（ Wheeler ）断言： “ 可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人。”可以看出分形强大的影响力，当然个人也比较喜欢分形，因为利用分形可以画出很多美丽的图形，利用分形我们可以描绘出 树叶的纹路、画出完整的一棵树、形状酷似病毒的图形，混沌 ( chaos )、孤立子( solitons )和分形 ( fractals )是非线性科学 ( nonlinear  science ) 中三个最重要的概念。

    二、什么是分形

            分形（英语：fractal，源自拉丁语：frāctus，有“零碎”、“破裂”之意），又称碎形、残形，通常被定义为：

            “一个零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”[2]，即具有自相似的性质。

            分形在数学中是一种抽象的物体，用于描述自然界中存在的事物。人工分形通常在放大后能展现出相似的形状[3]。 分形也被称为扩展对称或展开对称。如果在每次放大后，形状的重复是完全相同的，这被称为自相似。自相似的一个例子是门格海绵[图1]。 分形在不同的缩放级别上可以是近似相似的。曼德博集合的【图2】放大图像中显示了这种模式[2][5][6][7]。 分形也包有图像的细节重复自身的意味。

    三、关于自相似

            如果一个物体自我相似（Self-similarity），表示它和它本身的一部分完全或是几乎相似。若说一个曲线自我相似，即每部分的曲线有一小块和它相似。自然界中有很多东西有自我相似性质，例如海岸线。

    3.1 谢尔宾斯基地毯（Sierpinski carpet、波兰语：Dywan Sierpińskiego）

            由波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Wacław Sierpiński）于1916年提出的一种分形，是自相似集的一种。它的豪斯多夫维是 log 8/log 3 ≈ 1.8928。门格海绵是它在三维空间中的推广。

            将一个实心正方形划分为3X3的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯。

    3.2 门格海绵说明

            门格海绵（英语：Menger sponge、英语：Menger universal curve）是分形的一种。它是一个通用曲线，因为它的拓扑维数为一，且任何其它曲线或图都与门格海绵的某个子集同胚。它有时称为门格-谢尔宾斯基海绵或谢尔宾斯基海绵。它是康托尔集和谢尔宾斯基地毯在三维空间的推广。它首先由奥地利数学家卡尔·门格在1926年描述，当时他正在研究拓扑维数的概念。

    图1- 门格海绵的样子

    3.3  曼德博集合

            是基于复平面的分形典范。曼德博集合可以用复二次多项式来定义：

    f_c(z) = z^2+c     ，其中c 是一个复数参数。

    从z = 0开始迭代：

            不同的参数c可能使序列的绝对值逐渐发散到无限大，也可能收敛在有限的区域内。曼德博集合M 就是使序列不延伸至无限大的所有复数c的集合。

    图2- 曼德博集合

    3.4 科赫雪花

            科赫雪花是由瑞典数学家科赫在 1904 年提出的一种不规则几何图形，也称为雪花曲线。

            分形图形的特点是整体几何图形是由一个微图形结构自我复制、反复叠加形成，且最终形成的整体图案和微图形结构一样。在编写分形算法时，需要先理解微图案的生成过程。

    科赫雪花的微图案生成过程：

    •  先画一条直线。科赫雪花本质就由一条直线演化而成。
    • 三等分画好的直线。
    • 取中间线段，然后用夹角为 60° 的两条等长线段替代。
    • 可在每一条线段上都采用如上方式进行迭代操作，便会构造出多层次的科赫雪花。

    四、谢尔宾斯基地毯代码实现 

    4.1 算法代码：

    1. # importing necessary modules
    2. import numpy as np
    3. from PIL import Image
    4.  
    5. # total number of times the process will be repeated
    6. total = 7
    7.  
    8. # size of the image
    9. size = 3 ** total
    10.  
    11. # creating an image
    12. square = np.empty([size, size, 3], dtype=np.uint8)
    13. color = np.array([255, 255, 255], dtype=np.uint8)
    14.  
    15. # filling it black
    16. square.fill(0)
    17.  
    18. for i in range(0, total + 1):
    19.     stepdown = 3 ** (total - i)
    20.     for x in range(0, 3 ** i):
    21.  
    22.         # checking for the centremost square
    23.         if x % 3 == 1:
    24.             for y in range(0, 3 ** i):
    25.                 if y % 3 == 1:
    26.                     # changing its color
    27.                     square[y * stepdown:(y + 1) * stepdown, x * stepdown:(x + 1) * stepdown] = color
    28.  
    29. # saving the image produced
    30. save_file = "sierpinski.jpg"
    31. Image.fromarray(square).save(save_file)
    32.  
    33. # displaying it in console
    34. i = Image.open("sierpinski.jpg")
    35. i.show()

    4.2 谢尔宾斯基地毯结果：

    五、分形树代码实现

    5.1 分形树代码

    1. import turtle
    2.  
    3. def draw_tree(length):
    4.     if length>=5:
    5.  
    6.         #设定颜色
    7.         if length <=15:
    8.             turtle.color('green')
    9.         else:
    10.             turtle.color('black')
    11.  
    12.         '''
    13.         先画右侧树枝
    14.         '''
    15.  
    16.         #向前
    17.         turtle.forward(length)
    18.         #右转25度
    19.         turtle.right(25)
    20.        #递归draw_tree
    21.         draw_tree(length - 15)
    22.  
    23.         '''
    24.         画左侧树枝
    25.         '''
    26.  
    27.         #左转50度
    28.         turtle.left(50)
    29.         #递归draw_tree
    30.         draw_tree(length - 15)
    31.  
    32.         '''
    33.         回退
    34.         '''
    35.         #设定颜色
    36.         if length <=15:
    37.             turtle.color('green')
    38.         else:
    39.             turtle.color('black')
    40.  
    41.         #右转25度
    42.         turtle.right(25)
    43.         #回退
    44.         turtle.backward(length)
    45.  
    46. def main():
    47.     #起始点往下移100
    48.     turtle.pensize(4)
    49.     turtle.left(90)
    50.     turtle.penup()
    51.     turtle.backward(100)
    52.     turtle.pendown()
    53.     draw_tree(100)
    54.     turtle.exitonclick()
    55.  
    56. if __name__ == '__main__':
    57.     main()

    5.2 分形树结果 

    六、曼德博集合代码

    6.1 代码

    1. from PIL import Image
    2. import colorsys
    3. import math
    4. import os
    5.  
    6. #frame parameters
    7. width = 1000 #pixels
    8. x = -0.65
    9. y = 0
    10. xRange = 3.4
    11. aspectRatio = 4/3
    12.  
    13. precision = 500
    14.  
    15. height = round(width / aspectRatio)
    16. yRange = xRange / aspectRatio
    17. minX = x - xRange / 2
    18. maxX = x + xRange / 2
    19. minY = y - yRange / 2
    20. maxY = y + yRange / 2
    21.  
    22. img = Image.new('RGB', (width, height), color = 'black')
    23. pixels = img.load()
    24.  
    25. def logColor(distance, base, const, scale):
    26.     color = -1 * math.log(distance, base)
    27.     rgb = colorsys.hsv_to_rgb(const + scale * color,0.8,0.9)
    28.     return tuple(round(i * 255) for i in rgb)
    29.  
    30. def powerColor(distance, exp, const, scale):
    31.     color = distance**exp
    32.     rgb = colorsys.hsv_to_rgb(const + scale * color,1 - 0.6 * color,0.9)
    33.     return tuple(round(i * 255) for i in rgb)
    34.  
    35. for row in range(height):
    36.     for col in range(width):
    37.         x = minX + col * xRange / width
    38.         y = maxY - row * yRange / height
    39.         oldX = x
    40.         oldY = y
    41.         for i in range(precision + 1):
    42.             a = x*x - y*y #real component of z^2
    43.             b = 2 * x * y #imaginary component of z^2
    44.             x = a + oldX #real component of new z
    45.             y = b + oldY #imaginary component of new z
    46.             if x*x + y*y > 4:
    47.                 break
    48.         if i < precision:
    49.             distance = (i + 1) / (precision + 1)
    50.             rgb = powerColor(distance, 0.2, 0.27, 1.0)
    51.             pixels[col,row] = rgb
    52.         index = row * width + col + 1
    53.         print("{} / {}, {}%".format(index, width * height, round(index / width / height * 100 * 10) / 10))
    54.  
    55. img.save('output.png')
    56. os.system('open output.png')

    6.2 运算结果 

    七  科赫雪花代码

    7.1 科赫雪花代码

    1. import turtle
    2. turtle.speed(100)
    3. def ke_line(line_, n):
    4.     if n == 0:
    5.         turtle.fd(line_)
    6.     else:
    7.         line_len = line_ // 3
    8.         for i in [0, 60, -120, 60]:
    9.             turtle.left(i)
    10.             ke_line(line_len, n - 1)
    11. # 原始线长度
    12. line = 300
    13. # 移动小海龟画布左下角
    14. turtle.penup()
    15. turtle.goto(-150, -150)
    16. turtle.pendown()
    17. # 几阶科赫雪花
    18. di_gui_deep = int(input("请输入科赫雪花的阶数："))
    19. while True:
    20.     # 当多少科赫雪花围绕成一个圆周时，就构成一个完整的雪花造型
    21.     count = int(input("需要几个科赫雪花："))
    22.     if 360 % count != 0:
    23.         print("请输入 360 的倍数")
    24.     else:
    25.         break
    26. for i in range(count):
    27.     ke_line(line, di_gui_deep)
    28.     turtle.left(360 // count)
    29. turtle.done()

    7.2 结果

    八、后记

            有专门的理论教学《分形几何》，其中的内容更加丰富， 我们将在以后的博客中继续介绍。

  • 相关阅读:
    go-channel
    QGC 参数设置中关于param_union的使用
    【Linux】yum && vim 基础工具的使用
    About Significance Tests
    python: window环境安装
    【OpenCV-Python】教程：3-9 轮廓（5）轮廓层级
    零基础学Python之循环语句的使用（手把手带你做牛客网python代码练习题）
    沃通SSL证书服务多省区一体化政务服务平台
    请问，wpf工程这种左下角有箭头的文件夹是如何创建的,它似乎是引用了共享项目
    微信小程序模板消息推送
  • 原文地址：https://blog.csdn.net/gongdiwudu/article/details/126597811