【控制】滑模控制，小例子，有程序有结果图

1 问题描述

假设存在一个被控系统如下
x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = x 3 x ˙ 3 = x 1 + x 2 x 3 + u (1)

\tag{1} x˙1​x˙2​x˙3​​=x2​=x3​=x1​+x2​x3​+u​(1)

2 滑模控制器设计

接下来设计其滑模控制器

2.1 滑模面选择

设计滑模面为
$$s=x_3+2x_2+x_1\text{\hspace{1em}(2)}$$

2.2 控制器设计

对切换函数 $s$ 求导有
s ˙ = x ˙ 3 + 2 x ˙ 2 + x ˙ 1 = x 1 + x 2 x 3 + u + 2 x 3 + x 2 = x 1 + x 2 + 2 x 3 + x 2 x 3 + u (3)

\tag{3} s˙​=x˙3​+2x˙2​+x˙1​=x1​+x2​x3​+u+2x3​+x2​=x1​+x2​+2x3​+x2​x3​+u​(3)

取指数趋近律有
$$\dot{s}=-\text{sgn}(s)-s\text{\hspace{1em}(4)}$$

可得控制器 $u$ 为
s ˙ = − sgn ( s ) − s = x 1 + x 2 + 2 x 3 + x 2 x 3 + u u = − sgn ( s ) − s − x 1 − x 2 − 2 x 3 − x 2 x 3 (5)

\tag{5} s˙u​=−sgn(s)−s=x1​+x2​+2x3​+x2​x3​+u=−sgn(s)−s−x1​−x2​−2x3​−x2​x3​​(5)

2.3 稳定性证明

取李雅普诺夫函数有
$$V=\frac{1}{2}{s}^2\text{\hspace{1em}(6)}$$

求导有
V ˙ = s s ˙ = s ( − sgn ( s ) − s ) = − sgn ( s ) s − s 2 = − ( ∣ s ∣ + s 2 ) ≤ 0 (7)

\tag{7} V˙​=ss˙=s(−sgn(s)−s)=−sgn(s)s−s2=−(∣s∣+s2)≤0​(7)

因为李雅普诺夫函数的微分是负定的，那么系统渐进稳定，即 $s$ 趋于0。又因为 $s=x_3+2x_2+x_1$，因此 $x_1,x_2,x_3$ 都会趋于0。

3 实验验证

3.1 单纯滑模面控制

单纯使用滑模面的控制会出现抖振现象，这一点也可以从下图中看出。

clear
clc

x_1(:,1) = rand;
x_2(:,1) = rand;
x_3(:,1) = rand;

%%    
tBegin = 0;
tFinal = 20;
dT = 0.1;
times = (tFinal - tBegin) / dT;
t(1,1) = tBegin;

for k = 1:times
    % record time
    t(:,k+1) = t(:,k) + dT;
    
    % slide model plane
    s = x_3(:,k) + 2*x_2(:,k) + x_1(:,k);
    
    % control input
    u = -sign(s)-s-x_1(:,k)-x_2(:,k)-2*x_3(:,k)-x_2(:,k)*x_3(:,k);
    
    % update states
    dot_x_3 = x_1(:,k) + x_2(:,k) * x_3(:,k) + u;
    x_3(:,k+1) = x_3(:,k) + dT * (x_1(:,k) + x_2(:,k) * x_3(:,k) + u);
    dot_x_2 = x_3(:,k+1);
    x_2(:,k+1) = x_2(:,k) + dT * dot_x_2;
    dot_x_1 = x_2(:,k+1);
    x_1(:,k+1) = x_1(:,k) + dT * dot_x_1;
end

%%
plot(t,x_1, t,x_2, t,x_3, 'linewidth',1.5);
legend('$x_1$', '$x_2$', '$x_3$', 'interpreter','latex');
grid on;
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3.2 饱和函数替换符号函数

为了防止抖振，可以采用饱和函数 sat(s) 代替控制器中的符号函数sgn(s)。
在Matlab中没有相应的函数，因此我们写了个子函数来自己构建饱和函数，这一点可以在下边的代码里看到。

clear
clc

x_1(:,1) = rand;
x_2(:,1) = rand;
x_3(:,1) = rand;

%%    
tBegin = 0;
tFinal = 20;
dT = 0.1;
times = (tFinal - tBegin) / dT;
t(1,1) = tBegin;

for k = 1:times
    % record time
    t(:,k+1) = t(:,k) + dT;
    
    % slide model plane
    s = x_3(:,k) + 2*x_2(:,k) + x_1(:,k);
    
    % control input
    u = -sat(s)-s-x_1(:,k)-x_2(:,k)-2*x_3(:,k)-x_2(:,k)*x_3(:,k);
    
    % update states
    dot_x_3 = x_1(:,k) + x_2(:,k) * x_3(:,k) + u;
    x_3(:,k+1) = x_3(:,k) + dT * (x_1(:,k) + x_2(:,k) * x_3(:,k) + u);
    dot_x_2 = x_3(:,k+1);
    x_2(:,k+1) = x_2(:,k) + dT * dot_x_2;
    dot_x_1 = x_2(:,k+1);
    x_1(:,k+1) = x_1(:,k) + dT * dot_x_1;
end

%%
plot(t,x_1, t,x_2, t,x_3, 'linewidth',1.5);
legend('$x_1$', '$x_2$', '$x_3$', 'interpreter','latex');
grid on;

%% 
function out = sat(s)
    sMax = 10;
    sMin = -10;
    out = s;
    if s > sMax
        out = sMax;
    end
    if s < sMin
        out = sMin;
    end  
end
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Ref.

1. 基于准滑动模态的滑模控制实例（采用饱和函数sat(s)代替符号函数）