线性代数的一些知识点

1.行列式

逆序数

容易理解，就是小的在大的后面就是有一个逆序

三阶行列式计算

符号怎么确定呢？
就需要用到逆序数了。

三阶行列式可以如上定义计算，符号与排列的逆序数奇偶有关。

n阶行列式

不过一般都是降到三阶再计算行列式。

行列式的性质

1. 行列式与它的转置行列式相等

2. 对换行列式的两行（列），行列式变号 =>如果两行相同则行列式为0

3. 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式=>行列式中某一行（列）的所有公因子可以提到行列式记号外面。
   

4. 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为0

5. 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，可以对应元素拆出两个行列式。
   

6. 把行列式的某一行（列）的各个元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。
   

余子式和代数余子式

代数余子式就是多了个符号

行列式展开

有了这两个概念就可以对行列式进行降阶了：


看个例子感悟一下:

2.矩阵及其运算

非齐次线性方程和齐次线性方程

一些矩阵的命名

一些矩阵的概念

矩阵运算

矩阵加法

数与矩阵相乘

矩阵相乘

矩阵相乘的法则

矩阵运算不满足交换律

矩阵的转置运算：

方阵的行列式计算：

伴随矩阵

逆矩阵

其实也说明，矩阵有逆，那么这个矩阵应该是一个方阵。

逆矩阵的运算规则与性质

奇异矩阵和非奇异矩阵

首先需要是方阵，才能继续谈这矩阵是奇异矩阵还是非奇异矩阵。

克拉默法则

其中|A1|就是系数矩阵第一列元素换成右端常数项后得到的n阶矩阵，A2…以此类推。

3.矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵初等

矩阵初等变换有三种形式

看个例子感悟一下：

B矩阵为系数矩阵+偏置矩阵
最终化为的形式为行阶梯形矩阵
当行阶梯形矩阵满足（1）非零行的首非零元为1；（2）首非零元所在的列的其他元均为0，则称此矩阵为行最简矩阵。

矩阵的秩

简单来说就是将矩阵化成行阶梯形矩阵，有多少行非零，则秩就是多少。

线性方程组解的情况

知道了如何求矩阵的秩

就可以来求解线性方程组解的情况了：


来个例子感悟一下：

4.向量组的线性相关性

n维向量

线性组合

线性表示

向量组

向量组的线性相关性

例题：

向量组的秩

线性方程组的解的结构

例题：

5.相似矩阵及二次型

内积的运算

正交的定义

标准正交基

标准正交化

感受一下这个过程：

正交矩阵

正交矩阵的性质

正交变换

上图这样的工作就是可以通过正交变换得到。

特征值与特征向量

来个例题感受一下怎么求：

相似矩阵

来个例题感受一下

对称矩阵的对角化

例题：

二次型、标准形、规范形

矩阵合同

例题：

正定二次型

赫尔维茨定理

例题：

总结

线性代数还是很重要的！以后还会再来补

参考

工程线性代数第六版-同济大学数学系 编