自动控制原理8.3---相平面法

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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3.相平面法

相平面法适用于分析常见非线性特性和一阶、二阶线性环节组合而成的非线性系统；

3.1 相平面的概念

考虑如下的二阶时不变系统：
$$\ddot{x}=f(x,\dot{x})$$
其中：$f(x,\dot{x})$是$x(t)$和$\dot{x}(t)$的线性或非线性函数；

$x(t)$和$\dot{x}(t)$称为系统运动的相变量(状态变量)，以$x(t)$为横坐标，$\dot{x}(t)$为纵坐标构成的直角坐标平面称为相平面；

相变量从初始时刻$t_0$对应的状态点$(x_0,{\dot{x}}_0)$起，随着时间$t$的推移，在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹；

根据微分方程解的存在与唯一性定理，对于任一给定的初始条件，相平面上有一条相轨迹与之对应；多个初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇，由一簇相轨迹组成的图形称为相平面图；

相轨迹在某些特定情况下，可以通过积分法，直接由微分方程获得$\dot{x}(t)$和$x(t)$的解析关系式；
$$\ddot{x}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}\cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\dot{x}\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}$$
可得：
$$\dot{x}\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=f(x,\dot{x})$$

$$g(\dot{x})\mathrm{d}\dot{x}=h(x)\mathrm{d}x$$

两端积分：
$${\int }_{{\dot{x}}_0}^{\dot{x}}g(\dot{x})\mathrm{d}\dot{x}={\int }_{x_0}^{x}h(x)\mathrm{d}x$$
其中：$x_0、{\dot{x}}_0$为初始条件；

实例分析：

$Example1：$ 弹簧-质量运动系统如下图所示，图中：$m$为物体的质量，$k$为弹簧的弹性系数，若初始条件为$x(0)=x_0,\dot{x}(0)={\dot{x}}_0$，确定系统自由运动的相轨迹。

解：

描述系统自由运动的微分方程为：
$$\ddot{x}+x=0\Rightarrow \dot{x}\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=-x$$

令$g(\dot{x})=\dot{x}，h(x)=-x$，可得：
$${\int }_{{\dot{x}}_0}^{\dot{x}}g(\dot{x})\mathrm{d}\dot{x}={\int }_{{\dot{x}}_0}^{\dot{x}}\dot{x}\mathrm{d}\dot{x}=\frac{1}{2}({\dot{x}}^2-{\dot{x}}_0^2)，{\int }_{x_0}^{x}h(x)\mathrm{d}x={\int }_{x_0}^x-x\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}(x^2-x_0^2)$$

整理可得：
$$x^2+{\dot{x}}^2=(x_0^2+{\dot{x}}_0^2)$$
该系统自由运动的相轨迹为以坐标原点为圆心、$\sqrt{x_0^2+{\dot{x}}_0^2}$为半径的圆。

3.2 相轨迹绘制的等倾线法

等倾线的基本思想：先确定相轨迹的等倾线，进而绘制相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹；

相轨迹微分方程：
$$\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}$$
上式给出了相轨迹在相平面上任一点$(x,\dot{x})$处切线的斜率；取相轨迹切线的斜率为某一常数$\alpha$，得等倾线方程：
$$\dot{x}=\frac{f(x,\dot{x})}{\alpha }$$
使用等倾线法绘制相轨迹应注意的几点：

• 坐标轴$x$和$\dot{x}$应选用相同的比例尺，以便于根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线；
• 在相平面的上半平面，由于$\dot{x}>0$，则$x$随$t$增大而增加，相轨迹的走向是由左向右；在相平面的下半平面，由于$\dot{x}<0$，则$x$随$t$增大而减小，相轨迹的走向应由右向左；
• 除系统的平衡点外，相轨迹与$x$轴的相交点处切线斜率$\alpha =\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}$应为$+\infty$或$-\infty$，即相轨迹与$x$轴垂直相交；
• 一般地，等倾线分布越密，所作的相轨迹越准确，等倾线法主要用来分析相轨迹的形状和走向；

3.3 线性系统的相轨迹

1. 线性一阶系统的相轨迹

   描述线性一阶系统自由运动的微分方程为：
   $$T\dot{c}+c=0$$
   相轨迹方程为：
   $$\dot{c}=-\frac{1}{T}c$$
   设系统初始条件为：$c(0)=c_0$，则$\dot{c}(0)={\dot{c}}_0=-\frac{1}{T}{c}_0$，相轨迹如下图所示：

   

   相轨迹位于原点，斜率为$-\frac{1}{T}$的直线上；当$T>0$时，相轨迹沿该直线收敛于原点；当$T<0$时，相轨迹沿该直线发散至无穷；

2. 线性二阶系统的相轨迹

   描述线性二阶系统自由运动的微分方程为：
   $$\ddot{c}+a\dot{c}+bc=0$$
   当$b>0$时，微分方程可表示为：
   $$\ddot{c}+2\zeta {\omega }_n\dot{c}+{\omega }_n^{2}c=0$$
   线性二阶系统的特征根为：
   $$s_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2}$$
   相轨迹微分方程为：
   $$\frac{\mathrm{d}\dot{c}}{\mathrm{d}c}=\frac{-a\dot{c}-bc}{\dot{c}}$$
   令$\frac{-a\dot{c}-bc}{\dot{c}}=\alpha$，可得等倾线方程：
   $$\dot{c}(t)=-\frac{bc(t)}{\alpha +a}=kc(t)$$
   其中：$k$为等倾线斜率；

   当$a^2-4b>0$，且$b\ne 0$时，可得满足$k=\alpha$的两条特殊的等倾线，其斜率为：
   $$k_{1,2}={\alpha }_{1,2}=s_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2}=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$$
   上式表明，特殊的等倾线的斜率等于位于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊的等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不可能脱离该等倾线；

   关于$b<0,b=0,b>0$的简单讨论：

   1. $b<0$

      系统特征根为：
      $$s_1=\frac{-a+\sqrt{a^2+4|b|}}{2}>0,s_2=\frac{-a-\sqrt{a^2+4|b|}}{2}<0$$
      $s_1,s_2$为两个符号相反的互异实根；

      $b<0$时，线性二阶系统的运动是不稳定的；

   2. $b=0$

      系统特征根为：
      $$s_1=0,s_2=-a$$
      相轨迹微分方程为：
      $$\frac{\mathrm{d}\dot{c}}{\mathrm{d}c}=-a$$
      积分法可得相轨迹方程：
      $$\dot{c}(t)-{\dot{c}}_0=-a(c(t)-c_0)$$
      相轨迹为过初始点$(c_0,{\dot{c}}_0)$，斜率为$-a$的直线，当$a>0$时，相轨迹收敛并最终停止在$c$轴上，当$a<0$时，相轨迹发散至无穷；

   3. $b>0$

      取$\zeta =\frac{a}{2\sqrt{b}}$：

      ① $0<\zeta <1$，系统特征根为一对具有负实部的共轭复根，相轨迹为向心螺旋线，最终趋于原点；

      ② $\zeta >1$，系统特征根为两个互异负实根：$s_1=-\zeta {\omega }_n+{\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1},s_2=-\zeta {\omega }_n-{\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$；

      ③ $\zeta =1$，系统特征根为两个相等的负实根；

      ④ $\zeta =0$，系统特征根为一对纯虚根$s_{1,2}=\pm \mathrm{j}{\omega }_n$；系统自由运动为等幅正弦振荡；

      ⑤ $-1<\zeta <0$，系统特征根为一对具有正实部的共轭复根，系统自由运动呈发散振荡形式；

      ⑥ $\zeta \le -1$，$\zeta <-1$时系统特征根为两个正实根,$s_1=|\zeta |{\omega }_n+{\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1},s_2=|\zeta |{\omega }_n-{\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$;系统自由运动呈非振荡发散；$\zeta =-1$时，系统特征根为两个相同的正实根，存在一条特殊的等倾线，系统相轨迹发散；

3.4 奇点和奇线

1. 奇点

   以微分方程$\ddot{x}=f(x,\dot{x})$表示的二阶系统，其相轨迹上每一点切线的斜率为$\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}}$，若在某点处$f(x,\dot{x})$和$\dot{x}$同时为零，即有：$\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=\frac{0}{0}$的不定形式，则称该点为相平面的奇点；

   相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点，因此，在奇点处，多条相轨迹相交；在相轨迹的非奇点处，不同时满足$\dot{x}=0$和$f(x,\dot{x})=0$，相轨迹切线斜率是一个确定的值，经过普通点的相轨迹只有一条；

   奇点一定位于相平面的横轴上，在奇点处，$\dot{x}=0,\ddot{x}=f(x,\dot{x})=0,$系统运动的速度和加速度同时为零；对于二阶系统来说，系统不再发生运动，处于平衡状态，因此，相平面的奇点亦称为平衡点；

   特征根在$s$平面上的分布决定了系统自由运动的形式，因此，可由此划分线性二阶系统奇点$(0,0)$的类型：

   • 焦点。当特征根为一对具有负实部的共轭复根时，奇点为稳定焦点；当特征根为一对具有正实部的共轭复根时，奇点为不稳定焦点；
   • 节点。当特征根为两个负实根时，奇点为稳定节点；当特征根为两个正实根时，奇点为不稳定节点；
   • 鞍点。当特征根一个为正实根，一个为负实根时，奇点为鞍点；
   • 若线性一阶系统的特征根为负实根(奇点为原点)或线性二阶系统的特征根一个为零根，另一个为负实根时(奇点为横轴)，相轨迹线性收敛；若线性一阶系统的特征根为负实根时或线性二阶系统一个根为零根，另一个根为正实根时，相轨迹线性发散；

   对于常微分方程$\ddot{x}=f(x,\dot{x})$，若$f(x,\dot{x})$解析，设$(x_0,{\dot{x}}_0)$为非线性系统的某个奇点，则可将$f(x,\dot{x})$在奇点$(x_0,{\dot{x}}_0)$处展开成泰勒级数，在奇点的小邻域内，略去$\Delta x=x-x_0$和$\Delta \dot{x}=\dot{x}-{\dot{x}}_0$的高次项，即取一次近似，则得到奇点附近关于$x$增量$\Delta x$的线性二阶微分方程：
   $$\Delta \ddot{x}={\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial x}|}_{x=x_0，\dot{x}={\dot{x}}_0}\Delta x+{\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}}|}_{x=x_0，\dot{x}={\dot{x}}_0}\Delta \dot{x}$$

2. 奇线

   奇线是特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的各个区域，最常见的奇线是极限环；由于非线性系统会出现自振荡，因此相应的相平面上会出现一条孤立的封闭曲线，曲线附近的相轨迹都渐近地趋向这条封闭的曲线，或从这条封闭的曲线离开；这条特殊的相轨迹就是极限环，极限环把相平面划分为内部平面和外部平面两部分；

   极限环是相互孤立的，在任何极限环的邻近不可能有其他的极限环，极限环是非线性系统中的特有现象，只发生在非守恒系统中，这种周期运动的原因不在于系统无阻尼，而是系统的非线性特性，它导致系统的能量作交替变化，这样就有可能从某种非周期性的能源中获取能量，从而维持周期运动；

   

   • 图$(\mathrm{a})$：稳定的极限环。当$t\to \infty$时，如果起始于极限环内部或外部的相轨迹均卷向极限环，则该极限环称为稳定的极限环；极限环内部的相轨迹发散至极限环，说明极限环的内部是不稳定的；极限环外部的相轨迹收敛至极限环，说明极限环外部是稳定的；
   • 图$(\mathrm{b})$：不稳定的极限环。当$t\to \infty$时，如果起始于极限环内部或外部的相轨迹均卷离极限环，则该极限环称为不稳定的极限环；极限环内部的相轨迹收敛至环内的奇点，说明极限环的内部是稳定区域；极限环外部的相轨迹发散至无穷远处，说明极限环的外部运动是不稳定区域；
   • 图$(\mathrm{c})$、图$(\mathrm{d})$：半稳定极限环。当$t\to \infty$时，如果起始于极限环内(外)部的相轨迹卷向极限环，而起始于极限环外(内)部的相轨迹卷离极限环，这种极限环称为半稳定极限环；图$(\mathrm{c})$中，其内部和外部都是不稳定区域，极限环所表示的周期运动是不稳定的，系统的运动最终将发散至无穷远处；图$(\mathrm{d})$中，其内部和外部都是稳定区域，极限环所表示的周期运动是稳定的，系统的运动最终将收敛至环内的奇点；

3. 实例分析

   $Example2：$ 已知非线性系统的微分方程为：
   $$\ddot{x}+0.5\dot{x}+2x+x^2=0$$
   求系统的奇点。

   解：

   系统相轨迹微分方程为：
   $$\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=\frac{-(0.5\dot{x}+2x+x^2)}{\dot{x}}$$
   令$\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=\frac{0}{0}$，求得系统的两个奇点：
   { x 1 = 0 x ˙ 1 = 0 ， { x 2 = − 2 x ˙ 2 = 0

   {x1=0x˙1=0" role="presentation" style="position: relative;">{x1=0x˙1=0$$\{\begin{array}{ll}& x_1=0\\ & {\dot{x}}_1=0\end{array}$$
   ，
   {x2=−2x˙2=0" role="presentation" style="position: relative;">{x2=−2x˙2=0$$\{\begin{array}{ll}& x_2=-2\\ & {\dot{x}}_2=0\end{array}$$
   {​x1​=0x˙1​=0​，{​x2​=−2x˙2​=0​
   计算各奇点处的一阶偏导数及增量线性化方程：

   奇点$(0,0)$处：
   $${\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial x}|}_{x=0，\dot{x}=0}=-2,{\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}}|}_{x=0，\dot{x}=0}=-0.5$$
   可得：
   $$\Delta \ddot{x}+0.5\Delta \dot{x}+2\Delta x=0$$
   特征根为：$s_{1,2}=-0.25\pm \mathrm{j}1.39$，因此，奇点$(0,0)$为稳定焦点；

   奇点$(-2,0)$处：
   $${\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial x}|}_{x=-2，\dot{x}=0}=2,{\frac{\partial f(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}}|}_{x=-2，\dot{x}=0}=-0.5$$
   可得：
   $$\Delta \ddot{x}+0.5\Delta \dot{x}-2\Delta x=0$$
   特征根为：$s_1=1.19,s_2=-1.69$，因此，奇点$(-2,0)$为鞍点；

3.5 非线性系统的相平面分析

常见非线性特性多数可用分段直线来表示，或者本身就是分段线性的；对于含有这些非线性特性的一大类非线性系统，由于不满足解析条件，无法采用小扰动线性化方法；可根据非线性的分段特点，将相平面分成若干区域进行研究，可使非线性微分方程在各个区域表现在线性微分方程，再应用线性系统的相平面分析方法；

这一类非线性特性曲线的折线的各转折点，构成了相平面区域的分界线，称为开关线；

1. 具有死区特性的非线性控制系统

   设系统结构如下图所示，系统初始状态为零，输入$r(t)=R\cdot 1(t)$；

   

   根据上图，可列写系统的微分方程：
   $$T\ddot{c}(t)+\dot{c}(t)=Km(t)$$

   m ( t ) = { k [ e ( t ) + Δ ] , e ( t ) ≤ − Δ 0 , ∣ e ( t ) ∣ < Δ k [ e ( t ) − Δ ] , e ( t ) ≥ Δ m(t)=

   {k[e(t)+Δ],e(t)≤−Δ0,|e(t)|<Δk[e(t)−Δ],e(t)≥Δ" role="presentation" style="position: relative;">⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪k[e(t)+Δ],0,k[e(t)−Δ],e(t)≤−Δ|e(t)|<Δe(t)≥Δ$$\{\begin{array}{lll}k[e(t)+\mathrm{\Delta }],& & e(t)\le -\mathrm{\Delta }\\ \\ 0,& & |e(t)|<\mathrm{\Delta }\\ \\ k[e(t)-\mathrm{\Delta }],& & e(t)\ge \mathrm{\Delta }\end{array}$$
   m(t)=⎩ ⎨ ⎧​k[e(t)+Δ],0,k[e(t)−Δ],​​e(t)≤−Δ∣e(t)∣<Δe(t)≥Δ​

   取$e(t),\dot{e}(t)$作为状态变量，按特性曲线分区域列写微分方程：
   区域Ⅰ： T e ¨ ( t ) + e ˙ + K k e = T r ¨ + r ˙ − K k Δ , e ≤ − Δ 区域Ⅱ： T e ¨ ( t ) + e ˙ = T r ¨ + r ˙ , ∣ e ∣ < Δ 区域Ⅲ： T e ¨ ( t ) + e ˙ + K k e = T r ¨ + r ˙ + K k Δ , e ≥ Δ

   区域Ⅰ：Te¨(t)+e˙+Kke=Tr¨+r˙−KkΔ,e≤−Δ区域Ⅱ：Te¨(t)+e˙=Tr¨+r˙,|e|<Δ区域Ⅲ：Te¨(t)+e˙+Kke=Tr¨+r˙+KkΔ,e≥Δ" role="presentation">区域Ⅰ：Te¨(t)+e˙+Kke=Tr¨+r˙−KkΔ,区域Ⅱ：Te¨(t)+e˙=Tr¨+r˙,区域Ⅲ：Te¨(t)+e˙+Kke=Tr¨+r˙+KkΔ,e≤−Δ|e|<Δe≥Δ$$\begin{array}{rlrl}& 区域Ⅰ：T\ddot{e}(t)+\dot{e}+Kke=T\ddot{r}+\dot{r}-Kk\mathrm{\Delta },& & e\le -\mathrm{\Delta }\\ \\ & 区域Ⅱ：T\ddot{e}(t)+\dot{e}=T\ddot{r}+\dot{r},& & |e|<\mathrm{\Delta }\\ \\ & 区域Ⅲ：T\ddot{e}(t)+\dot{e}+Kke=T\ddot{r}+\dot{r}+Kk\mathrm{\Delta },& & e\ge \mathrm{\Delta }\end{array}$$
   ​区域Ⅰ：Te¨(t)+e˙+Kke=Tr¨+r˙−KkΔ,区域Ⅱ：Te¨(t)+e˙=Tr¨+r˙,区域Ⅲ：Te¨(t)+e˙+Kke=Tr¨+r˙+KkΔ,​​e≤−Δ∣e∣<Δe≥Δ​
   $e=-\Delta$和$e=\Delta$为死区特性的转折点，亦为相平面的开关线；

   代入$r(t)$形式，因为$\ddot{r}(t)=\dot{r}(t)=0$，整理可得：
   区域Ⅰ： T ( e + Δ ) ′ ′ + ( e + Δ ) ′ + K k ( e + Δ ) = 0 , e ≤ − Δ 区域Ⅱ： T e ¨ + e ˙ = 0 , ∣ e ∣ < Δ 区域Ⅲ： T ( e − Δ ) ′ ′ + ( e − Δ ) ′ + K k ( e − Δ ) = 0 , e ≥ Δ

   区域Ⅰ：T(e+Δ)′′+(e+Δ)′+Kk(e+Δ)=0,e≤−Δ区域Ⅱ：Te¨+e˙=0,|e|<Δ区域Ⅲ：T(e−Δ)′′+(e−Δ)′+Kk(e−Δ)=0,e≥Δ" role="presentation" style="position: relative;">区域Ⅰ：T(e+Δ)′′+(e+Δ)′+Kk(e+Δ)=0,区域Ⅱ：Te¨+e˙=0,区域Ⅲ：T(e−Δ)′′+(e−Δ)′+Kk(e−Δ)=0,e≤−Δ|e|<Δe≥Δ$$\begin{array}{rlrl}& 区域Ⅰ：T(e+\mathrm{\Delta }{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(e+\mathrm{\Delta }{)}^{\mathrm{\prime }}+Kk(e+\mathrm{\Delta })=0,& & e\le -\mathrm{\Delta }\\ \\ & 区域Ⅱ：T\ddot{e}+\dot{e}=0,& & |e|<\mathrm{\Delta }\\ \\ & 区域Ⅲ：T(e-\mathrm{\Delta }{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(e-\mathrm{\Delta }{)}^{\mathrm{\prime }}+Kk(e-\mathrm{\Delta })=0,& & e\ge \mathrm{\Delta }\end{array}$$
   ​区域Ⅰ：T(e+Δ)′′+(e+Δ)′+Kk(e+Δ)=0,区域Ⅱ：Te¨+e˙=0,区域Ⅲ：T(e−Δ)′′+(e−Δ)′+Kk(e−Δ)=0,​​e≤−Δ∣e∣<Δe≥Δ​
   若给定参数$T=1,Kk=1$，根据线性系统相轨迹分析结果，可得奇点类型：
   区域Ⅰ：奇点 ( − Δ , 0 ) 为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线； 区域Ⅱ：奇点 ( x , 0 ) ， x ∈ ( − Δ , Δ ) ，相轨迹沿直线收敛； 区域Ⅲ：奇点 ( Δ , 0 ) 为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线；
   区域Ⅰ：奇点(−Δ,0)为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线；区域Ⅱ：奇点(x,0)，x∈(−Δ,Δ)，相轨迹沿直线收敛；区域Ⅲ：奇点(Δ,0)为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线；" role="presentation" style="position: relative;">区域Ⅰ：奇点(−Δ,0)为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线；区域Ⅱ：奇点(x,0)，x∈(−Δ,Δ)，相轨迹沿直线收敛；区域Ⅲ：奇点(Δ,0)为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线；$$\begin{array}{rl}& 区域Ⅰ：奇点(-\mathrm{\Delta },0)为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线；\\ \\ & 区域Ⅱ：奇点(x,0)，x\in (-\mathrm{\Delta },\mathrm{\Delta })，相轨迹沿直线收敛；\\ \\ & 区域Ⅲ：奇点(\mathrm{\Delta },0)为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线；\end{array}$$
   ​区域Ⅰ：奇点(−Δ,0)为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线；区域Ⅱ：奇点(x,0)，x∈(−Δ,Δ)，相轨迹沿直线收敛；区域Ⅲ：奇点(Δ,0)为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线；​

2. 具有饱和特性的非线性控制系统

   设具有饱和特性的非线性控制系统如下图所示，图中：$T=1,K=4,e_0=M_0=0.2$，系统初始状态为零。

   

   取状态变量为$e(t)$和$\dot{e}(t)$，按饱和特性列写如下三个线性微分方程：
   T e ¨ + e ˙ − K M 0 = T r ¨ + r ˙ ， e ≤ − e 0 T e ¨ + e ˙ − M M 0 e 0 e = T r ¨ + r ˙ ， ∣ e ∣ < e 0 T e ¨ + e ˙ + K M 0 = T r ¨ + r ˙ ， e ≥ e 0

   Te¨+e˙−KM0=Tr¨+r˙，e≤−e0Te¨+e˙−MM0e0e=Tr¨+r˙，|e|<e0Te¨+e˙+KM0=Tr¨+r˙，e≥e0" role="presentation" style="position: relative;">Te¨+e˙−KM0=Tr¨+r˙，Te¨+e˙−MM0e0e=Tr¨+r˙，Te¨+e˙+KM0=Tr¨+r˙，e≤−e0|e|<e0e≥e0$$\begin{array}{rlrl}& T\ddot{e}+\dot{e}-K{M}_0=T\ddot{r}+\dot{r}，& & e\le -e_0\\ \\ & T\ddot{e}+\dot{e}-M\frac{M_0}{e_0}e=T\ddot{r}+\dot{r}，& & |e|<e_0\\ \\ & T\ddot{e}+\dot{e}+K{M}_0=T\ddot{r}+\dot{r}，& & e\ge e_0\end{array}$$
   ​Te¨+e˙−KM0​=Tr¨+r˙，Te¨+e˙−Me0​M0​​e=Tr¨+r˙，Te¨+e˙+KM0​=Tr¨+r˙，​​e≤−e0​∣e∣<e0​e≥e0​​
   开关线$e=-e_0$和$e=e_0$将相平面分为负饱和区、线性区和正饱和区。

3. 具有滞环继电特性的非线性控制系统结构如下图所示，其中：$H(s)$为反馈网络，$r(t)=0$；

   

   1. 单位反馈$H(s)=1$：

      根据滞环继电特性分区间列写微分方程如下：
      T c ¨ + c ˙ + K M 0 = 0 , c > h 或 c > − h , c ˙ < 0 T c ¨ + c ˙ − K M 0 = 0 , c < − h 或 c < h , c ˙ > 0

      Tc¨+c˙+KM0=0,c>h或c>−h,c˙<0Tc¨+c˙−KM0=0,c<−h或c<h,c˙>0" role="presentation" style="position: relative;">Tc¨+c˙+KM0=0,Tc¨+c˙−KM0=0,c>h或c>−h,c˙<0c<−h或c<h,c˙>0$$\begin{array}{rlr}& T\ddot{c}+\dot{c}+K{M}_0=0,& c>h或c>-h,\dot{c}<0\\ & T\ddot{c}+\dot{c}-K{M}_0=0,& c<-h或c<h,\dot{c}>0\end{array}$$
      ​Tc¨+c˙+KM0​=0,Tc¨+c˙−KM0​=0,​c>h或c>−h,c˙<0c<−h或c<h,c˙>0​
      开关线为：$c=h,\dot{c}>0;c=-h,\dot{c}<0;-h<c<h,\dot{c}=0$将相平面划分为左右两个区域；

      左区域内存在一条特殊的相轨迹$\dot{c}=K{M}_0(k=a=0)$，右区域内存在一条特殊的相轨迹$\dot{c}=-K{M}_0$；

      在输入为$r(t)=R\cdot 1(t)$条件下，有：
      T e ¨ + e ˙ + K M 0 = T r ¨ + r ˙ = 0 , e > h 或 e > − h , e ˙ < 0 T e ¨ + e ˙ − K M 0 = T r ¨ + r ˙ = 0 , e < − h 或 e < h , e ˙ > 0

      Te¨+e˙+KM0=Tr¨+r˙=0,e>h或e>−h,e˙<0Te¨+e˙−KM0=Tr¨+r˙=0,e<−h或e<h,e˙>0" role="presentation" style="position: relative;">Te¨+e˙+KM0=Tr¨+r˙=0,Te¨+e˙−KM0=Tr¨+r˙=0,e>h或e>−h,e˙<0e<−h或e<h,e˙>0$$\begin{array}{rlr}& T\ddot{e}+\dot{e}+K{M}_0=T\ddot{r}+\dot{r}=0,& e>h或e>-h,\dot{e}<0\\ & T\ddot{e}+\dot{e}-K{M}_0=T\ddot{r}+\dot{r}=0,& e<-h或e<h,\dot{e}>0\end{array}$$
      ​Te¨+e˙+KM0​=Tr¨+r˙=0,Te¨+e˙−KM0​=Tr¨+r˙=0,​e>h或e>−h,e˙<0e<−h或e<h,e˙>0​
      系统状态$e(t)，\dot{e}(t)$仍将最终处于自振状态，即滞环特性恶化了系统的品质，使系统处于失控状态；

   2. 速度反馈$H(s)=1+\tau s(0<\tau <T)$：

      加入速度反馈控制后，非线性系统在无输入作用下的微分方程为：
      T c ¨ + c ˙ + K M 0 = 0 , c + τ c ˙ > h 或 c + τ c ˙ > − h , c ˙ + τ c ¨ < 0 T c ¨ + c ˙ − K M 0 = 0 , c + τ c ˙ < − h 或 c + τ c ˙ < h , c ˙ + τ c ¨ > 0

      Tc¨+c˙+KM0=0,c+τc˙>h或c+τc˙>−h,c˙+τc¨<0Tc¨+c˙−KM0=0,c+τc˙<−h或c+τc˙<h,c˙+τc¨>0" role="presentation" style="position: relative;">Tc¨+c˙+KM0=0,c+τc˙>h或c+τc˙>−h,c˙+τc¨<0Tc¨+c˙−KM0=0,c+τc˙<−h或c+τc˙<h,c˙+τc¨>0$$\begin{array}{rl}& T\ddot{c}+\dot{c}+K{M}_0=0,c+\tau \dot{c}>h或c+\tau \dot{c}>-h,\dot{c}+\tau \ddot{c}<0\\ & T\ddot{c}+\dot{c}-K{M}_0=0,c+\tau \dot{c}<-h或c+\tau \dot{c}<h,\dot{c}+\tau \ddot{c}>0\end{array}$$
      ​Tc¨+c˙+KM0​=0,c+τc˙>h或c+τc˙>−h,c˙+τc¨<0Tc¨+c˙−KM0​=0,c+τc˙<−h或c+τc˙<h,c˙+τc¨>0​