【数学分析笔记05】数列极限的性质

引言

本科毕业以后越觉数学的奇妙，想弥补一下数学知识的证明，做点记录，方便后续查阅。

1.知识铺垫：数列极限的性质

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(1)极限的唯一性

定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一
(本例摘自参考资料[1]p38 【第二章 第列极限 $\S 2$数列极限】)
$$【证明】$$
技巧：给出两个极限想到进行合并，可能会用到三角不等式

证假设 { x n } \{x_n\} {xn​}有极限$a$与$b$,根据极限的定义，$\forall \epsilon >0,\exists N_1,\forall n>N_1:|x_n-a|<\frac{\epsilon }{2};且\exists N_2,\forall n>N_2:|x_n-b|<\frac{\epsilon }{2}$
取 N = max ⁡ { N 1 , N 2 } N=\max{\{N1,N2\}} N=max{N1,N2},利用三角不等式，则$\forall n>N$:
$$|a-b|=|a-x_n+x_n-b|\le |x_n-a|+|x_n-b|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$$由$\epsilon$可以任意接近于0，即知$a=b$
证毕

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(2)数列的有界性

对于数列 { x n } \{x_n\} {xn​},如果存在实数$M$,使数列的所有的项都满足
$$x_n\le M,n=1,2,3,\dots$$则称$M$是数列 { x n } \{x_n\} {xn​}的上界。如果存在实数$m$,使数列的所有的项都满足
$$m\le x_n,n=1,2,3,\dots$$则称$m$是数列 { x n } \{x_n\} {xn​}的下界。一个数列 { x n } \{x_n\} {xn​},若既有上界又有下界，则称之为有界数列。显然数列 { x n } \{x_n\} {xn​}有界的一个等价定义是：存在正实数$X$,使数列的所有项都满足
$$|x_n|\le X,n=1,2,3,\dots$$

定理2.2.2 收敛数列必有界

(本例摘自参考资料[1]p38 【第二章 第列极限 $\S 2$数列极限】)

$$【证明】$$
技巧：取一个特殊的$\epsilon$，针对超过第$N$项的数项有界，在前$N$项的的数项为有限的，也是有界的，这样就找到了上下界。

证设数列 { x n } \{x_n\} {xn​}收敛，极限为$a$,由极限的定义，取$\epsilon =1$,则$\exists N$,$n>N$:$|x_n-a|<1$,即
$$a-1<x_n<a+1$$取 M = max ⁡ { x 1 , x 2 , … , x N , a + 1 } M=\max\{x_1,x_2,…,x_N,a+1\} M=max{x1​,x2​,…,xN​,a+1}, m = min ⁡ { x 1 , x 2 , … , x N , a − 1 } m=\min\{x_1,x_2,…,x_N,a-1\} m=min{x1​,x2​,…,xN​,a−1},显然对 { x n } \{x_n\} {xn​}所有的项，成立
$$m\le x_n\le M,n=1,2,3,\dots$$
证毕

要注意定理2.2.2 的逆命题并不成立，即有界数列未必收敛，例如$\{(一1{)}^n\}$是有界数列，但它并不收敛

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(3)数列的保序性

定理2.2.3 设数列 { x n } , { y n } \{x_n\},\{y_n\} {xn​},{yn​}皆收敛，若${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$, ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b$ ,且$a<b$,则存在自然数$N$,当$n>N$时，成立$x_n<y_n$

(本例摘自参考资料[1]p39 【第二章 第列极限 $\S 2$数列极限】)

$$【证明】$$
技巧：取$\epsilon =\frac{b-a}{2}$，构造中间的数$\frac{a+b}{2}进行过渡$

取$\epsilon =\frac{b-a}{2}>0$，由于${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，$\exists N_1$,$n>N_1$:$|x_n-a|<\frac{b-a}{2}$，因而
$$x_n<a+\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}$$由于${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b$，$\exists N_2$,$n>N_2$:$|y_n-b|<\frac{b-a}{2}$，因而
$$y_n>b-\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}$$取 N = max ⁡ { N 1 , N 2 } , ∀ n > N N=\max\{N_1,N_2\}, \forall n>N N=max{N1​,N2​},∀n>N有
$$x_n<\frac{a+b}{2}<y_n$$
证毕

推论 ：若 ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b\ne 0$，则存在自然数$N$,当$n>N$时，成立$|y_n|>\frac{|b|}{2}>0$

其他命题1 ：设数列 { x n } , { y n } \{x_n\},\{y_n\} {xn​},{yn​}皆收敛，若${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$, ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b$ ,若存在自然数$N$,当$n>N$时，成立$x_n<y_n$，则$a<b$。
（不成立，$x_n=\frac{1}{n}$，$y_n=\frac{2}{n}$，但是$a=b=0$）

其他命题2 ：设数列 { x n } , { y n } \{x_n\},\{y_n\} {xn​},{yn​}皆收敛，若${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$, ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b$ ,若存在自然数$N$,当$n>N$时，成立$x_n\le y_n$，则$a\le b$。
（成立）

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(4)数列的夹逼性

定理2.2.4 若三个数列 { x n } , { y n } , { z n } \{x_n\},\{y_n\},\{z_n\} {xn​},{yn​},{zn​}从某项开始成立
$$x_n\le y_n\le z_n,n>n_0$$
且${\lim }_{n\to \infty }{x}_n={\lim }_{n\to \infty }{z}_n=a$，则${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=a$
(本例摘自参考资料[1]p39 【第二章 第列极限 $\S 2$数列极限】)

$$【证明】$$
技巧：根据已知条件凑出$y_n$极限是$a$，从定义出发

$\forall \epsilon >0$, 由于${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，$\exists N_1$,$n>N_1$:$|x_n-a|<\epsilon$，因而
$$x_n>a-\epsilon$$由于${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=a$，$\exists N_2$,$n>N_2$:$|z_n-a|<\epsilon$，因而
$$z_n<a+\epsilon$$, 取 N = max ⁡ { N 1 , N 2 } , ∀ n > N N=\max\{N_1,N_2\}, \forall n>N N=max{N1​,N2​},∀n>N有
$$a-\epsilon <x_n\le y_n\le z_n<a+\epsilon$$
于是有
$$|y_n-a|<\epsilon$$所以${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=a$
证毕

我们常常利用夹逼性来求数列的极限。
典型例题：
例2.2.7 数列 { n + 1 − n } \{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\} {n+1 ​−n ​}极限为0
技巧：平方差公式的反用,夹逼性的典型使用
例2.2.8 lim ⁡ n → ∞ ( a 1 n + a 2 n + ⋯ + a p n ) 1 n   =   max ⁡ 1 ≤ i ≤ p { a i }   \operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}\bigl(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{p}^{n}\bigr)^{\frac{1}{n}}\,=\,\operatorname*{max}_{1\leq i\leq p}\{a_i\}\, limn→∞​(a1n​+a2n​+⋯+apn​)n1​=max1≤i≤p​{ai​}, 其中$a_i\ge 0(i=1,2,3,\cdots ,p)$
技巧：夹逼性的典型使用,构造两个极端，括号内大于最大数和括号内全是最大数

参考资料

[1]数学分析[M]. 高等教育出版社 , 陈纪修等[编著], 2004