【高等数学基础进阶】常微分方程-part1

一、常微分方程的基本概念

定义：含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程

定义：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶

定义：找出这样的一个函数，把这个函数带入微分方程使该方程成为恒等式，这个函数就叫做微分方程的解

定义：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。即几阶微分方程，通解中就会有几个任意常数

定义：由于通解中含有任意常数，为了确定任意常数的值，引入初值条件，例如：如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是$y{|}_{x=x_0}=y_0$，如果微分方程是二阶的，确定任意常数的条件为$y{|}_{x=x_0}=y_0,y^{\prime }{|}_{x=x_0}=y_0^{\prime }$，其中$x_0,y_0,y_0^{\prime }$都是给定的值，上述条件即为初值条件，通过初值条件可以确定通解中的任意常数，所得到的就是微分方程的特解。由于几阶微分方程就含有几个任意常数，所以就需要知道几个初值条件

定义：微分方程的解对应的曲线就叫做微分方程的积分曲线

二、一阶线性微分方程

可分离变量的方程$y^{\prime }=f(x)g(x)$

定义：如果一个一阶微分方程能写成$g(y)dy=f(x)dx$的形式，也就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和$dy$，另一端只含$x$的函数和$dx$，那么原方程就称为可分离变量的微分方程

求解方法

1. 将微分方程化为$g(y)dy=f(x)dx$
2. 将上式两端同时积分得 ∫ g ( y ) d t = ∫ f ( x ) d x
   ∫g(y)dt=∫f(x)dx" role="presentation" style="position: relative;">∫g(y)dt=∫f(x)dx$$\begin{array}{r}\int g(y)dt=\int f(x)dx\end{array}$$
   ∫g(y)dt=∫f(x)dx​
3. 设$G(x)$及$F(x)$依次为$g(y)$及$f(x)$的原函数，得$G(y)=F(x)+C$

齐次方程$\frac{dy}{dx}=\varphi (\frac{y}{x})$

定义：如果一阶微分方程可以化为$\frac{dy}{dx}=\varphi (\frac{y}{x})$的形式，那么就称该微分方程为齐次方程。

$n$次齐次函数，即$f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)$
显然本题所谓的齐次方程就是$0$次齐次函数，因此叫齐次方程

求解方法

1. 将原微分方程化为$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$的形式
2. 令$u(x)=\frac{y}{x}$，则$y=ux$，$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$
3. 原微分方程可化为 u + x d u d x = f ( u )
   u+xdudx=f(u)" role="presentation" style="position: relative;">u+xdudx=f(u)$$\begin{array}{r}u+x\frac{du}{dx}=f(u)\end{array}$$
   u+xdxdu​=f(u)​，将其分离变量得 d u f ( u ) − u = d x x
   duf(u)−u=dxx" role="presentation" style="position: relative;">duf(u)−u=dxx$$\begin{array}{r}\frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}\end{array}$$
   f(u)−udu​=xdx​​，两边同时积分得 ∫ d u f ( u ) − u = ∫ d x x
   ∫duf(u)−u=∫dxx" role="presentation" style="position: relative;">∫duf(u)−u=∫dxx$$\begin{array}{r}\int \frac{du}{f(u)-u}=\int \frac{dx}{x}\end{array}$$
   ∫f(u)−udu​=∫xdx​​
4. 求出积分之后，将$\frac{y}{x}$代替$u$，得到齐次方程的通解

线性方程$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$

通解为
y = e − ∫ P ( x ) d x [ ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ]

y=e−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]​
在这里的如果有 ∫ p ( x ) d x = ∫ 1 x d x = ln ⁡ x

∫p(x)dx=∫1xdx=ln⁡x" role="presentation" style="position: relative;">∫p(x)dx=∫1xdx=lnx$$\begin{array}{r}{\int }_{}^{}p(x)dx={\int }_{}^{}\frac{1}{x}dx=\ln x\end{array}$$

∫​p(x)dx=∫​x1​dx=lnx​，可以不加绝对值

伯努利方程$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }(\alpha \ne 1)$

求解方法及通解形式

1. 将等式两端同除$y^n$，得 y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) (1)
   y−ndydx+P(x)y1−n=Q(x)(1)" role="presentation" style="position: relative;">y−ndydx+P(x)y1−n=Q(x)(1)$$\begin{array}{r}{y}^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)\text{(1)}\end{array}$$
   y−ndxdy​+P(x)y1−n=Q(x)(1)​
2. 令$z=y^{1-n}$，那么 d z d x = ( 1 − n ) y − n d y d x
   dzdx=(1−n)y−ndydx" role="presentation" style="position: relative;">dzdx=(1−n)y−ndydx$$\begin{array}{r}\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}\end{array}$$
   dxdz​=(1−n)y−ndxdy​​
3. 将$(1-n)$乘在(1)式两端，经过代换变成 d z d x + ( 1 − n ) P ( x ) z = ( 1 − n ) Q ( x )
   dzdx+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)" role="presentation" style="position: relative;">dzdx+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)$$\begin{array}{r}\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)\end{array}$$
   dxdz​+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)​，解出方程的通解，再将$z$用$y^{1-n}$代换，得到方程的通解

全微分方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

判定方法：
$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

解法：
偏积分、凑微分、线积分

三、可降阶的高阶方程

$y^{(n)}=f(x)$

求解方法：
将微分方程$y^{(n)}=f(x)$的两端同时$x$积分得$y^{(n-1)}=\int f(x)dx+C_1$，再对等式两边同时积分得$y^{(n-2)}=\int [\int f(x)dx+C_1]dx+C_2$，连续积分$n$次，得到方程含有$n$个任意常数的通解

$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$

求解方法

1. 令$y^{\prime }=p$，则$y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=p^{\prime }$
2. 原微分方程变为 d p d x = f ( x , p )
   dpdx=f(x,p)" role="presentation" style="position: relative;">dpdx=f(x,p)$$\begin{array}{r}\frac{dp}{dx}=f(x,p)\end{array}$$
   dxdp​=f(x,p)​，解微分方程得$p=p(x,C_1)$
3. 由于$\frac{dy}{dx}=p$，则$\frac{dy}{dx}=p(x)$，解得$y=\int p(x,C_1)dx+C_2$

$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$

求解方法：

1. 令$y^{\prime }=p$，则 y ′ ′ = d p d x = d p d y d y d x = p d p d y
   y″=dpdx=dpdydydx=pdpdy" role="presentation">y′′=dpdx=dpdydydx=pdpdy$$\begin{array}{r}{y}^{″}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}\end{array}$$
   y′′=dxdp​=dydp​dxdy​=pdydp​​
2. 原微分方程变为 p d p d y = f ( y , p )
   pdpdy=f(y,p)" role="presentation" style="position: relative;">pdpdy=f(y,p)$$\begin{array}{r}p\frac{dp}{dy}=f(y,p)\end{array}$$
   pdydp​=f(y,p)​，解微分方程得$p=p(y,C_1)$
3. 由于$\frac{dy}{dx}=p$，再对其分离变量，解得微分方程的通解

四、高阶线性微分方程

线性方程的解的结构

齐次方程：$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$
非齐次方程：$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$

定理1：如果$y_1(x)$和$y_2(x)$是齐次方程的两个线性无关的特解，那么
$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$$
就是齐次方程的解

定理2：如果$y^{\ast }$是非齐次方程的一个特解，$y_1(x)$和$y_2(x)$是齐次方程的两个线性无关的特解，则
$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+y^{\ast }(x)$$
是非齐次方程的通解

定理3：如果$y_1^{\ast }(x),y_2^{\ast }$是非齐次方程的两个特解，则
$$y(x)=y_1^{\ast }(x)-y_2^{\ast }$$
是齐次微分方程的解

定理4：如果$y_1^{\ast }(x),y_2^{\ast }$分别是方程
y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f 1 ( x ) y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f 2 ( x )

y′′+p(x)y′+q(x)y=f1​(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=f2​(x)​
的特解，则
$$y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }$$
是方程$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$的一个特解

定理5：如果$y^{\ast }(x)$是非齐次方程的一个特解，$y_0(x)$是非齐次方程对应的齐次方程的通解，则
$$y=y_0(x)+y^{\ast }(x)$$
是非齐次方程的通解

定理5就是对定理2的简单阐述，主要用于二阶常系数非齐次线性微分方程的求解。用定理2也可以

二阶常系数齐次线性微分方程$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$

特征方程${\lambda }^2+p\lambda +q=0$

求解方法及通解形式

1. 写出微分方程的特征方程${\lambda }^2+p\lambda +q=0$。即，将$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+q=0$中y的几阶导数就变为$\lambda$的几次方
2. 求出特征方程的两个根${\lambda }_1,{\lambda }_2$
3. 根据特征根的不同形式，写出微分方程的通解

高阶常系数齐次线性微分方程$y^{(n)}+p_1{y}^{(n-1)}+p_2{y}^{(n-2)}+\cdots +p_{n-1}{y}^{\prime }+p_{n}y=0$

例1：设高阶常系数齐次线性微分方程的特征根是${\lambda }_1=2,{\lambda }_2={\lambda }_3=3,{\lambda }_{4,5}=1\pm i,{\lambda }_{6,7}=2\pm 3i,{\lambda }_{8,9}=2\pm 3i$

$$y_{\text{齐通}}=C_1{e}^{2x}+e^{3x}(C_2+C_{3}x)+e^x(C_4\cos x+C_5\sin x)+e^{2x}[(C_6+C_{7}x)\cos 3x+(C_8+C_{9}x)\sin 3x]$$

例2：求方程$y^{(4)}-2y^{\prime \prime \prime }+5y^{\prime \prime }=0$的通解

解特征方程
$${\lambda }^4-2{\lambda }^3+5{\lambda }^2=0\Rightarrow {\lambda }^2({\lambda }^2-2\lambda +5)=0$$
解得，
$${\lambda }_1={\lambda }_2=0，{\lambda }_{3,4}=\frac{2\pm \sqrt{4-20}}{2}=1\pm 2i$$
故
$$y_{\text{齐通}}=C_1+C_{2}x+e^x[C_3\cos 2x+C_4\sin 2x]$$

二阶常系数非齐次线性微分方程$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$

求解方法及通解形式

先求二阶常系数齐次线性微分方程的通解（得到${\lambda }_1,{\lambda }_2$）
一下分两种情况讨论（其余情况不讨论）

$f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$

当
$$f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$$
时，$P_m(x)$为$x$的$m$次多项式，则微分方程的特解可设为
$$y^{\ast }=x^k{Q}_m(x)e^{\lambda x}$$
其中$Q_m(x)$是与$P_m(x)$同次的多项式，$k$是特征方程含根$\lambda$的重数
$y^{\ast }=x^k{Q}_m(x)e^{\lambda x}$中的
{ e λ x 照抄 x k 中的 k = { 0 , λ 1 ≠ λ 且 λ 2 ≠ λ 1 , λ 1 = λ , λ 2 ≠ λ 或 λ 2 = λ , λ 1 ≠ λ 2 , λ 1 = λ 2 = λ Q m ( x ) 是设的与 P m ( x ) 同次多项式

\\Q_{m}(x)\text{是设的与}P_{m}(x)\text{同次多项式}\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​eλx照抄xk中的k=⎩ ⎨ ⎧​0,λ1​=λ且λ2​=λ1,λ1​=λ,λ2​=λ或λ2​=λ,λ1​=λ2,λ1​=λ2​=λ​Qm​(x)是设的与Pm​(x)同次多项式​

$f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]$

当
$$f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]$$
时，其中$P_l(x),P_n(x)$分别为$x$的$l$次，$n$次多项式，则微分方程的特解可设为
$$y^{\ast }=x^k{e}^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)\cos \beta x+R_m^{(2)}(x)\sin \beta x]$$
其中$R_m^{(1)}(x),R_m^{(2)}(x)$是两个$x$的$m$次多项式， m = max ⁡ { l , n } m=\max\{l,n\} m=max{l,n}，当$\alpha \pm \beta i$不是齐次方程的特征根时，取$k=0$；当$\alpha \pm \beta i$是齐次方程的特征根时，取$k=1$

再根据定理5即可得到通解

例3：求微分方程$y^{\prime \prime }+y=x\cos 2x$的通解

齐次方程，
$$y^{\prime \prime }+y=0\Rightarrow {\lambda }^2+1=0\Rightarrow {\lambda }_{1,2}=0\pm i$$
因此
$$y_{\text{齐通}}=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)=C_1\cos x+C_2\sin x$$
设
y ∗ = e α x x 0 [ ( a x + b ) cos ⁡ 2 x + ( c x + d ) sin ⁡ 2 x ] = ( a x + b ) cos ⁡ 2 x + ( c x + d ) sin ⁡ 2 x y ′ ∗ = sin ⁡ 2 x ( − 2 a x − 2 b + c ) + cos ⁡ 2 x ( 2 c x + 2 d + a ) y ′ ′ ∗ = sin ⁡ 2 x ( − 4 c x − 4 d − 4 a ) + cos ⁡ 2 x ( − 4 a x − 4 b + 4 c )

y∗y′∗y′′∗​=eαxx0[(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x]=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x=sin2x(−2ax−2b+c)+cos2x(2cx+2d+a)=sin2x(−4cx−4d−4a)+cos2x(−4ax−4b+4c)​
将$y^{\ast },y^{\prime \ast },y^{\prime \prime \ast }$代入微分方程
$$\sin 2x(-3cx-3d-4a)+\cos 2x(-3ax-3b+4c)=x\cos 2x$$
有
{ − 3 c = 0 − 3 d − 4 a = 0 3 − 3 a = 1 − 3 b + 4 c = 0 ⇒ { a = − 1 3 b = 0 c = 0

{−3c=0−3d−4a=03−3a=1−3b+4c=0" role="presentation" style="position: relative;">⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪−3c=0−3d−4a=03−3a=1−3b+4c=0$$\{\begin{array}{l}-3c=0\\ -3d-4a=0\\ 3-3a=1\\ -3b+4c=0\end{array}$$

\Rightarrow

{a=−13b=0c=0" role="presentation" style="position: relative;">⎧⎩⎨⎪⎪a=−13b=0c=0$$\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{3}\\ b=0\\ c=0\end{array}$$

⎩ ⎨ ⎧​−3c=0−3d−4a=03−3a=1−3b+4c=0​⇒⎩ ⎨ ⎧​a=−31​b=0c=0​
故
$$y^{\ast }=-\frac{1}{3}x\cos 2x+\frac{4}{9}\sin 2x$$
故
y 非齐通 = y 齐通 + y ∗ = C 1 cos ⁡ x + C 2 sin ⁡ x − 1 2 x cos ⁡ 2 x + 4 9 sin ⁡ 2 x ( C 1 , C 2 为任意常数 )

y非齐通=y齐通+y∗=C1cos⁡x+C2sin⁡x−12xcos⁡2x+49sin⁡2x(C1,C2为任意常数)" role="presentation" style="position: relative;">y非齐通=y齐通+y∗=C1cosx+C2sinx−12xcos2x+49sin2x(C1,C2为任意常数)$$\begin{array}{rl}{y}_{\text{非齐通}}& =y_{\text{齐通}}+y\ast \\ & =C_1\cos x+C_2\sin x-\frac{1}{2}x\cos 2x+\frac{4}{9}\sin 2x\\ & (C_1,C_2\text{为任意常数})\end{array}$$

y非齐通​​=y齐通​+y∗=C1​cosx+C2​sinx−21​xcos2x+94​sin2x(C1​,C2​为任意常数)​

例4：求微分方程$y^{\prime \prime }+5y^{\prime }+4y=3-2x$的通解

齐次方程，
$$y^{\prime \prime }+5y^{\prime }+4y=0\Rightarrow {\lambda }^2+5\lambda +4=0\Rightarrow {\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=-4$$
故
$$y_{\text{齐通}}=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{-4x}$$
设
y ∗ = x 0 ( a x + b ) = a x + b y ′ ∗ = a y ′ ′ ∗ = 0

y∗y′∗y′′∗​=x0(ax+b)=ax+b=a=0​
将$y^{\ast },y^{\prime \ast },y^{\prime \prime \ast }$代入微分方程$y^{\prime \prime }+5y^{\prime }+4y=3-2x$中
解得
{ a = − 1 2 b = 11 8

{a=−12b=118" role="presentation" style="position: relative;">{a=−12b=118$$\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=\frac{11}{8}\end{array}$$

{a=−21​b=811​​
故
$$y\ast =-\frac{1}{2}x+\frac{11}{8}$$
故
$$y_{\text{非齐通}}=y_{\text{齐通}}+y^{\ast }=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{-4x}-\frac{1}{2}x+\frac{11}{8}$$

欧拉方程$x^n{y}^{(n)}+a_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}x{y}^{\prime }+a_{n}y=f(x)$

令$x=e^t$
y ′ = d y d x = d y d t d t d x = 1 x d y d t x y ′ = d y d t y ′ ′ = d 2 y d t 2 1 x 2 − 1 x 2 d y d t x 2 y ′ ′ = d 2 y d t 2 − d y d t

y′xy′y′′x2y′′​=dxdy​=dtdy​dxdt​=x1​dtdy​=dtdy​=dt2d2y​x21​−x21​dtdy​=dt2d2y​−dtdy​​
记$D=\frac{d}{dt}$，则有
x y ′ = D y x 2 y ′ ′ = D 2 y − D y = D ( D − 1 ) y

xy′=Dyx2y″=D2y−Dy=D(D−1)y" role="presentation" style="position: relative;">xy′x2y′′=Dy=D2y−Dy=D(D−1)y$$\begin{array}{rl}x{y}^{\prime }& =Dy\\ x^2{y}^{″}& =D^{2}y-Dy=D(D-1)y\end{array}$$

xy′x2y′′​=Dy=D2y−Dy=D(D−1)y​
类似地
$$x^k{y}^{(k)}=D(D-1)\cdots (D-k+1)y$$

例5：欧拉方程 x 2 d 2 y d x 2 + 4 x d y d x + 2 y = 0 ( x > 0 )

(x>0) x2dx2d2y​+4xdxdy​+2y=0​(x>0)

令$x=e^t$，有
D ( D − 1 ) y + 4 D y + 2 y = 0 D 2 y + 3 D y + 2 y = 0

D(D−1)y+4Dy+2yD2y+3Dy+2y​=0=0​
对应特征方程
$$r^2+3r+2=0\Rightarrow r_1=-1,r_2=-2$$
有
$$y=C_1{e}^{-t}+C_2{e}^{-2t}=\frac{C_1}{x}+\frac{C_2}{x^2}$$

五、差分方程

一阶常系数线性齐次差分方程$y_{t+1}+a{y}_t=0$

通解为
$$y_c(t)=C\cdot (-a{)}^t$$

一阶常系数线性非齐次差分方程$y_{t+1}+a{y}_t=f(t)$

通解为
$$y_t=y_c(t)+y_t^{\ast }$$
分两种情况讨论

$f(t)=P_m(t)$

若$a\ne -1$，令
$$y_t^{\ast }=Q_m(t)$$
若$a=-1$，令
$$y_t^{\ast }=t{Q}_m(t)$$

$f(t)=d^t\cdot P_m(t)(d\ne 0)$

若$a+d\ne 0$，令
$$y_t^{\ast }=d^t\cdot Q_m(t)$$
若$a+d=0$，令
$$y_t^{\ast }=t{d}^t\cdot Q_m(t)$$

例6：差分方程$y_{t+1}-2y_t=2^t$的通解为（）

齐次方程的通解为
$$y_c(t)=C\cdot 2^t$$
令$y_t^{\ast }=at{2}^t$，代入原方程得
$$a(t+1)2^{t+1}-2at{2}^t=2^t\Rightarrow a=\frac{1}{2}$$
原方程通解为
$$y_t=C{2}^t+\frac{1}{2}t{2}^t$$