( 1 ) x y ′ − y l n y = 0 ； ( 2 ) 3 x 2 + 5 x − 5 y ′ = 0 ； ( 3 ) 1 − x 2 y ′ = 1 − y 2 ； ( 4 ) y ′ − x y ′ = a ( y 2 + y ′ ) ； ( 5 ) s e c 2 x t a n y d x + s e c 2 y t a n x d y = 0 ； ( 6 ) d y d x = 1 0 x + y ； ( 7 ) ( e x + y − e x ) d x + ( e x + y + e y ) d y = 0 ； ( 8 ) c o s x i s i n y d x + s i n x c o s y d y = 0 ； ( 9 ) ( y + 1 ) 2 d y d x + x 3 = 0 ； ( 10 ) y d x + ( x 2 − 4 x ) d y = 0. (1) xy′−yln y=0； (2) 3x2+5x−5y′=0； (3) √1−x2y′=√1−y2； (4) y′−xy′=a(y2+y′)； (5) sec2 xtan ydx+sec2 ytan xdy=0； (6) dydx=10x+y； (7) (ex+y−ex)dx+(ex+y+ey)dy=0； (8) cos xisin ydx+sin xcos ydy=0； (9) (y+1)2dydx+x3=0； (10) ydx+(x2−4x)dy=0. (1) xy′−yln y=0； (2) 3x2+5x−5y′=0； (3) 1−x2y′=1−y2； (4) y′−xy′=a(y2+y′)； (5) sec2 xtan ydx+sec2 ytan xdy=0； (6) dxdy=10x+y； (7) (ex+y−ex)dx+(ex+y+ey)dy=0； (8) cos xisin ydx+sin xcos ydy=0； (9) (y+1)2dxdy+x3=0； (10) ydx+(x2−4x)dy=0.
( 1 ) 原方程为 x d y d x − y l n y = 0 ，分离变量得 d y y l n y = d x x ，两端积分，得 l n ∣ l n y ∣ = l n ∣ x ∣ + l n C 1 = l n ∣ C 1 x ∣ ( C 1 > 0 ) ，即 l n y = ± C 1 x ，通解为 l n y = C x ， y = e C x . ( 2 ) 原方程为 5 y ′ = 3 x 2 + 5 x ，两端积分，得 5 y = x 3 + 5 2 x 2 + C 1 ，通解为 y = 1 5 x 3 + 1 2 x 2 + C ( C = C 1 5 ) ( 3 ) 原方程为 1 − x 2 d y d x = 1 − y 2 ，分离变量得 d y 1 − y 2 = d x 1 − x 2 ，两端积分， 得 a r c s i n y = a r c s i n x + C ，为原方程的通解。 ( 4 ) 原方程为 ( 1 − x − a ) d y d x = a y 2 ，分离变量得 d y y 2 = a 1 − x − a d x ，两端积分， 得 − 1 y = − a l n ∣ 1 − x − a ∣ − C ，即 y = 1 a l n ∣ 1 − x − a ∣ + C 是原方程的通解 . ( 5 ) 原方程分离变量得 s e c 2 y t a n y d y = − s e c 2 x t a n x d x ，两端积分，得 l n ∣ t a n y ∣ = − l n ∣ t a n x ∣ + l n C 1 ， l n ∣ t a n y ⋅ t a n x ∣ = l n C 1 ，即 t a n y ⋅ t a n x = ± C 1 ，所以原方程的通解为 t a n y ⋅ t a n x + C . ( 6 ) 原方程分离变量得 1 0 − y d y = 1 0 x d x ，两端积分，得 − 1 0 − y l n 10 = 1 0 x l n 10 + C 1 ， 1 0 x + 1 0 − y = C ( C = − C 1 l n 10 ) . ( 7 ) 原方程为 e x ( e y − 1 ) d x + e y ( e x + 1 ) d y = 0 ，分离变量得 e y e y − 1 d y = − e x e x + 1 d x ，两端积分， 得 l n ∣ e y − 1 ∣ = − l n ( e x + 1 ) + l n C 1 ， l n ∣ ( e x + 1 ) ( e y − 1 ) ∣ = l n C 1 ，即 ( e x + 1 ) ( e y − 1 ) = ± C 1 ， 所以原方程的通解为 ( e x + 1 ) ( e y − 1 ) = C . ( 8 ) 原方程分离变量得 c o s y s i n y d y = − c o s x s i n x d x ，两端积分，得 l n ∣ s i n y ∣ = − l n ∣ s i n x ∣ + l n C 1 ， 即 l n ∣ s i n y s i n x ∣ = l n C 1 , 或 s i n y s i n x = ± C 1 ，所以原方程的通解为 s i n y s i n x = C . ( 9 ) 原方程分离变量得 ( y + 1 ) 2 d y = − x 3 d x ，两端积分，得 1 3 ( y + 1 ) 3 = − 1 4 x 4 + C 1 ， 所以原方程的通解为 3 x 4 + 4 ( y + 1 ) 3 = C ( C = 12 C 1 ) ( 10 ) 原方程分离变量得 d y y = d x 4 x − x 2 ，两端积分，得 l n ∣ y ∣ = ∫ d x ( 4 − x ) x = 1 4 ∫ ( 1 4 − x + 1 x ) d x = 1 4 ( l n ∣ x ∣ − l n ∣ 4 − x ∣ ) + l n C 1 = 1 4 l n ∣ x 4 − x ∣ + l n C 1 ，即 l n ∣ y 4 ( 4 − x ) ∣ = l n ∣ 4 C 1 x ∣ ，或 y 4 ( 4 − x ) = ± 4 C 1 x ， 所以原方程的通解为 y 4 ( 4 − x ) = C x . (1) 原方程为xdydx−yln y=0，分离变量得dyyln y=dxx，两端积分，得ln |ln y|=ln |x|+ln C1=ln |C1x| (C1>0)，即ln y=±C1x，通解为ln y=Cx，y=eCx. (2) 原方程为5y′=3x2+5x，两端积分，得5y=x3+52x2+C1，通解为y=15x3+12x2+C (C=C15) (3) 原方程为√1−x2dydx=√1−y2，分离变量得dy√1−y2=dx√1−x2，两端积分， 得arcsin y=arcsin x+C，为原方程的通解。 (4) 原方程为(1−x−a)dydx=ay2，分离变量得dyy2=a1−x−adx，两端积分， 得−1y=−aln |1−x−a|−C，即y=1aln |1−x−a|+C是原方程的通解. (5) 原方程分离变量得sec2 ytan ydy=−sec2 xtan xdx，两端积分，得ln |tan y|=−ln |tan x|+ln C1， ln |tan y⋅tan x|=ln C1，即tan y⋅tan x=±C1，所以原方程的通解为tan y⋅tan x+C. (6) 原方程分离变量得10−ydy=10xdx，两端积分，得−10−yln 10=10xln 10+C1，10x+10−y=C (C=−C1ln 10). (7) 原方程为ex(ey−1)dx+ey(ex+1)dy=0，分离变量得eyey−1dy=−exex+1dx，两端积分， 得ln |ey−1|=−ln(ex+1)+ln C1，ln |(ex+1)(ey−1)|=ln C1，即(ex+1)(ey−1)=±C1， 所以原方程的通解为(ex+1)(ey−1)=C. (8) 原方程分离变量得cos ysin ydy=−cos xsin xdx，两端积分，得ln |sin y|=−ln |sin x|+ln C1， 即ln |sin ysin x|=ln C1,或sin ysin x=±C1，所以原方程的通解为sin ysin x=C. (9) 原方程分离变量得(y+1)2dy=−x3dx，两端积分，得13(y+1)3=−14x4+C1， 所以原方程的通解为3x4+4(y+1)3=C (C=12C1) (10) 原方程分离变量得dyy=dx4x−x2，两端积分，得ln |y|=∫dx(4−x)x=14∫(14−x+1x)dx= 14(ln |x|−ln |4−x|)+ln C1=14ln |x4−x|+ln C1，即ln |y4(4−x)|=ln |4C1x|，或y4(4−x)=±4C1x， 所以原方程的通解为y4(4−x)=Cx. (1) 原方程为xdxdy−yln y=0，分离变量得yln ydy=xdx，两端积分，得ln ∣ln y∣=ln ∣x∣+ln C1=ln ∣C1x∣ (C1>0)，即ln y=±C1x，通解为ln y=Cx，y=eCx. (2) 原方程为5y′=3x2+5x，两端积分，得5y=x3+25x2+C1，通解为y=51x3+21x2+C (C=5C1) (3) 原方程为1−x2dxdy=1−y2，分离变量得1−y2dy=1−x2dx，两端积分， 得arcsin y=arcsin x+C，为原方程的通解。 (4) 原方程为(1−x−a)dxdy=ay2，分离变量得y2dy=1−x−aadx，两端积分， 得−y1=−aln ∣1−x−a∣−C，即y=aln ∣1−x−a∣+C1是原方程的通解. (5) 原方程分离变量得tan ysec2 ydy=−tan xsec2 xdx，两端积分，得ln ∣tan y∣=−ln ∣tan x∣+ln C1， ln ∣tan y⋅tan x∣=ln C1，即tan y⋅tan x=±C1，所以原方程的通解为tan y⋅tan x+C. (6) 原方程分离变量得10−ydy=10xdx，两端积分，得−ln 1010−y=ln 1010x+C1，10x+10−y=C (C=−C1ln 10). (7) 原方程为ex(ey−1)dx+ey(ex+1)dy=0，分离变量得ey−1eydy=−ex+1exdx，两端积分， 得ln ∣ey−1∣=−ln(ex+1)+ln C1，ln ∣(ex+1)(ey−1)∣=ln C1，即(ex+1)(ey−1)=±C1， 所以原方程的通解为(ex+1)(ey−1)=C. (8) 原方程分离变量得sin ycos ydy=−sin xcos xdx，两端积分，得ln ∣sin y∣=−ln ∣sin x∣+ln C1， 即ln ∣sin ysin x∣=ln C1,或sin ysin x=±C1，所以原方程的通解为sin ysin x=C. (9) 原方程分离变量得(y+1)2dy=−x3dx，两端积分，得31(y+1)3=−41x4+C1， 所以原方程的通解为3x4+4(y+1)3=C (C=12C1) (10) 原方程分离变量得ydy=4x−x2dx，两端积分，得ln ∣y∣=∫(4−x)xdx=41∫(4−x1+x1)dx= 41(ln ∣x∣−ln ∣4−x∣)+ln C1=41ln ∣ ∣4−xx∣ ∣+ln C1，即ln ∣y4(4−x)∣=ln ∣4C1x∣，或y4(4−x)=±4C1x， 所以原方程的通解为y4(4−x)=Cx.
( 1 ) y ′ = e 2 x − y ， y ∣ x = 0 = 0 ； ( 2 ) c o s x s i n y d y = c o s y s i n x d x ， y ∣ x = 0 = π 4 ； ( 3 ) y ′ s i n x = y l n y ， y ∣ x = π 2 = e ； ( 4 ) c o s y d x + ( 1 + e − x ) s i n y d y = 0 ， y ∣ x = 0 = π 4 ； ( 5 ) x d y + 2 y d x = 0 ， y ∣ x = 2 = 1. (1) y′=e2x−y，y|x=0=0； (2) cos xsin ydy=cos ysin xdx，y|x=0=π4； (3) y′sin x=yln y，y|x=π2=e； (4) cos ydx+(1+e−x)sin ydy=0，y|x=0=π4； (5) xdy+2ydx=0，y|x=2=1. (1) y′=e2x−y，y∣x=0=0； (2) cos xsin ydy=cos ysin xdx，y∣x=0=4π； (3) y′sin x=yln y，y∣x=2π=e； (4) cos ydx+(1+e−x)sin ydy=0，y∣x=0=4π； (5) xdy+2ydx=0，y∣x=2=1.
( 1 ) 原方程分离变量得 e y d y = e 2 x d x ，两端积分，得 e y = 1 2 e 2 x + C ，由 y ∣ x = 0 = 0 ，得 1 = e 0 = 1 2 e 0 + C ， C = 1 2 ，即 e y = 1 2 ( e 2 x + 1 ) ，所求特解为 y = l n e 2 x + 1 2 . ( 2 ) 原方程分离变量得 t a n y d y = t a n x d x ，两端积分，得 − l n ∣ c o s y ∣ = − l n ∣ c o s x ∣ − l n C 1 ， 即 c o s y = C c o s x ，代入初值条件， x = 0 ， y = π 4 ，得 C = 2 2 ，所求特解为 2 c o s y = c o s x . ( 3 ) 原方程分离变量得 d y y l n y = d x s i n x ，两端积分，得 l n ∣ l n y ∣ = l n ∣ t a n x 2 ∣ + l n C 1 ，即 l n y = C t a n x 2 ， 代入初值条件， x = π 2 ， y = e ，得 C = 1 ，所求特解为 y = e t a n x 2 ( 4 ) 原方程分离变量得 e x e x + 1 d x = − t a n y d y ，两端积分，得 l n ( e x + 1 ) = l n ∣ c o s y ∣ + l n C 1 ， 即 e x + 1 = C c o s y ，代入初值条件， x = 0 ， y = π 4 ，得 C = 2 2 ，所以， e x + 1 = 2 2 c o s y ， 所求特解为 ( e x + 1 ) s e c y = 2 2 . ( 5 ) 原方程分离变量得 d y y = − 2 d x x ，两端积分，得 l n ∣ y ∣ = − 2 l n ∣ x ∣ + l n C 1 = l n x − 2 + l n C 1 ， 即 x 2 y = C ，代入初值条件， x = 2 ， y = 1 ，得 C = 4 ，所求特解为 x 2 y = 4. (1) 原方程分离变量得eydy=e2xdx，两端积分，得ey=12e2x+C，由y|x=0=0，得1=e0=12e0+C， C=12，即ey=12(e2x+1)，所求特解为y=ln e2x+12. (2) 原方程分离变量得tan ydy=tan xdx，两端积分，得−ln |cos y|=−ln |cos x|−ln C1， 即cos y=Ccos x，代入初值条件，x=0，y=π4，得C=√22，所求特解为√2cos y=cos x. (3) 原方程分离变量得dyyln y=dxsin x，两端积分，得ln |ln y|=ln |tan x2|+ln C1，即ln y=Ctan x2， 代入初值条件，x=π2，y=e，得C=1，所求特解为y=etan x2 (4) 原方程分离变量得exex+1dx=−tan ydy，两端积分，得ln(ex+1)=ln |cos y|+ln C1， 即ex+1=Ccos y，代入初值条件，x=0，y=π4，得C=2√2，所以，ex+1=2√2cos y， 所求特解为(ex+1)sec y=2√2. (5) 原方程分离变量得dyy=−2dxx，两端积分，得ln |y|=−2ln |x|+ln C1=ln x−2+ln C1， 即x2y=C，代入初值条件，x=2，y=1，得C=4，所求特解为x2y=4. (1) 原方程分离变量得eydy=e2xdx，两端积分，得ey=21e2x+C，由y∣x=0=0，得1=e0=21e0+C， C=21，即ey=21(e2x+1)，所求特解为y=ln 2e2x+1. (2) 原方程分离变量得tan ydy=tan xdx，两端积分，得−ln ∣cos y∣=−ln ∣cos x∣−ln C1， 即cos y=Ccos x，代入初值条件，x=0，y=4π，得C=22，所求特解为2cos y=cos x. (3) 原方程分离变量得yln ydy=sin xdx，两端积分，得ln ∣ln y∣=ln ∣ ∣tan 2x∣ ∣+ln C1，即ln y=Ctan 2x， 代入初值条件，x=2π，y=e，得C=1，所求特解为y=etan 2x (4) 原方程分离变量得ex+1exdx=−tan ydy，两端积分，得ln(ex+1)=ln ∣cos y∣+ln C1， 即ex+1=Ccos y，代入初值条件，x=0，y=4π，得C=22，所以，ex+1=22cos y， 所求特解为(ex+1)sec y=22. (5) 原方程分离变量得ydy=−2xdx，两端积分，得ln ∣y∣=−2ln ∣x∣+ln C1=ln x−2+ln C1， 即x2y=C，代入初值条件，x=2，y=1，得C=4，所求特解为x2y=4.
水从孔口流出的流量 Q 是单位时间内流出孔口的水的体积，即 Q = d V d t ，又从力学知道， Q = 0.62 S 2 g h ， 其中 0.62 为流量系数， S 为孔口截面积， g 为重力加速度 , h 为水面到孔口的高度，有 d V d t = 0.62 S 2 g h ， 即 d V = 0.62 S 2 g h d t （ 1 ），设在时刻 t ，水面高度为 h = h ( t ) ，则 x = h t a n 3 0 ∘ = 3 3 h ，于是在时间 间隔 [ t , t + d t ] 内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量 d V = − π x 2 d h = − π 3 h 2 d h （ 2 ），由 ( 1 ) ， ( 2 ) 得 微分方程 0.62 S 2 g h d t = − π 3 h 2 d h ，并有初值条件 h t = 0 = 10. 由微分方程分离变量得 d t = − π 3 × 0.62 S 2 g h 5 2 d h ， 两端积分，得 t = − 2 π 15 × 0.62 S 2 g h 5 2 + C ，代入初值条件， t = 0 ， h = 10 ，得 C = 2 π 15 × 0.62 S 2 g 1 0 5 2 ， 此时， t = 2 π 15 × 0.62 S 2 g ( 1 0 5 2 − h 5 2 ) . 代入 S = 0.5 ( c m 2 ) ， g = 980 ( c m / s 2 ) ，得 t = − 0.0305 h 5 2 + 9.64 ，代入 h = 0 ， 得水流完所需时间 t ≈ 10 ( s ) . 水从孔口流出的流量Q是单位时间内流出孔口的水的体积，即Q=dVdt，又从力学知道，Q=0.62S√2gh， 其中0.62为流量系数，S为孔口截面积，g为重力加速度,h为水面到孔口的高度，有dVdt=0.62S√2gh， 即dV=0.62S√2ghdt（1），设在时刻t，水面高度为h=h(t)，则x=htan 30∘=√33h，于是在时间 间隔[t, t+dt]内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量dV=−πx2dh=−π3h2dh（2），由(1)，(2)得 微分方程0.62S√2ghdt=−π3h2dh，并有初值条件ht=0=10.由微分方程分离变量得dt=−π3×0.62S√2gh52dh， 两端积分，得t=−2π15×0.62S√2gh52+C，代入初值条件，t=0，h=10，得C=2π15×0.62S√2g1052， 此时，t=2π15×0.62S√2g(1052−h52).代入S=0.5(cm2)，g=980(cm/s2)，得t=−0.0305h52+9.64，代入h=0， 得水流完所需时间t≈10(s). 水从孔口流出的流量Q是单位时间内流出孔口的水的体积，即Q=dtdV，又从力学知道，Q=0.62S2gh， 其中0.62为流量系数，S为孔口截面积，g为重力加速度,h为水面到孔口的高度，有dtdV=0.62S2gh， 即dV=0.62S2ghdt（1），设在时刻t，水面高度为h=h(t)，则x=htan 30∘=33h，于是在时间 间隔[t, t+dt]内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量dV=−πx2dh=−3πh2dh（2），由(1)，(2)得 微分方程0.62S2ghdt=−3πh2dh，并有初值条件ht=0=10.由微分方程分离变量得dt=−3×0.62S2gπh25dh， 两端积分，得t=−15×0.62S2g2πh25+C，代入初值条件，t=0，h=10，得C=15×0.62S2g2π1025， 此时，t=15×0.62S2g2π(1025−h25).代入S=0.5(cm2)，g=980(cm/s2)，得t=−0.0305h25+9.64，代入h=0， 得水流完所需时间t≈10(s).
设在时刻 t ，质点运动速度为 v = v ( t ) ，根据已知条件，有 f = m v ′ = k t v ，由 m = 1 ， t = 10 ， v = 50 ， f = 4 ， 得 k = f ⋅ v t = 20 ，有微分方程 v ′ = 20 t v ，分离变量得 v d v = 20 t d t ，两端积分，得 v 2 = 20 t 2 + C ，代入初值 条件， t = 10 ， v = 50 ，得 C = 500 ，得特解为 v = 20 t 2 + 500 ，当 t = 60 ( s ) 时， v = 20 × 6 0 2 + 500 = 269.3 ( c m / s ) . 设在时刻t，质点运动速度为v=v(t)，根据已知条件，有f=mv′=ktv，由m=1，t=10，v=50，f=4， 得k=f⋅vt=20，有微分方程v′=20tv，分离变量得vdv=20tdt，两端积分，得v2=20t2+C，代入初值 条件，t=10，v=50，得C=500，得特解为v=√20t2+500，当t=60(s)时， v=√20×602+500=269.3(cm/s). 设在时刻t，质点运动速度为v=v(t)，根据已知条件，有f=mv′=kvt，由m=1，t=10，v=50，f=4， 得k=tf⋅v=20，有微分方程v′=20vt，分离变量得vdv=20tdt，两端积分，得v2=20t2+C，代入初值 条件，t=10，v=50，得C=500，得特解为v=20t2+500，当t=60(s)时， v=20×602+500=269.3(cm/s).
设在时刻 t ，镭的存量为 R = r ( t ) ，根据已知条件， d R d t = − λ R ，即 d R R = − λ d t ，两端积分， 得 l n R = − λ t + l n C ，即 R = C e − λ t 。因为 t = 0 时， R = R 0 ，所以 C = R 0 ， R = R 0 e − λ t ，将 t = 1600 ， R = 1 2 R 0 代入上式，得 1 2 = e − 1600 λ ，即 λ = l n 2 1600 ，所以， R = R 0 e − l n 2 1600 t = R 0 e − 0.000433 t . 设在时刻t，镭的存量为R=r(t)，根据已知条件，dRdt=−λR，即dRR=−λdt，两端积分， 得ln R=−λt+ln C，即R=Ce−λt。因为t=0时，R=R0，所以C=R0，R=R0e−λt，将t=1600， R=12R0代入上式，得12=e−1600λ，即λ=ln 21600，所以，R=R0e−ln 21600t=R0e−0.000433t. 设在时刻t，镭的存量为R=r(t)，根据已知条件，dtdR=−λR，即RdR=−λdt，两端积分， 得ln R=−λt+ln C，即R=Ce−λt。因为t=0时，R=R0，所以C=R0，R=R0e−λt，将t=1600， R=21R0代入上式，得21=e−1600λ，即λ=1600ln 2，所以，R=R0e−1600ln 2t=R0e−0.000433t.
设曲线方程为 y = y ( x ) ，切点为 ( x , y ) ，根据已知条件，切线在 x 轴与 y 轴上的截距分别为 2 x 和 2 y ，得切线 斜率为 y ′ = 2 y − 0 0 − 2 x = − y x ，分离变量得 d y y = − d x x ，两端积分，得 l n ∣ y ∣ = − l n ∣ x ∣ + l n C 1 ，即 x y = C ， 代入初值条件， x = 2 ， y = 3 ，得 C = 6 ，所以曲线方程为 x y = 6. 设曲线方程为y=y(x)，切点为(x, y)，根据已知条件，切线在x轴与y轴上的截距分别为2x和2y，得切线 斜率为y′=2y−00−2x=−yx，分离变量得dyy=−dxx，两端积分，得ln |y|=−ln |x|+ln C1，即xy=C， 代入初值条件，x=2，y=3，得C=6，所以曲线方程为xy=6. 设曲线方程为y=y(x)，切点为(x, y)，根据已知条件，切线在x轴与y轴上的截距分别为2x和2y，得切线 斜率为y′=0−2x2y−0=−xy，分离变量得ydy=−xdx，两端积分，得ln ∣y∣=−ln ∣x∣+ln C1，即xy=C， 代入初值条件，x=2，y=3，得C=6，所以曲线方程为xy=6.
设小船的航行路线为 C : { x = x ( t ) ， y = y ( t ) ， ，则在时刻 t ，小船的实际航行速度为 v ( t ) = ( x ′ ( t ) , y ′ ( t ) ) ， 其中 x ′ ( t ) = k y ( h − y ) 为水的流速， y ′ ( t ) = α 为小船的实际速度，小船航行路线的切线方向就是小船的实际 速度方向，有 d y d x = y ′ ( t ) x ′ ( t ) = α k y ( h − y ) 。分离变量得 d x = k α y ( h − y ) d y ，两端积分， 得 x = k α ∫ ( h y − y 2 ) d y = k α ( h 2 y 2 − 1 3 y 3 ) + C ，因为小船出发于点 ( 0 , 0 ) ，代入初值条件， x = 0 ， y = 0 ， 得 C = 0 ，所以小船航行的路线的方程为 x = k α ( h 2 y 2 − 1 3 y 3 ) 设小船的航行路线为C:{x=x(t)，y=y(t)，，则在时刻t，小船的实际航行速度为v(t)=(x′(t), y′(t))， 其中x′(t)=ky(h−y)为水的流速，y′(t)=α为小船的实际速度，小船航行路线的切线方向就是小船的实际 速度方向，有dydx=y′(t)x′(t)=αky(h−y)。分离变量得dx=kαy(h−y)dy，两端积分， 得x=kα∫(hy−y2)dy=kα(h2y2−13y3)+C，因为小船出发于点(0, 0)，代入初值条件，x=0，y=0， 得C=0，所以小船航行的路线的方程为x=kα(h2y2−13y3) 设小船的航行路线为C:⎩ ⎨ ⎧x=x(t)，y=y(t)，，则在时刻t，小船的实际航行速度为v(t)=(x′(t), y′(t))， 其中x′(t)=ky(h−y)为水的流速，y′(t)=α为小船的实际速度，小船航行路线的切线方向就是小船的实际 速度方向，有dxdy=x′(t)y′(t)=ky(h−y)α。分离变量得dx=αky(h−y)dy，两端积分， 得x=αk∫(hy−y2)dy=αk(2hy2−31y3)+C，因为小船出发于点(0, 0)，代入初值条件，x=0，y=0， 得C=0，所以小船航行的路线的方程为x=αk(2hy2−31y3)