刷题记录:牛客NC19115选择颜色

传送门:牛客

题目描述:

n个人排成一个环形，每个人要从c种颜色中选择一个。
牛牛希望相邻的人选择的颜色是不同的
问有多少种方案。
输出方案数对10007取模的结果。
人是有顺序的，环旋转同构算不同的方案。
输入:
1000000000 100
输出:
726
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这道题算是排列组合中的一道经典题,俗称"填色问题",这种题目一般就是问

有m中颜色,给n个区域涂色,问有几种方法
1

这种题目有一个通式:An=(m-1)^n+(-1)^n*(m-1),可以帮助我们快速的解决这类问题

下面提供通式的推理过程

首先我们假设n个区域涂色的方法有An中
假设刚开始的位置和最后的位置的颜色不同,此时我们的方法数就是上诉的An
假设我们刚开始的位置和最后的位置的颜色相同,那么相当于此时两个位置可以合并成一个位置.,方法数即为A(n-1)
并且这两种情况的和恰恰是我们假设环形是链状涂色的情况,即An+A(n-1)=m*(m-1)^(n-1)
因为m是已知的,此时就相当于得到了一个数列的递推公式,当然此时我们有很多方法去解这个递推公式,下面介绍一种累加的方法
(-1)^(n-1)*An+(-1)^(n-1)*A(n-1)=m*(1-m)^(n-1)
(-1)^n*An-(-1)^(n-1)A(n-1)=-m*(1-m)^n-1)
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然后我们直接累加就会得到一个累加的公式

$(-1{)}^n$An-A2=-m*${\sum }_{i=3}^n$$(1-m{)}^{i-1}$

然后问题来到了${\sum }_{i=3}^n$$(1-m{)}^{i-1}$

我们将问题抽象化,上诉问题等价于求出${\sum }_{i=1}^n$$x^i$的求和

我们假设S=${\sum }_{i=1}^n$$x^i$

然后有$\frac{S}{x}$=${\sum }_{i=1}^n$$x^i$/x

然后S-$\frac{S}{x}$=${\sum }_{i=1}^n$$x^i$-${\sum }_{i=1}^n$$x^{i-1}$

即可求出S的关于x的一个式子

通过以上方法我们就可以得到An=(m-1)^n+(-1)^n*(m-1)的一个通项了

然后使用快速幂就可以快乐的解决这道题啦(建议使用long long)

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define root 1,n,1
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
inline ll read() {
	ll x=0,w=1;char ch=getchar();
	for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') w=-1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	return x*w;
}
#define maxn 1000000
int mod=10007;
ll qpow(ll a,ll b) {
	ll sum=1;
	while(b) {
		if(b&1) {
			sum=sum*a%mod;
		}
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return sum;
}
int main() {
	ll n,c;n=read();c=read();
	if(n&1) {
		cout<<qpow((c-1),n)+1-c<<endl;
	}else {
		cout<<qpow((c-1),n)+c-1<<endl;
	}
	return 0;
}
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