IMU标定之---Allan方差

0. 简介

在研究晶体振荡器和原子钟的稳定性时，人们发现这些系统的相位噪声中不仅有白噪声，而且有闪烁噪声。使用标准差分析这类噪声时发现结果是无法收敛的。为了解决这个问题，David Allan于1966年提出了Allan方差分析，该方法不仅可以准确识别噪声类型，还能精确确定噪声的特性参数，其最大优点在于对各类噪声的幂律谱项都是收敛的。对于IMU标定而言，标定可以分为确定性误差和随机误差，确定性误差包括：交轴耦合误差（Axis-misalignment），比例因子误差（Scale Factor），零偏（Bias)。随机误差则主要是高斯白噪声和bias随机游走。Allen方差主要用于标定随机误差。

1. Allan方差使用

Allen方差的计算方法如下：

• 保持IMU静止， 采集N个数据点。将采样数据划分为包含不同数量采样点的子集 : $T(n)=n{T}_s，n=1,2\dots N/2,T(n)$ 为该子集的平均时间。
  

• 将N个点定长分组，常用的交叠式Allen方差如下(n=3)：
  

• 对于每个子集，计算均值后，计算相邻两组的方差。这样就会得到$n$个在每一平均时间$T(n)$对应的方差$\sigma (n)$。根据这$n$个点作图，可得到Allan标准差$\sigma$随平均时间$T$变化的双对数曲线。Allan方差有效反映了相邻两个采样段内平均频率差的起伏。
  
  从上面的Allen方差图中可以得到5种随机误差

• 量化噪声：误差系数为 $Q$，Allan方差双对数曲线上斜率为-1的线段延长线与t=1的交点的纵坐标读数为 $\frac{\sqrt{3}}{T}Q$；
• 角度随机游走：其误差系数 $N$，Allan方差双对数曲线上斜率为$-1/2$的线段延长线与$t=1$交点的纵坐标读数即为$\frac{N}{\sqrt{T}}$；
• 零偏不稳定性：其误差系数 $B$，Allan方差双对数曲线上斜率为0的线段延长线与t=1交点的纵坐标读数为$\sqrt{\frac{2\ln 2}{\pi }}B$ ，一般常取底部平坦区的最小值或取$t=10^1$或 $t=10^2$ 处的值；
• 角速率随机游走：其误差系数 $K$，斜率为1/2的线段延长线与$t=1$交点的纵坐标读数为 $\frac{K}{\sqrt{T/3}}$ ​
• 角速率斜坡：其误差系数 $R$，斜率为1的线段延长线与$t=1$交点的纵坐标读数为$\frac{RT}{\sqrt{2}}$​​；

假设各种误差源统计独立，那总的艾伦方差为各种误差源之和，即将量化噪声的平方${\sigma }_Q$、角度随机游走的平方${\sigma }_{RAW}$、零偏不稳定性的平方${\sigma }_{bias}$、角速率随机游走的平方${\sigma }_{RRW}$、角速率斜坡的平方${\sigma }_{RR}$的总和。

2. Allan方差与ROS

下面是读取bag包并获取Allen方差的图片，并会生成对应的allen方差图。这里主要参考了https://github.com/ori-drs/allan_variance_ros对应的C++文件，为了方便这里提供了Python的代码以及注释。这个代码需要事先安装sudo pip install allantools。

…详情请参照古月居